基于GP算法奇异谱分析嵌入维数的确定及应用

岳 顺，翟长治，李小奇

(1.河海大学 地球科学与工程学院， 江苏 南京 211100； 2.武汉大学 测绘学院， 湖北 武汉 430079；3.上海勘测设计研究院有限公司， 上海 200434)

基于GP算法奇异谱分析嵌入维数的确定及应用

岳 顺1，翟长治2，李小奇3

(1.河海大学 地球科学与工程学院， 江苏 南京 211100； 2.武汉大学 测绘学院， 湖北 武汉 430079；3.上海勘测设计研究院有限公司， 上海 200434)

对于奇异谱分析中嵌入维数的选择，以往的研究者通常基于经验或者交叉验证的方法，过于主观。本文基于GP算法原理，根据嵌入维数与关联维数的关系，来确定奇异谱分析的嵌入维数，并通过仿真实验证明了该方法较以往方法更加具有准确性和高效性。最后对苏通大桥索塔GPS变形监测数据进行处理，实现了显著降噪的效果，准确地提取了监测序列的趋势成分和周期成分，为索塔以后的误差分析和预测模型提供了可靠的依据。

奇异谱分析；嵌入维数；GP算法；时间序列；降噪

随着GPS的广泛普及,GPS动态变形监测是GPS技术应用的一个重要方向，GPS技术具有速度快、全天候作业、自动化程度高、观测时间短、定位精度高等优点[1]。对于大型桥梁而言，斜拉桥索塔是极其关键的工程部位，因为索塔不仅要承担它本身的自重，还要承载全桥的荷载[2]；因此，监测与分析桥梁索塔的动态特性，包括变形幅度、振动的频率、趋势，为确定桥梁索塔状态提供了可靠的科学依据。由于监测点变形的不确定性和错综复杂性，以及受各种因素的影响，变形监测序列可能包含各种各样的误差与变形信息，所以必须通过对监测数据进行综合处理分析，提取变形信息，发现变形规律，建立动态预测模型，才能推断变化趋势，对未来作出准确的预测[3]。基于主分量的奇异谱分析(SSA, Singular Spectrum Analysis)作为数字处理技术早就被应用了，SSA的功能是对于原序列隐含的波形信号从它的含噪声的有限长观测系列中提取出来，所以它特别适合于研究有周期震荡的系统[4]。奇异谱分析技术主要用于解决趋势或准周期成分的检验与提取、降噪、预测、异常点检测等问题，广泛应用于气候、环境、地理、社会科学及金融等多方领域[5]。但是由于奇异谱嵌入维数(Embedding Dimension)，也称窗口长度,大多数人是靠经验或者交叉验证的统计方法来确定最佳的嵌入维数。但是这些方法具有很大的主观性，缺乏实质性的分析。而由Grassberger和Procaccia提出的关联维数算法，也称GP算法，由于其算法简洁，易于实现，且实用性强，因此获得了广泛的应用，本文基于GP算法来确定SSA窗口大小，并通过仿真实验，验证了它的可行性，并通过SSA对苏通大桥索塔GPS的监测序列进行分析，得到了较好的结果。

1 SSA原理

1.1 确定嵌入维数M

把时间序列时延地排列成M阶迟延矩阵

(1)

其中

(2)

它称为X的第i个状态向量，共有N-M+1个状态[9]。

1.2 计算X的协方差矩阵Tx

(3)

其中

(4)

ρ(t)为时间序列迟后为t的自协方差，0≤t≤M-1。Tx具有Toeplitz结构，是非负对称矩阵，且特征值非负。Tx的特征向量Ek反应时间序列x中的时间演变型，在SSA中称为T-EOF，另外时间主成分(T-PC)：

(5)

它反映的是Ek在原序列Xi+1,Xi+2,Xi+3,…，Xi+M时间段的权重。

1.3 重建成分

(6)

原序列可以表示为所有重建成分的和

(7)

但在实际应用中我们通过使两个指标——噪声残余能量指标和信号畸变指标[10]同时达到最小来确定主分量的截断位置，即p之所在。选取前p个具有显著波形或周期分量重建原序列：

(8)

在SSA分解的基础上重建分量序列，从而研究重建分量的长期变化特征。

2 基于GP算法确定嵌入维数M

在对时间序列进行SSA时，选择合适的嵌入维数M对奇异谱分析至关重要。如果过小，有用信息损失量较多，如果过大，将会带来大量的噪声[11]。通过GP算法得到的嵌入维数能够把时间序列中蕴藏的信息充分地显露出来，下面介绍一下它的原理[12]：设实际观测的一维时间序列{Xt,t=1,2,…,N}，采用GP算法以延迟时间τ=1和嵌入维数M进行相空间重构，相空间中的相点为：

Xt=[Xt,Xt+1,…,Xt+(M-1)]T，t=1,2,3,…,m,m=N-(M-1)，给定一个邻域半径d，定义关联积分如下：

(9)

式中：‖Xi-Xj‖表示两相点Xi和Xj之间的距离，θ(·)为Heaviside单位函数：

(10)

C(M,d)表示一个累积分布函数，表示相空间中两点之间距离小于d的概率。在实际应用中，应根据情况适当选取d，可以通过试凑法、效果观察法来确定d的取值[13]。当d→0时关联积分C(M，d)与d存在以下关系：

(11)

D称为是关联维数[14]，可得

(12)

让嵌入维数M从小到大的增加，对每一次M取值，求出关联积分C(M，d)与d。对每一个嵌入维数取双对数关系lnC(M,d)-ln(d)中的直线段，用最小二乘拟合出一条最佳直线，该直线的斜率称为关联维数D，关联维数会随着嵌入维数的增加而增大，最后到达一饱和值，而达到饱和值时的嵌入维数就是SSA的最佳嵌入维数。计算流程如图1。

图1 GP算法求解嵌入维数流程图

3 仿真实验

我们采用原序列为：

y(t)=cos(0.01πt)，t∈[1,1500]

(13)

再人为的加入随机噪声w(t)，构成加噪序列：

yw(t)=y(t)+w(t)

(14)

从图2可以看出当嵌入维数M=70时，关联维数渐渐趋于饱和值，通过奇异谱分析前后序列之间的方差为：

图2 仿真序列嵌入维数与关联维数的关系

(15)

N表示序列长度，作为SSA分析前后效果的标准，y(t)，x(t)分别表示奇异谱分析前后的数据，σ表示奇异谱分析前后两序列之间的偏差程度[15]。可以通过σ判断去噪的效果。方差σ随着嵌入维数M变化情况见图3。

图3 嵌入维数M与方差σ的分布情况

从图3中可以看出当嵌入维数M=70时，σ=0.0256，达到最小值，说明这种算法选取嵌入维数是合理的，接下来利用求得的嵌入维数对仿真序列进行SSA分析。为了突出SSA的效果，我们把原始序列、加噪序列和奇异谱分析后重建序列画在一张图上，如图4所示。

图4 仿真原序列、加噪序列和SSA分析后重建序列分布情况

从图4可以看出奇异谱能够较好地去除噪声项，提取序列的主要成分，经过重建序列，原始时间序列中的主要趋势成分和振荡周期得到了有效地提取，噪声干扰项明显降低。这对我们接下来的变形监测数据处理提供了有利的帮助。

4 索塔监测数据处理

索塔是斜拉桥的基本承重构件和重要组成部分，由于索塔两侧主梁重量不对称、两侧斜拉索的拉力不平衡，以及塔柱自身受外力、日照、风力等外界环境因素的影响，都会使索塔发生摆动和位移变形，随着测量仪器的发展，利用GPS进行索塔变形监测已经变成现实。GPS监测所获得的变形数据是随着时间变化的数据序列，在数据的采集和传输过程中，由于受环境条件(电离层、对流层、多路径效应)、仪器设备和人为操作等因素的影响，信号数据不可避免地混入一些噪声，变形信号就包含有真实的变形信号和噪声信号。这些噪声的存在势必影响监测数据的处理与分析。如果不能对变形信号进行降噪处理，就会对以后的变形特征提取和预测造成一定的影响，可能导致不能及时发现索塔的变形对索塔结构的破坏，严重时还会危及桥梁的安全，因此对变形信号进行降噪处理时非常重要。它可以为变形监测数据的后续处理提供可靠依据。

数据选自2012年1月5号凌晨0点至1月15号0点10d的苏通大桥索塔监测数据,采样周期是5min，首先进行数据中心化。

苏通大桥索塔变形监测分为三个方向：X,Y,Z。下面分别对X,Y,Z三方向运用GP算法得到的嵌入维数与关联维数的关系图。

图5X、Y、Z方向嵌入维数与关联维数的关系

从图5中我们可以看出随着嵌入维数M的增大，X、Y、Z的关联维数D都渐渐趋于稳定，所以选取三个方向的嵌入维数分别为80,85,82。利用得到的嵌入维数，对监测时间序列进行SSA，并做了变形趋势拟合，见图6～图8。

图6X方向SSA前后序列的分布情况

图7Y方向SSA前后序列的分布情况

图8Z方向SSA前后序列的分布情况

为了定量表示去噪的效果，引入两个指标：互相关系数R和平滑度系数r，其中

R=Cov(xi，yi)/σxσy

(15)

式中：xi，yi分别表示SSA前后的序列；Cov(xi,yi)为序列xi，yi的协方差；σx，σy分别为xi，yi的标准差；R越大，说明两序列的相关程度越大。

(16)

表1 SSA去噪前后的互相关系数与平滑度系数

从表1中可以看出SSA去噪后重构序列与趋势拟合序列的互相关系数比原序列与趋势拟合序列的互相关系数大，说明SSA后趋势拟合序列与重构序列的相关程度显著，SSA对序列的去噪有显著的作用，而且表1中各方向平滑度系数较小，表现的相对比较光滑，没有出现明显锐角变化情况，具有显著降噪的功能，其基本上反映了原始序列的波动变化，较好地捕捉到原始序列的趋势项。说明去噪取得很好的效果。

从图6～图8中可以看出X、Y、Z三方向的平均周期为1 d，X方向较显著。索塔在X方向的长周期变形趋势很大，在一天内具有明显的周期变化，白天温度变化剧烈，索塔混凝土膨胀收缩的较剧烈，索塔的变形量也跟着变化显著，晚上温度变化缓慢，索塔混凝土膨胀收缩较平缓，索塔的变形量也跟着变化缓慢，这与一天的温度变化相符合,但从整体的变形趋势可以看出X方向处于下降趋势。X方向最大幅值可达到0.10 m，而Y，Z方向最大幅值为0.02 m，0.05 m，说明索塔在Y，Z方向的变形波动没有X轴明显。

5 结 论

基于GP算法求得奇异谱分析的嵌入维数，算法简洁，能够很好地将时间序列包含的有用信息充分展现出来，降低了嵌入维数选取的主观性，通过仿真实验，验证此算法的可行性，并将其应用到苏通大桥索塔变形监测序列，显著地降低噪声的影响，很好的识别序列周期，得到X、Y、Z三方向的平均周期为1 d，X方向较显著，而且X方向具有明显下降的趋势，Y、Z变化则很平稳。本方法有效地进行监测序列的重构，提取变形趋势，进而对后续的预测提供帮助。索塔的变形规律是很复杂的，变性因素有很多，本文仅从外部GPS变形监测序列进行分析，但是具体索塔内部影响因子对索塔变形的影响还需进一步探索与研究。

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The Determination and Application of Singular Spectral Embedding Dimension Based on GP Algorithm

YUE Shun1, ZHAI Changzhi2, LI Xiaoqi3

(1.CollegeofEarthScienceandEngineering,HohaiUniversity,Nanjing,Jiangsu211100,China;2.CollegeofGeodesyandGeomatics,WuhanUniversity,Wuhan,Hubei430079，China;3.ShanghaiInvestigation,Design&ResearchInstituteCo.,Ltd.,Shanghai200434,China)

For the selection of the embedding dimensions of singular spectrum analysis, previous studies which are based on experience or cross-validation method are too subjective. In this study, the embedding dimensions of singular spectrum analysis were determined according to the relationship between embedding dimension and correlation dimension based on GP algorithm. And then it was verified that this method was more accurate and efficient compared with the conventional methods through simulation experiments. Finally, by processing the GPS deformation monitoring data of the pylon in Sutong Bridge, using this method, remarkable results in noise reduction were achieved and the trend component and periodic sequence of monitoring were accurately extracted. The result provides a reliable basis for the subsequent error analysis and forecasting model establishment of pylons.

singular spectrum analysis; embedding dimensions; GP algorithm; time series； noise reduction

10.3969/j.issn.1672-1144.2015.05.019

2014-09-17

2014-10-23

岳 顺(1991—)，男，河南商丘人，硕士研究生，研究方向为3s集成与应用。 E-mail: yue-shun@163.com

TP391

A

1672—1144(2015)05—0097—05