一种新的约束条件含三角模糊数的线性规划求解方法

张京亮，陈之宁，张海洋

(1.陆军军官学院，安徽 合肥 230031;2.68305 部队司令部，甘肃 730300)

在现实生活中我们遇到的很多规划问题，其实质为系数模糊而变量精确的模糊线性规划.对此类问题，不同学者给出了多种不同的求解方法.这其中，通过定义模糊数排序准则，改进模糊数排序方法来提高解的精度是一个重要的研究方向.高淑萍、刘三阳［1］和Chiang J［2］等通过借鉴区间数的符号距离来定义模糊数的符号距离，以此对原规划问题进行转化求解.文献［3］和［4］通过定义模糊比例值对此类规划问题进行转化求解;梁志贞、施鹏飞［5］在进一步分析后指出，不同方法皆可对此类问题进行转化求解，归结于目标函数和约束条件中模糊系数的隶属度可以值取不同.文献［6］利用隶属函数严格单调连续，通过反函数来定义了新的模糊数排序准则.

本文在充分考虑三角模糊数左右隶属函数不同基础上，提出了一种新的基于α - 截集的模糊数排序方法，以此对约束条件系数为三角模糊数的规划问题进行转化求解.与已有的方法比较，本文所提出的方法具有一定优越性.最后，给出数值算例进一步论证该方法的有效性.

1 三角模糊数排序准则

定义1［7］设是R 上的模糊数，其隶属函数为

文献［1］中定义了三角模糊数的符号距离作为比较其大小的排序指标，但是经分析我们发现三角模糊数的α - 截集(α)= ［L(α)，R(α)］中不同点的隶属函数是不一样的，而文献［1］中的定义并未充分加以区别考虑.针对这点不足，充分考虑隶属函数影响，提出新的排序准则.将的α - 截集依据隶属函数的不同，划分为两个区间:［L(α)，b］，［b，R(α)］.选取各个区间的中点，赋予权重定义新的排序指标.其中权重由区间上方模糊数隶属函数与y = α所组成的面积和模糊数隶属函数与x 轴组成的面积之间的比值确定［9］.

根据三角模糊数的运算法则［3］及定义3、4，有如下性质

2 约束条件系数为三角模糊数的模糊线性规划

本节考虑约束条件系数为三角模糊数的线性规划模型

由定义3、4，问题(2)的模糊约束条件可以转化为

因此问题(2)可以转化为如下的线性规划

经分析易知，模型(3)为经典线性规划问题，可以用单纯型法求解.按李荣钧［8］所提出的排序准则，则模型(2)等价于如下的规划问题:

定理 设问题(3)、(4)的可行解集分别为M，N，若x0∈N，则x0∈M

证明 因为x0∈N，则由(4)式可得

从而有

所以由(3)式可得x0∈M，即x0是(3)式的可行解.由以上可得N ⊂M，所以(4)式的最优解一定是(3)式的可行解，反之则不成立.显而易见，(3)式的约束条件个数明显少于(4)式.

3 实例分析

为了表明所提出方法的有效性和可行性，给出一个例子［1］.

例 约束条件系数模糊的线性规划:

以上问题中约束条件系数用三角模糊数表示:

4 = (3，4，5)，20 = (19，20，21)，12 = (11，12，13)，6．4 = (5．4，6．4，7．4)，4 600 = (4 500，4 600，4 700)，4 800 = (4 600，4 800，5 250)

用本文的模糊数排序准则，(5)式转化为线性规划:

由Matlab 参数线性规划工具箱可得上述模型的最优解为

X*= (x1*，x2*)= (312．637 0，167．474 0)，f*= 1 607．8

由文献［8］、［1］、［6］所得的解分别为:

X*= (x*1，x*2)= (182．268 0，180．412 4)，f*=1 268．5

X*= (x*1，x*2)= (309．938 0，163．017 6)，f*=1 581．9

X*= (x1*，x2*)= (312．388 1，167．522 4)，f*=1 607．3

4 结语

为解决约束条件的系数为三角模糊数的模糊线性规划问题，在充分考虑隶属函数不同而影响不同的基础上，本文通过定义新的排序准则对问题做进一步研究.对模糊数排序方法的改进使得此类问题在转化求解时不仅约束条件的个数明显减少，同时解的精度也得到了显著提高.数值算例通过与已有的求解此类问题方法的比较进一步证明本文方法的优越性.然而，对于现实生活中遇到的目标函数系数模糊或者变量本身模糊的模糊线性规划问题，则需要进一步研究.

［1］高淑萍，刘三阳.一类模糊线性规划的求解方法及应用［J］.系统工程与电子技术，2005，27(8):1412-1415.

［2］Chiang J.Fuzzy linear programming based on statistical confidence interval and interval -valued fuzzy set［J］.European Journal of Operational Research，2001，(129):37 -42

［3］龚艳冰，张继国.一种新的基于模糊比例值的模糊线性规划求解方法［J］.统计与决策，2009(8):136-137.

［4］梁雪春，龚艳冰，陈森发.基于模糊比例指标的模糊线性规划求解方法［J］.系统工程，2007，25(11):111-113.

［5］梁志贞，施鹏飞.一种具有三角模糊系数的线性规则方法［J］.系统工程与电子技术，2004，26(12):1818-1820.

［6］王中兴，李健.约束条件中含有三角模糊数的线性规划求解方法［J］.广西科学，2010，17(4):295-297.

［7］李洪兴，汪培庄.模糊数学［M］.北京:国防工业出版社，1993:46 -48.

［8］李荣钧.模糊多准则决策理论与应用［M］.北京:科学出版社，2002:16 -57.

［9］孟凡永，曾雪兰，王飞，刘华.基于α - 截集的模糊数排序方法研究［J］.海南大学学报:自然科学版，2008，26(1):21 -25.