星覆盖空间的真遗传性质*



星覆盖空间的真遗传性质*

鲁莹莹，张国芳

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130103)

摘要:文章研究了星覆盖空间的真遗传性质，证明了星紧空间、强星紧空间、n-星紧空间、绝对可数紧空间具有真遗传性质；同时得出星lindelöf空间和强星lindelöf空间、n-星lindelöf空间也具有真遗传性质.

关键词:星紧；强星紧；n-星紧；绝对可数紧；真遗传性质

1996年，M.L.Puertas提出如下问题：如果拓扑空间X的每个真子空间A具有性质，X是否具有性质P；A.Jarapat和A.Al-bsoul在文献[1]中把这种性质称为真遗传性质,即一种拓扑性质叫做真遗传性质,如果每个真子空间具有这种性质，那么整个空间也具有这种性质.F.Arenas在文献[2]中研究了Puertas的问题,并且证明了一些拓扑性质,比如分离公理(T0,T1,T2,T3),可分公理、可数公理和度量公理都具有真遗传性质.2009年,A.Jaradat和A.Al-bsoul在文献[1]中证明了以下拓扑性质是真遗传性质：完全正规空间，绝对可数紧空间，局部仿紧空间，极小Hausdorff空间，实紧空间，极大紧空间，空间和ω空间.本文将研究星覆盖性质具有真遗传性质.

本文中所有的空间都是指拓扑空间，并且每个拓扑空间都是T1的，未给出的定义见文献[3].

设X是拓扑空间，U是X的子集族，A⊂X，定义St(A,U)={U∈U|U∩A≠∅}.

一个空间X称为星紧(星lindelöf空间)[4]，如果对于拓扑空间X中的每个开覆盖U，都存在X的一个有限(可数)子集B,使得St(B,U)=X.

定理1如果一个拓扑空间的每个真子空间是星紧空间，那么拓扑空间X是星紧空间.

证明设X中的每个真子空间是星紧空间，U={Us:s∈S}是X中的一个开覆盖.取x1∈X,则在X{x1}中存在一个有限子集B1，使得St(B1,W)=X{x1}其中W={Us{x1}:s∈S} .

如果x1∈St(B1,U)，则结论成立.

如果x1∉St(B1,U),设x2∈B1,那么在X{x2}中存在一个有限子集B2,使得St(B2,L)=X{x2},其中L={Us{x2}:s∈S}.取B=B1∪B2,可知B为有限子集,故St(B,U)=X.

类似可证得

推论1星lindelöf空间具有真遗传性质.

一个空间X称为强星紧空间(强星lindelöf空间)[4]，如果对于拓扑空间X中的每个开覆盖U，却存在U的一个有限(可数)子集R,使得St(∪R,U)=X.

定理2如果拓扑空间X中的每个真子空间是强星紧空间，那么拓扑空间X是强星紧空间.

证明设X是一个拓扑空间，X中的每个真子空间是强星紧空间，U为X中的一个开覆盖.

X=Y∪{x1}，则U覆盖Y，由于Y是星紧空间，则在U中存在有限子集族R，使得St(∪R,U)⊃Y.

若x1∈St(∪R,U)，则X是强星紧空间.

若x1∉St(∪R,U)，取x2∈R，则X{x2}是强星紧空间，所以，存在U的有限子集族R1,使得St(∪R1,U)⊃X{x2},令R'=R∪R1则R'为U的有限子集族且St(∪R',U)=X.

若取R与R'为可数子族，则类似可证.

推论2强星lindelöf空间具有真遗传性质.

一个空间X称为n-星紧空间(n-星lindelöf空间)[4],如果对于拓扑空间X中的每个开覆盖U来说，却存在X的一个有限(可数)子集B，使得Stn(B,U)=X.

定理3如果一个拓扑空间X的真子空间是n-星紧空间，那么拓扑空间X是n-星紧空间.

证明设X中的每个真子空间是n-星紧空间，U={Us:s∈S}是X的一个开覆盖，设x1∈X,则在X{x1}中存在一个有限子集B1,使得Stn(B1,C)=X{X1},其中C={Us{x1}:s∈S}.

如果x1∈Stn(B1,U)，则结论成立.

如果x1∉Stn(B1,U),取x2∈B1，则在X{x1}中存在一个有限子集B,使得Stn(B,W)=X{x2}，其中W={Us{x2}:s∈S}.

取B'=B1∪B，可知B'为有限子集，故Stn(B',U)=X.

一个空间称为强-n星紧空间[4]，如果对于拓扑空间X中的每个开覆盖U来说，却存在U的一个有限子集R，Stn(∪R,U)=X.

推论3如果X是n-星紧空间，那么X是强-n+1星紧空间.

一个空间X被称为绝对可数紧空间[1],如果对于空间X中的每个开覆盖U和空间X中的每个稠密子空间D来说，都存在一个有限子集F⊆D，使得St(F,U)=X.其中St(F,U)=∪{U∈U:U∩F≠∅}.

定理4绝对可数紧空间具有真遗传性质.

证明设拓扑空间X的每个真子空间是绝对可数紧空间，U为X中的一个开覆盖.D是X的一个稠密子集.很显然，如果D=X或者D=∅,那么X是绝对可数紧的.假设当D≠X和D≠∅时，有以下两种情况：

(1)X=D{x1},对于x1∈XD,那么D是X{x1}的一个稠密子集，故D中存在一个稠密子集K1,使得St(K1,U)=X{x1}，其中U={Us{x1}:s∈S}.

如果x1∈St(K,U),那么结果成立.

如果x1∉St(K1,U),那么选择x2∈D,使得{x1,x2}在X中是闭集,那么D{x2}在X{x2}中是稠密子集,则在D{x2}中存在一个有限子集K2，使得St(K2,W)=X{x2}，其中W={Us{x2}:s∈S}.取K=K1∪K2，那么St(K,U)=X.

(2)X≠Dx1,∀x∈X,设x3,x4是X中的两个不同点,那么D分别是X{x3}和X{x4}的稠密子集.所以,在X{x3}中存在一个稠密子集K3,使得St(K3,L)=X{x3},其中L={Us{x3}:s∈S}.在X{x4}中存在一个有限子集K4,使得St(K4,L)=X{x4},其中L={Us{x4}:s∈S},取E=K3∪K4,那么St(E,U)=X.

类似可证得

推论4n-星lindelöf空间具有真遗传性质.

参考文献：

[1]A Jaradat,A Al-bsoul.Some covering spaces and types of compactness[J].2009,78(1):145-152.

[2]Arenas F.Topological properties preserved by proper subspaces[J].Q & A in General Topology,1996(14):53-57.

[3]Engelking R.General Topology[M].Berlin:revised and compeleted edition Helderman Verlag,1989.

[4]E K van Douwen.Star covering properties[J].Topology and Applications,1991,39:71-103.

(责任编辑:陈衍峰)

中图分类号：O732

文献标志码：A

文章编号：1008-7974(2015)06-0030-02

通讯作者：张国芳,女,吉林九台人,博士,副教授.

作者简介：鲁莹莹,女,吉林通化人,吉林师范大学数学学院在读硕士．

基金项目：吉林省科技发展计划项目“函数空间中的相对拓扑性质及其应用”(201201081)

收稿日期：*2015-09-12

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.12.010