陆地惯性重力测量静态试验研究

柴 华 王虎彪 武 凛 王 勇

1 中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室，武汉市徐东大街340号，430077

利用惯性测量单元（inertial measurement unit，IMU）进行重力测量时，当载体静止时运动加速度为0。此时若不考虑零偏、噪声等误差，加速度计的直接观测量就是重力。这一无载体运动加速度存在的状态，可以排除由GNSS系统给出的载体运动加速度观测误差的影响，有利于分析IMU 内置的高精度石英加速度计对地球重力变化的响应及其误差特性，为考察IMU 的比力观测质量能否达到重力测量的要求提供有利条件。

本文利用内置有高精度石英挠性加速度计的IMU 开展惯性重力测量静态试验研究。通过试验，对惯性重力观测数据中的误差进行初步分析与建模，探讨在当前的硬件条件下实现惯性重力测量的可行性及存在的问题，为后续的动态研究提供参考。

1 惯性重力测量试验原理与误差处理

惯性重力测量的基本原理可以表示为［1］：

利用式（2）可将载体坐标系下的比力观测fb通过矩阵转换至当地水平坐标系。更一般地，在不考虑噪声与观测误差的前提下，当载体静止时加速度计的读数皆由地球重力场引起，该点的重力值g与载体坐标系下三轴加速度计的输出关系可表示为［2］：

高精度捷联式IMU 中通常内置有石英挠性加速度计，其误差构成主要包括零偏项、比例因子项和白噪声等误差项等。在载体坐标系下可以用数学模型表达为［1］：

式中，ba为加速度计的零偏；ka为加速度计比例因子误差；fb为载体坐标系下的比力观测；wa是高频白噪声。零偏ba和加速度计比例因子kafb主要体现为常值零偏、开机零偏和漂移等误差。常值零偏的主要部分通常已在实验室中得到标定与校正，因此重力测量结果主要受未补偿零偏（即标定后随时间的漂移误差）、开机零偏、开机后随机漂移和温度漂移的影响。白噪声wa主要表现为加速度计观测输出的高频抖动。

加速度计的误差构成较复杂，需根据误差类型和特性采用不同的手段进行处理。在后续试验中，对于高频噪声将利用其频率特性对数据进行低通滤波以抑制其影响；对于未得到补偿的零偏、开机零偏，将通过在重力已知点上的对比观测试验来获取；对于开机后由于仪器自身原因和观测环境造成的漂移，将利用回归分析方法尝试进行拟合后补偿。

2 试验与分析

陆地惯性重力测量试验分为两次，第一次试验的目的是通过长时段观测来研究高频观测噪声的去除方法与开机后漂移的拟合补偿方法，并评估该IMU 内置加速度计用于重力测量的精度与稳定性；第二次试验在某山区进行，即在外业环境中进行陆地惯性重力静态测量的初步试验。

测量中使用的IMU 置于测量车内，表1为试验中所使用的高精度IMU 内置石英加速度计的技术指标。

2.1 车载静态测试

将测量车静止并对IMU 的数据进行长时间静态采集，IMU 的采样率为200 Hz。去掉观测起始阶段受人为干扰和温度影响较大的不稳定观测时段后，采集数据的总时长为7 200s。

表1 试验中采用的高精度挠性加速度计的技术指标Tab.1 The technical index of the accelerometers used in experiments

针对惯性元件输出数据的特性，可以采用频谱分析法和回归分析法进行处理，前者适用于存在确定周期的数据而后者适用于非周期性的数据。图1为载体坐标系三轴的加速度读数时间序列（截取时长为5s，共1 000 个历元）和利用式（3）计算得到的重力观测值的时间序列（截取时长为5s）。从图中可以观察到，由于加速度计各类误差，特别是高频观测噪声的存在，使单历元重力观测结果变化剧烈。因此在试验一中，首先将根据高频噪声的特性，研究减小其对静态重力观测影响的方法，之后将对观测结果中可能存在的趋势项（长周期项）进行回归分析，以支持后续重力观测的补偿，提高测量精度。

图1 载体坐标系X、Y、Z 轴加速度及单历元计算出的重力加速度Fig.1 The body frame acceleration in X，Yand Zaxis and the calculated gravity acceleration in single epoch

2.1.1 重力观测数据的低通滤波与频谱分析

大量噪声的存在使重力观测值的时间序列无法直接通过式（3）获得稳定的观测结果。重力信号通常位于低频段，根据重力信号与观测噪声的特点，可以利用低通滤波器抑制高频噪声，恢复重力信号［3］。在重力测量领域，常用的低通滤波器包括巴特沃斯IIR 低通滤波器和有限冲击响应FIR 低通滤波器［4－5］，这些滤波技术通常被应用于基于海空重力仪的动态重力测量数据处理中。本文采用滑动平均滤波的方法对高频噪声进行处理，式（5）为滑动平均滤波的基本原理［6］：

式中，g［i］为第i个历元滑动平均后的重力观测值；M为观测历元个数，它决定平滑的时间。

为选取最合适的平滑时间，采用不同平滑尺度下相对于整段观测的标准差来评定平滑质量，即将观测数据分别按1s、2s、5s、10s、30s、60s、300s为长度进行滤波，结果见表2。

表2 平滑时间与精度Tab.2 Smoothing length and precision

从表2看出，随着平滑时间的增加，观测重力值标准差显著减小，滤波结果越平滑，经过30s平均后的重力观测值已趋于稳定。权衡观测效率与观测精度，也考虑后续试验的需要，选择30s作为滤波平滑时间长度。

分别将7 200s的原始重力观测值及经过30 s滤波平滑的重力观测值进行快速傅立叶变换，得到它们的功率谱密度（图2）。可以看出，噪声在整个频段均有分布，且在77.5 Hz处的功率谱密度最大，即该频率的高频噪声对测量结果影响最为显著，但经30s平滑低通滤波后高频噪声的影响已得到有效抑制。

图2 原始重力观测值的功率谱密度（a）与经30s平滑后重力观测值的功率谱密度（b）Fig.2 The power spectrum density comparison between original calculated gravity acceleration（a）and the gravity acceleration after 30ssmoothing（b）

2.1.2 重力观测数据的回归分析

惯性元器件的漂移将使静态重力的观测结果随时间变化，本节主要考虑仪器温度与观测环境的不稳定性引起的漂移及其对重力观测的影响。采用与上一组试验相同的数据，将经30s滤波平滑后静态重力观测的时间序列绘制于图3，可以看出重力观测值存在明显的上升趋势。

针对该数据进行回归分析，可构造多项式函数：

若采用线性拟合方法，多项式函数可简化为：

式中，斜率p1代表加速度计的漂移速率，与加速度计的材质、制造工艺和观测环境温度有关；截距l为拟合起始时刻的重力观测值，该值与该点真实重力值之间的误差主要由未得到补偿的常值零偏和每次开机的非固定零偏引起。

对经过30s滤波后的数据采用最小二乘法求出其最优线性拟合多项式：

由式（8）可知，开机后石英挠性加速度计的随机游走、环境变化引起的漂移使7 200s（1 440 000个历元）内重力观测值增大约4.0mGal。

2.2 车载零速修正点上的静态测试

零速修正（ZUPT）能有效减小惯导系统中误差随时间的积累，该过程需要载体维持静止状态数10s。试验一已经证明，通过30s的滤波平滑可以使测试中采用的IMU 得到标准差小于1.5 mGal的静态重力观测值，因此在惯性导航中可以利用加速度计的观测数据获得零速修正点上的重力值。

试验二在某山区一条长约48km 的测线上进行。IMU 被安置于动态测量车上，用于采集ZUPT 点上的重力值。试验中部分零速修正点的重力值已提前通过相对重力测量获得。测线的大地高从123m 变化至390m，根据垂向重力梯度改正公式：

式中，h为高程变化。试验中大地高变化为267 m，对应的重力变化理论值约为82.4mGal，较大的重力变化有利于测量成果的检验。

考虑到石英挠性加速度计的不稳定性会使相隔较短时间的加速度计的零偏值发生变化，且惯性测量系统每次开机引起的零偏量亦不相同，故在试验二中由IMU 重力测量的初始偏移量bias0需在重力已知点上进行观测来确定。由于试验一与试验二采用同型号的IMU 且都是在冬季进行，气温较低，外部环境温度近乎一致。在温度与外界环境对测量结果的影响大致相同的前提下，斜率p1将沿用试验一中获得的参数。因此，相应补偿量的计算公式为：

式中，t0为确定bias0时刻的历元数，ti为任一零速修正点上的历元数。假设载体运动对漂移特性无显著影响，最后得到零速修正点上补偿后的重力观测值为：

将测线上所有ZUPT 点的重力观测值经式（10）、（11）改正后作图4。图中的空心点及其连线表示零速修正点上的IMU 观测重力值，离散的实心点表示对应零速修正点上的已知重力值。为排除仪器开机时升温对测量的影响，试验将选择第2个重力值已知的ZUPT 点作为初始重力已知点，经计算得到该点起始重力观测误差，即初始偏移量bias0为12.3mGal。从图4看出，在测线上大地高升高的同时，IMU 给出的重力观测值减小，基于惯性重力测量结果正确地反映了重力的变化趋势。

图4 ZUPT 点上的重力值对比Fig.4 The gravity value comparison on ZUPT points

表3为观测值已知的零速修正点上重力测量精度统计。点1上补偿后误差高达－20.4mGal，经分析主要是受开机时IMU 内部升温影响所致。由于试验在环境温度较低的冬天进行，开机后IMU 内部温度变化较大，使石英挠性加速度计的观测受到严重影响，故在试验中没有将该点作为初始的重力已知点。

表3 重力测量精度统计Tab.3 The precision statistic of gravity measurement

除起始点1外，补偿后的IMU 观测重力值误差均较补偿前显著减小，大多数点上的重力观测精度由补偿前的12～20 mGal提升至优于2 mGal，说明本文试验采用的补偿方法有效，同时也证明利用IMU 开展陆地mGal级重力测量的可能性。从表3中可看出，经过误差补偿后点3、4精度最优，误差小于1mGal；点5、6精度次之，误差分别为1.8 和－1.8 mGal；点7 误差约6.1 mGal，怀疑与车辆振动等相对复杂的外部观测环境有关。

3 结 语

本文利用高精度的惯性测量设备开展测定重力场的初步静态测试，证明了基于试验型号的高精度捷联式IMU 内置加速度计能够实现mGal级的重力观测精度，同时也为后续试验提供了一些经验：

1）试验中仪器开机后IMU 内部的升温对重力测量有较大影响，已超出当前高精度加速度计温度模型补偿的能力范围。故在后续的试验中，一方面有必要在测量前对仪器进行预热，以减小开机后的温度效应；另一方面，可从硬件着手对系统温度进行控制，例如为石英挠性加速度计提供恒温环境，以获得稳定的观测值。

2）在相同的硬件和相似的温度环境下，开机后重力观测值的漂移具有一定的复现性，因此可提前测定并用于后续观测的补偿。在动态试验中，可以考虑采用GNSS与SINS联合数据处理的方式，实时地对IMU 给出的比力观测误差进行求定与补偿。

致谢：对德国达姆斯塔特工业大学（TU Darmstadt）物理与卫星大地测量研究所（PSGD）提供的试验机会与帮助表示感谢。

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