局部对称共形平坦黎曼流形中法丛平坦的伪脐子流形

李　影,宋卫东

(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

局部对称共形平坦黎曼流形中法丛平坦的伪脐子流形

李影,宋卫东

(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

摘要：利用活动标架法，得到了局部对称共形平坦黎曼流形中法丛平坦的伪脐子流形的一个积分不等式以及该子流形成为全测地的关于其第二基本形式模长平方的一个拼挤定理.

关键词：局部对称; 共形平坦；伪脐；全测地

0引言

设Nn+p是n+p维黎曼流形, 若其黎曼曲率张量KABCD取为

则称Nn+p为共形平坦的黎曼流形. 特别地, 如果它的黎曼曲率张量的共变导数KABCD;E=0, 则称Nn+p为局部对称共形平坦的黎曼流形[1].

显然, 若Nn+p是常曲率空间, 则Nn+p既是局部对称的, 又是共形平坦的. 对于常曲率空间中具有某种特定属性的子流形, 文献 [2-4]等都得到了许多有趣的结果.

对于局部对称共形平坦黎曼流形中的极小子流形,文献[5-6]得到关于其截面曲率、第二基本形式模长平方的Pinching定理.本文讨论局部对称共形平坦黎曼流形中带有平坦法丛且平均曲率为常数的伪脐子流形, 得到了如下结果:

定理1设Nn+p是n+p维局部对称共形平坦的黎曼流形, Mn是Nn+p中n维紧致无边法丛平坦的伪脐子流形, 若M具有常平均曲率, 那么有如下积分不等式成立:

其中：S是M的第二基本形式模长的平方, H是M的平均曲率, K是Nn+p的数量曲率, Tc、tc分别为Nn+p的Ricci曲率在该点的上、下确界.

定理2设Nn+p是n+p维局部对称共形平坦的黎曼流形, Mn是Nn+p中n维紧致无边法丛平坦的伪脐子流形, 若M具有常平均曲率, 那么:

注：当Nn+p为常曲率空间Sn+p(c)时, 有Tc=tc=(n+p-1)c, K=(n+p)(n+p-1)c, 此时有

1)当c>0时, Tc>0;

2)当c<0时, Tc<0.

1预备知识

设Mn是n+p维局部对称共形平坦黎曼流形Nn+p中n维子流形, 在Nn+p上选取局部标准正交标架场 e1,…,en,en+1,…,en+p, 使得限制于Mn时, e1,…,en与Mn相切. 令ω1,…,ωn+p是上述标架场的对偶标架场. 并约定各类指标取值范围：

1≤A,B,C,…,≤n+p;1≤i,j,k,…,≤n;n+1≤α,β,γ,…,≤n+p.

则Nn+p的结构方程是

(1)

(2)

其中

(3)

(4)

由于Nn+p为局部对称共形平坦黎曼流形, 则黎曼曲率张量的共变导数KABCD;E=0,则[4]

(5)

其中Kαijkl为Kαijk的共变导数. 此时由式(3)-(5)得

K=constant.

限制在Mn上, 有[4]

(6)

(7)

其中h, ξ, Rijkl, Rαβkl和KABCD分别是Mn的第二基本形式, 平均曲率向量, 曲率张量, 法曲率张量和Nn+p的曲率张量. 定义

由式(3)知

Kαβkl=0,

(8)

由式(7)知, 当Mn具有平坦法丛时, 有

ωαβ=0,Rαβkl=0,

(9)

若选取en+p与ξ的方向相同, 则

(10)

又由式(5),(7),(8)得

(11)

又由法从平坦定义得

(12)

(13)

(14)

(15)

又因为

(16)

所以由式(12)-(16)可得

(17)

(18)

2定理的证明

设Mn是具有平坦法丛的伪脐子流形, 我们选取Nn+p的局部标准正交标架场e1,…,en+p,使其对角化, 即得

(19)

由式(10),(19)可得

(20)

对于式(18), 由Schwarz不等式, 显然有

(21)

如果以Tc、tc分别表示Nn+p的Ricci曲率KAA在Mn上每一点处的上、下确界. 结合式(18)有

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

在平均曲率为常数的情况下, 有nHΔH=0.

定理1的证明

在式(17)中, 令a=-1,由式(22)-(27),

(28)

因为Mn是紧致无边和Hopf引理, 对式(28)两边积分, 定理1得证.

定理2的证明

(29)

(30)

综上得, S=0, 故Mn为全测地子流形.

参考文献:

[1] 徐兆棣.局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形[J].数学研究与评论,1996,16(1):76-80.

[2] Simons J. Minimal varieties in Riemannian manifolds[J]. Ann of Math,1968,21(10):62-105.

[3] Chen B Y. Some results of Chern-do Carmo-Kobayashi type and the length of second fundamental from[J]. Indiana Univ of Math,1971,20(12):1175-1185.

[4] Chern S S, do Camo M, Kobayashis S. Minimal submainfolds of a sphere with second fundamental form constant length[J]. Shiing-Chen Chern Select Papers,1978,4(3):393-409.

[5] 宋卫东.局部对称共形平坦空间中带有平坦法丛的极小子流形[J].安徽师范大学学报:自然科学版,1998,21(2):110-114.

[6] 宋卫东,何国庆.关于局部对称空间中极小子流形的几个整体拼挤定理[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(2):86-93.

Pseudo-umbilical Submanifolds with Falt Normal Bundle in a Locally

Symmetric and Conformally Falt Riemannian Manifold

LI Ying, SONG Weidong

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:Based on the moving frames, an integral inequality about the pseudo-umbilical submanifold with flat normal bundle in a locally symmetric and conformally flat Riemannian manifold was obtained, and a Pinching theorem about the squared norm of the second fundamental form for the submanifold was given.

Key words:locally symmetric; conformally falt; pseudo-umbilical; totally geodesic

第14卷第1期2015年1月杭州师范大学学报(自然科学版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.1Jan.2015

文章编号:1674-232X(2015)01-0082-05

中图分类号:O186.12MSC2010: 53C40

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.01.015

通信作者：宋卫东(1958—),男,教授,主要从事微分几何研究.E-mail:swd56@sina.com

基金项目:安徽省高等学校优秀青年人才基金项目 (2011SQRL021ZD);安徽省教育厅自然科学重点项目(KJ2010A125).

收稿日期：2014-06-13