复杂网络同步时间可控的投影同步

毛北行,李巧利

(1.郑州航空工业管理学院 数理系， 河南 郑州　450015; 2.河南工业大学 理学院,河南 郑州　450001)



复杂网络同步时间可控的投影同步

毛北行1,李巧利2

(1.郑州航空工业管理学院 数理系， 河南 郑州450015; 2.河南工业大学 理学院,河南 郑州450001)

摘要:基于同步时间可控的投影同步方法研究了复杂网络混沌系统的有限时间同步问题,根据有限时间稳定性理论设计了控制器,能够使驱动网络与响应网络达到有限时间同步,同步误差按预设的指数速率收敛.数值算例说明了方法的有效性.

关键词:复杂网络；有限时间；投影同步

自Pecalo和Carroll提出驱动-响应同步方法以来,混沌控制与混沌同步及其应用已成为研究的热点.但目前的研究大都集中在渐近同步方面,即同步时间趋于无穷[1-8].在实际应用中,有时希望同步过程在有限时间内完成,即达到所谓的“有限时间同步”.一些文献用不同的控制方法达到了混沌系统的有限时间同步.文献[9-10]研究了非线性系统的有限时间稳定性问题;文献[11]提出了一种同步时间可控的混沌投影同步方法,该方法针对一类不同的混沌系统设计了同步控制器和参数自适应控制律.但关于复杂网络的有限时间混沌同步的研究结果并不多见.论文基于上述方法研究了复杂网络混沌系统的同步时间可控的投影同步问题,设计的控制器能够使驱动网络与响应网络达到有限时间同步,同步误差按预设的指数速率收敛,由于比例矩阵和指数速率不为第三方所知,可提高信息的破译难度.

1主要结果

考虑如下由N个节点构成的复杂动力学网络系统

(1)

其中：xi(t)=(xi1,xi2,…,xiN)T∈RN是节点i的状态变量；f:RN→RN为连续可微的非线性函数；Γ为内部耦合矩阵；A=(aij)N×N为外耦合结构矩阵,表示网络节点之间的耦合强度和网络拓扑结构.aij定义如下:如果节点j到i(i≠j)存在连接,则aij>0;否则aij=0.

(2)

作为响应系统,其中:ui(t)为控制器.

定义1驱动系统(1)和响应系统(2)之间的误差为

其中:mi为比例因子.

定义2误差向量

(3)

定义3当误差向量满足

(4)

其中:λ,β为正数,β为指数收敛速率.若满足(4)此时误差系统稳定,驱动系统(1)与响应系统(2)达到有限时间投影同步,同步截止时间为tc

引理1[12]设a1,a2,…,an>0,0

定理1设计同步控制器

(5)

则误差向量(3)能够在有限时间tc内以给定的指数速率β趋于0,且

(6)

其中：0<β<1为误差收敛速率,η>0为反馈系数,0.5<α≤1,V(0)由系统状态的初始值决定.驱动系统(1)与响应系统(2)在有限时间tc内达到投影同步.

证明定义ei(t)=yi(t)-mixi(t)，则

将(5)代入上式得到

构造Lyapunov函数

则

由0<α≤1,2α≤2,所以利用引理1,得到

对上式两边同时2α次方,得到

因此有

(7)

方程两边同乘以(1-α)V-α,得到

(8)

令

(9)

则(8)可以表示为

两边同乘以e2β(1-α)t得到

从0到t积分,得到

所以

(10)

由(9),(10)得到

(11)

当t=tc时,上式右边为0,由V(t)≥0,因此有

由

再由定义2,所以

(12)

由(11),(12)得到

(13)

(14)

由(13),(14)得到

按照定义3可知,驱动系统(1)与响应系统(2)的误差随着e-β t呈指数收敛,收敛速率为β,截止时间为tc.根据参数的特点,设置不同的参数值,可以实现同步时间的可控性.

2数值算例

以Lorenz-Haken系统为例

3结束语

基于同步时间可控的投影同步方法研究了复杂网络混沌系统的有限时间同步问题.设计的控制器能够使驱动网络与响应网络达到有限时间同步,同步误差按预设的指数速率收敛,由于比例矩阵和指数速率不为第三方所知,可提高信息的破译难度.

参考文献：

[1]Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Phys Rev Lett,1990,64(8):821-824.

[2]Pecora L M, Carroll T L. Driving sstems with caotic sgnals[J]. Phys Rev A,1991,44(4):2374-2383.

[3]Yoo W J, Ji D H, Won S C. Synchronization of two different non-autonomous chaotic systems using fuzzy disturbance observer[J].Physics Letters A,2009,374(11):1354-1361.

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[5]吕翎,李纲,孟乐.等. 单向链式网络的激光混沌同步[J].物理学报,2010,37(10):2533-2536.

[6]李建芬,李农. 一类混沌系统的修正函数投影同步[J].物理学报,2011,60(8):5071-5077.

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[8]毛北行,程春蕊,卜春霞. Lurie混沌系统的修正函数投影同步[J].数学杂志,2013,33(4):717-720.

[9]辛道义,刘允刚.非线性系统有限时间稳定性分析与控制设计[J].山东大学学报:工学版,2011,41(2):119-125.

[10]杨仁明,王玉振.一类非线性时滞系统的有限时间稳定性[J].山东大学学报:工学版,2012,42(2):36-43.

[11]王春华,胡燕,余飞,等. 一类混沌系统同步时间可控的自适应投影同步[J].物理学报,2013,62(11):5091-5096.

[12]Hardy G, Littlewood J,Polya G. Inequalities[M].Cambridge:Cambridge University Press,1952.

(责任编辑朱夜明)

Time-controllable projective synchronization of complex networks

MAO Bei-xing1，LI Qiao-li2

(1.Department of Mathematics and Physics,Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management,

Zhengzhou 450015,China;2.College of Science,Henan University of Technology,Zhengzhou 450001,China)

Abstract:The problem of finite-time synchronization of complex network systems was studied in the paper based on time-controllable projective synchronization approach. A controller was proposed based on the finite-time stability theory. The condition was drived when two identical complex network systems achieve the fast finite-time synchronization and synchronization time was estimated.The synchronization errors convergence according to exponential predetermined. Numerical example of chaotic system verified the effectiveness of the proposed method.

Key words:complex networks; finite-time; projective synchronization

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2015.02.004

作者简介：王爱丽(1978-),女,陕西旬邑人,宝鸡文理学院副教授, 博士.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11071193)；宝鸡文理学院重点科研计划项目(ZK11129)

收稿日期：2014-07-07

中图分类号：O482

文献标志码:A

文章编号:1000-2162(2015)02-0013-04