A-收敛与几乎处处收敛

2015-02-21鲍玲鑫施慧华

华侨大学学报（自然科学版） 2015年6期

关键词：测度福建性质

鲍玲鑫，施慧华

(1. 福建农林大学计算机与信息学院，福建福州 350002；2. 华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021)

A-收敛与几乎处处收敛

鲍玲鑫1，施慧华2

(1. 福建农林大学计算机与信息学院，福建福州 350002；2. 华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021)

设A≡(ai)∞i=1⊂S+，其中,S+表示1单位球面上的所有正向量构成的集合.Banach空间X中的序列(xn)称为A-收敛于x∈X,是指对任意的ε>0，limi→∞ai，χA(ε)=0，其中,A(ε)={n∈N∶‖xn-x‖≥ε}.用两种不同的收敛方式刻画A-收敛，即证明对任意A≡(ai)∞i=1⊂S+，存在一个N上的理想IA,以及一族极端有限可加概率测度Pext(IA)，使A-收敛且理想IA-收敛和测度Pext(IA)-收敛互为等价.此外，证明A-收敛为测度Pext(IA)-几乎处处收敛的充分必要条件是该A-收敛为非退化的.

统计收敛；理想收敛；几乎处处收敛；极端测度； Banach空间.

1 A-收敛和理想收敛与极端测度收敛

注释1 1) 若令定义中A=(ei)，则A-收敛等价于经典的序列收敛.

记MA={x*∘χ(·)∶x*∈∂pA(e)}，则文献[9]证明了MA⊂P(N，2N)，其中，P(N，2N)表示定义在可测空间(N，2N)上所有有限可加概率测度构成的集合.

若I⊂2N满足:1) 任意A，B∈I，A∪B∈I；2) 任意的A∈I及B⊆A，B∈I，则称I为N上的一个理想.如果理想I还满足:I≠Ø(N∉I，包含所有单点集)，则称I为非平凡(真，统计型)理想.对于上述定义的连续半范数pA，令IA={A∈2N∶pA(χA)=0}，则容易验证IA为N上的一个非平凡的真理想.IA为统计型理想的充分必要条件参见文献[9]的定理4.2.定义

设f是定义在X上的连续凸函数，则f在点x∈X的次微分映射∂f(∶X→2X*)定义为

∂f(x)={x*∈X*∶f(x+y)-f(x)≥x*，y，对任意的y∈X}.

性质1是经典的[10].

性质1 设p是定义在X上连续的Minkowski泛函，则对任意给定x∈X，有1) ∂f(x)是非空w*-紧凸集；2)x*∈∂f(x)，当且仅当x*≤p，且x*，x=p(x).

定理2 1) 对任意的A∈2N，pA(χA)=0，当且仅当qA(χA)=0.

2) 根据文献[8]的引理2.9可知，qA(e)=dist(e，XIA)=1=‖e‖.另外，不难验证qA(x)≤‖x‖对一切x∈∞成立.根据性质1中2)可知，∂qA(e)⊂∂‖e‖.∂‖e‖为文献[9]中命题2.2的一部分.

基于此，只需找到一个x*∈∂qA(e)使x*，x)=qA(x，便可以保证第一个“=”成立.对于上述在商空间∞/XIA中，利用Hahn-Banach定理可知，存在使‖‖=1，并且‖‖.根据经典定理可知，存在唯一的使‖‖=‖x*‖及对所有的y∈∞成立.特别的，

再根据性质1中2)可知，x*∈∂qA(e).

对于第二个“=”，注意到性质1中1)，∂qA(e)是一个非空的w*-紧凸集.从而根据Krein-Milman定理得到第二个等号成立.

注释2 由定理2中2)可知，∂qA(e)∘χ(·)⊂∂‖e‖∘χ(·)=P(N，2N).定义

P(N，2N，IA)={μ∈P(N，2N)∶μ(A)=0对所有的A∈IA}.

根据定理2中1)，3)，在文献[8]定理2.3的意义下，有P(N，2N，IA)≅∂qA(e). 即有P(N，2N，IA)=∂qA(e)∘χ(·).

令Pext(N，2N，IA)=ext ∂qA(e)∘χ(·).下文中分别用P(IA)和Pext(IA)表示P(N，2N，IA)和Pext(N，2N，IA).

证明 1)⇔2) 即为定理1.

2)⇔3) 由性质1，定理2以及IA的定义即可验证.

3)⇔4) 注意到注释2的P(IA)≅∂qA(e)即可得到.

4)⇔5) 只需利用定理2中3)即可验证.

2 A-收敛与几乎处处收敛

作为文献[12]定理1.5的特殊情形，有如下结论成立.

定理4 设x*∈∂qA(e)，则x*∈ext ∂qA(e)当且仅当x*为∞上的保正交不变的泛函，即对任意的x=(x(n))，y=(y(n))∈∞满足:xy=(x(n)y(n))=0，x*，xy=0.

基于此，可以得到如下结论.

证明设x*∈ext ∂qA(e)，若x*，en=0对一切n∈N成立，则此时有若存在某个n0∈N使x*，en0≠0，根据定理4可知，x*，en0x*，χN{n0}=0.从而有x*，en0=1及x*，χN{n0}=0.如果x*∈1，且注意到定理2中2)，可得x*=en0.下面只需证明x*∈1.因为所以存在正分解其中1∩P+及从而有

以及

注释3 对任意的x*∈ext ∂qA(e)，x*要么是纯连续，要么是w*-序列连续的.从而对任意的μ∈Pext(IA)，μ要么是可数可加测度，要么是纯有限可加测度.其中，相关概念与性质可以参考文献[13].

这里称A-收敛为退化的原因是它等价于由有限个退化的测度定义的收敛.称A∈2N为Pext(IA)-零测集是指对任意的μ∈Pext(IA)都有μ(A)=0.

注释4 由定理3及定义3可知，序列(xn)⊂X为Pext(IA)-几乎处处收敛于x总是意味着(xn)A-收敛于x.

下面给出A-收敛为几乎处处收敛的一个充分必要条件.

证明充分性是显然的.因为如果A-收敛是退化的，根据定理5可知，存在有限个正整数A≡{n1，n2，…，nk}使Pext(IA)={en1∘χ(·)，en2∘χ(·)，…，enk∘χ(·)}.对任意的x0∈X{0}，定义序列xn=x0，n∈A；=0，n∈NA.则不难验证，(xn)A-收敛于x0，但不会Pext(IA)-几乎处处收敛于x0.这是一个矛盾.

往证必要性.设(xn)A-收敛于x，且令

C0={n∈N∶‖x0-x‖≥1}，Ck={n∈N∶2-k<‖xn-x‖≤2-(k-1)}，(k=1，2，…).

下面证明上述3个断言.

1) 对任意i≥m0，都存在唯一的k(i)∈N，使mk(i)≤ik(i)时，j∉Bk.故而

注意到i→∞时，k(i)→∞.根据定理2中1)，3)可知

pA(χB)=0=qA(χB)=sup{(x*，χB)∶x*∈ext ∂qA(e)}.

即得到B为Pext(IA)-零测集.

推论1 经典统计收敛、A-统计收敛(包括lacunary-统计收敛和λ-统计收敛)在统计测度意义下都是几乎处处收敛的.

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(责任编辑：钱筠英文审校：黄心中)

OnA-Convergence and Almost Usual Convergence

BAO Lingxin1， SHI Huihua2

(1. School of Computer and Information， Fujian Agriculture and Forestry University， Fuzhou 350002， China； 2. School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China)