分部积分巧妙谈

刘淑芹

摘 要：在高等数学课程中，培养学生熟练掌握和灵活运用初等求积方法并且结合教学内容提高学生的审美情趣是一项基本重要的教学任务。分部积分法作为积分学的基本方法之一，与乘积的微分法遥相呼应，往往针对积分题型为被积函数是两个基本初等函数相乘，是求不定积分的一种化难为易的有效方法，在积分学中有着重要的作用。该文通过一个简单的图示以加速读者的计算，同时因为分部积分不但解决了许多常见的积分问题，而且在很多情况下体现了数学的巧妙之美，该文也将结合例子来说明，分部积分法都有哪些巧妙之处。

关键词：数学之美 对称性 再现技巧 高等数学

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（b）-0144-02

当被积函数为两个因子相乘，直接积分法或凑微分的方法又失效时，可考虑使用分部积分法，谁扮演，谁扮演，这是分部积分的关键，初学者往往对此有些困惑，或者掌握了基本方法，一加速又容易出错，很多老师也总结了一些方法，比如求导要比较简单而的原函数应该好求，又如“反对不要碰，三指动一动”[1]，是讲反三角函数和对数函数扮演不要碰，留在原处，而三角函数和指数函数则是要扮演，拿来凑微分。本文介绍的图示法则可以让初学者比较快速地做出判断与计算。

1 分部积分来源简述

大家所熟悉的简洁对称的求导乘法公式通过两边取不定积分得到，即有，两个积分号共存于一个等式中，所以这就给了我们很多启发，假若难求，好求，难求的就可以转化为好求的，所以分部积分是求不定积分的一种化难为易的有效方法。

2 快速巧选和

笔者在这里，用一个简单的图示，可以通过位置信息告诉学生快速选择和。我们常见的使用分部积分的题目有幂函数乘指数函数、幂函数乘三角函数、幂函数乘对数函数、幂函数乘反三角函数、指数函数乘三角函数，这里有一个连接点，那就是幂函数，我们以此为中心把它们放在一起如下图，连线代表乘法，我们可以这样告诉同学们，当幂函数乘指数函数时，是指数函数扮演拿来凑微分，而指数函数在连线的上方，同样的位置规律，又如幂函数乘对数函数，幂函数在连线的上方，其扮演，图中有一条东西方向连线比较特殊，指数函数与三角函数相乘，在这种情形下，两者任选一个可作为，这个图很简单，学生也很容易记住。（如图1）

3 所凑要吻合

学生大都觉得求导比较简单，因为答案是唯一的，比如复合函数求导，从外到内，如同剥竹笋般，只需每次求导把里面的看成一个整体即可。而不定积分是求导的反运算，是一个多值问题，分部积分中在选定后要凑成，如何选择呢，因为是要和相乘的，唯一，我们要在芸芸候选者中找一个和吻合，使得转换后的被积函数即简洁好算。

下面举例：

例1中我们为什么要凑成呢，因为只有这样转换后的被积函数最简单，当然同学们随便凑一个也可以算出来，但无形中绕了一些弯路。例2和例1的道理是一样的。

4 巧用“再现技术”

分部积分所特有的“再现技术”是说在我们经过有限次的分部积分后，又出现了题目本身的相反数或倍数，通过解方程的思想就可以寻得答案，这种技巧是被积函数为指数函数乘三角函数这样一类题目给我们的启发，如今它在很多题目中得到应用。

例题如下：

5 巧用公式对称性

若微分乘法公式两边积分就得到，即有，这样一个对称的结论，在不定积分的一些题目中得到了巧妙应用，从而简化了运算。下面举例：

例题用对称性也能够很巧妙地得到解决，教师不妨让学生在做题的过程中有意识地去搜集拾零这样的一些题目，也是一件很有意思的事情。

6 巧用“组合法”

在三角函数家族里，正弦和余弦是一对神奇组合，不仅因为它们的平方和为1，还有众所周知的正弦的导数为余弦，余弦的导数和正弦互为相反数，这样一对组合在分部积分的一类题目里得到了很好的应用。下面举例：

7 多次分部积分宜用“表格法”

在段玉珍《关于分部积分法的几点探索》中比较详细地说明了对于多次分部积分比较适合用“表格法”，也是一种简洁快速有趣的方式。下面只简单列举两道例题，不再赘述。

8 结语

数学本身就有美，高等数学更是如此，学生对美的事物总是易于接受。本文总结了一些解分部积分的技巧，借此阐述了数学的巧妙之美，其实数学的美无处不在，其中有很多经典的思想，比如“数形结合”；又如极限无限运动的观点、函数连续的性态、定积分无限细分的思想，等等，都蕴涵着深奥且意味深长的美，并富有哲学含义，需要我们去细细体会，争取能够做到，不仅掌握了数学的思维模式和精确的符号描述，也能把知识和思想应用到生活中。

参考文献

[1] 陶硕，夏天.分部积分的“十字”口诀方法[J].高等数学研究，2008，11（6）：31-34.

[2] 段玉珍.关于分部积分法的几点探索[J].大学数学，1995（2）：247-249.

[3] 李忠杰.分部积分法解题方法浅析[J].数学学习与研究：教研版，2011（7）：64-65.endprint