小议差分方程的应用

2015-02-15周晓燕福建省福州职业技术学院350108

学周刊 2015年31期

关键词：差分消耗时段

周晓燕（福建省福州职业技术学院350108）

小议差分方程的应用

周晓燕（福建省福州职业技术学院350108）

本文主要讨论了数学中的差分方程在实际生活中的应用。

差分方程蛛网模型减肥模型

一、定义：差分方程的概念

我们将含有未知函数yt的差分的方程称为差分方程。一般地，n阶差分方程的形式为：F（t，yt，△yt，△2yt，…，△nyt）。也可表示为：G（t，yt，yt+1，yt+2，…，yt+n）=0。

二、应用

（一）筹集教育经费模型

随着人们生活水平日益提高，人们对于收入的理财认识逐步提高。部分家庭会考虑存入一小部分空余的资金，以供子女长大后完成学业。有一户家庭从现在开始从每个月的家庭总收入中取出一部分资金存到银行，计划20年以后，每个月从该账户取出1000元，一直到子女全部完成学业，估计一共支取10年后账户资金全部用完。如果要实现这一计划，在存钱的20年内一共要存入多少资金？每个月要存多少钱到账户中？假设银行的月利率一直保持不变为0.6%。

假设前面存钱的20年内一共要存入x元资金，每个月存入该账户a元资金，该账户第个月的资金总额为Ii元，20年后的第i个月的资金总额为Si元。

从而，得到20年以后，关于Si的差分方程模型为：Si+1=1.006Si-1200并且：S120=0，S0=x

从开始存钱到20年之内，该账户第i个月的资金总额为Ii满足差分方程：

Ii+1=1.006Ii+a且I0=0，I240=97560.12

解这一差分方程，得到：a=182.78

从而，要实现这一教育投资计划，在存钱的20年内一共要存入97560.12元，平均每个月要存182.78元到账户中。

（二）减肥计划——节食与运动

随着人们生活水平的提高，肥胖的人越来越多。针对东方人的特点，联合国世界卫生组织颁布的体重指数，当18.5≤BMI≤24为正常，24＜BMI＜29为超重，29＜BMI为肥胖。

1.模型假设

假设此人身体状况正常，且肥胖不是遗传性的；只考虑一周里由于与体重成正比的运动而消耗的总的能量；体重的增加与所吸收的热量是成正比，平均每8000kcal增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kj）；正常代谢引起的体重减少以及运动（与运动形式有关）引起的体重减少都正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间；安全起见，每一周体重的减少要小于1.5公斤，每一周吸收热量大于10000千卡。

模型求解：

（1）在不运动只通过控制饮食来进行减肥的情况下安排如下计划。

第一阶段：要使得每周体重减少1公斤，则需要通过控制每周的饮食，使每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；

设：w(k)～第k周(末)体重c(k)～第k周吸收热量

热量转换系数α=1/8000（公斤/千卡）β～代谢消耗系数(因人而异)

则：w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)

确定此人的代谢消耗系数每周吸收20000千卡w=100公斤不变

即每一周每公斤体重消耗热量20000/ 100=200千卡

吸收热量为：c(k+1)=12000-200k，k=0，1，…，9

第二阶段：通过每周吸收热量一直保持下限，直至减肥达到目标。

每周c(k)保持Cmin,体重w(k)减至75公斤。

w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)⇒w(k+1)=（1-β）w(k)+αCmin

第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按照：w(n)=40×0.975n+50(n=1，2，…，19)减少至75公斤。

如果适当增加运动：

根据资料每小时每公斤体重消耗的热量γ（千卡）：

t～每周运动时间(小时)

w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-(β+αγt)w(k)

取αγt=0.003，即γt=24，分析计算后知：n=14

则有上述讨论有：运动γt=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。

增加运动相当于提高代谢消耗系数β

β(=0.025)→β′=β+αγt(=0.028)，即代谢消耗系数β提高了12%。

减肥所需时间从19周降至14周，即减肥所需时间减少25%。

从模型的结果来看，该模型对于代谢消耗系数β很敏感。所以，在应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数β，对不同的人，即使是同一个人在不同的环境，β可能都不一致。

（2）考虑达到目标体重75公斤后维持不变的方案

每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变

①若不运动：C=8000×0.025×75=15000（千卡）

②有运动：与上述讨论保持一致，仍取αγt=0.003

则：C=8000×0.028×75=16800（千卡）

（三）市场经济中的蛛网模型

在自由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。这就需要利用到差分方程建模。

设：xk～第k时段商品数量；yk～第k时段商品价格。k=1，2，…

这里我们将市场演变模式划分为若干时段，用自然数k来表示，1个时段相当于商品的1个生产周期，如瓜果、蔬菜的生产周期是指种植周期，肉类则是指动物的饲养周期。

由经济学的知识知道：

消费者的需求关系（需求函数）：yk=f（xk）这是一个减函数

生产者的供应关系（供应函数）：xk+1=h（yk）这是一个增函数

也可以表示为：yk=g（xk+1）

f与g的交点p0（x0，y0）是平衡点，从某个时段以后的每个时段的商品的数量和价格会一直保持在p0（x0，y0）。但这只是理想的状态，实际中的各种状况会干扰到商品的数量以及价格发生偏离，不会一直保持在p0（x0，y0）。这种通过需求曲线和供应曲线的来分析市场经济的方法叫做蛛网模型。

为了进一步分析市场经济中的供需关系，我们通过蛛网模型的另外一种表达形式——差分方程来描述。

建立模型：

在平衡点p0（x0，y0）附近可以用“以直代曲”的方法，即在p0附近近似地用直线来代替曲线f和g。

设需求函数和供应函数分别近似为：

进而：α=Kf，1/β=Kg，通过对k进行递推，可以得出：xk+1-x0=(-αβ)k(x1-x0)

从而αβ＜1即(α＜1/β)也就是Kf＞Kg⇒xk→x0，p0稳定。

αβ＞1即(α＞1/β)也就是Kf＞Kg⇒xk→∞，p0不稳定。

所以，α体现着消费者对商品需求的敏感程度；β体现着生产者对商品价格的敏感程度。α小,有利于经济稳定，β小,有利于经济稳定。

从上述分析可以得出，当市场经济不稳定的时候政府有两种干预办法。

1.使α尽量小，如可以考虑极特殊的情况α=0，⇒需求曲线变为水平

不论供应函数如何变化，即使β再大，都有αβ＜1，因此总体经济都是稳定的。这可以通过政府以强制的行政手段控制价格不变来实现。

2.使β尽量小，如可以考虑极特殊的情况β=0，⇒供应曲线变为竖直

不论需求函数如何变化，即使α再大，都有αβ＜1，因此总体经济都是稳定的。这可以通过政府依靠强大的经济实力来严格控制市场上的商品数量。

模型的进一步延伸：

如果生产者管理水平有所提高，不仅仅只是依据前一个时段的价格来决定下一阶段的生产规模。

延伸情况一：

生产者根据当前时段和前一时段的价格来决定下一时段的产量。为了简化模型，可以考虑假设生产者根据当前时段价格yk和前一时段的价格yk-1的平均值来决定下一时段的产量xk+1，即：x=

同样的用“以直代曲”的方法：

供应函数可以近似为：xk+1-x0=β[(yk+yk+1)/ 2-y0]

又因为需求函数不变，仍然是：yk-y0=-α (xk-x0)

由于二阶线性常系数差分方程的平衡点稳定的条件是：该差分方程对应的特征方程的根都要落在单位圆内。分析可得：αβ＜2

平衡点的稳定条件从原来的αβ＜1放宽为αβ＜2。

延伸情况二：上一时段的商品的销售情况也在影响着下一时段这一商品的价格。也就是如果上一时段的市场内的商品没有销售完，则未销售完的商品的数量就会影响着下一时段的价格。因此，第k和第k+1时段的商品数量xk和xk+1共同决定这第k+1时段的商品价格yk+1。假设第k+1时段的商品数量xk+1仅仅只由yk来决定。

类似上面的讨论得到，平衡点的条件是：αβ＜2

延伸情况三：生产者根据当前时段和前一时段的价格来决定下一时段的产量；并且，上一时段的商品的销售情况也在影响着下一时段这一商品的价格，进而单前时段的商品数量和前一时段的数量共同决定本时段的商品价格。

类似于延伸情况一、二一致，平衡点的条件是：αβ＜2

显然，生产者的管理水平、素质对市场经济的稳定性有着一定的有利影响。所以，提高生产者的管理水平和素质是很重要的。使他们可以把目光放长远一些，不要热衷于追求一时的高利润，应该要对整体的生产有着长远的规划。