行列式的计算

李蕾

摘 要：行列式的计算是学习高等代数的基石，是求解线性方程组，求逆矩阵及求矩阵特征值的基础，但行列式的计算方法很多，综合性较强，这样就需要我们多观察多总结，便于能熟练的计算行列式的值。教材上对于行列式的计算只是零散的讲解了一部分，下面我将对行列式的计算做部分的总结。

关键词：行列式 计算 高等数学 基石

中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（b）-0135-03

行列式的计算是学习高等代数的基石，是求解线性方程组，求逆矩阵及求矩阵特征值的基础，但行列式的计算方法很多，综合性较强，这样就需要我们多观察总结，便于能熟练地计算行列式的值。教材上对于行列式的计算只是零散的讲解了一部分，下面我将对行列式的计算做部分的总结。

1 行列式的定义

2 行列式的性质

（1）行列式与其转置行列式的值相等，DT=D，

即

（2）交换行列式的两行（列），行列式改变符号，

即

推论：有两行（列）相同的行列式为0。

（3）行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一个数k，就相当于用k乘此行列式，

即

由（3）得有两行（列）成比例的行列式为0。

（4）如果行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，

即

（5）行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变，

即

（6）n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其相对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin（按第i行展开）或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj（按第j列展开）

3 特殊行列式

3.1 上（下）三角行列式

3.2 对角行列式

3.3 关于副对角线的行列式

3.4 范德蒙行列式

3.5 拉普拉斯定理的两个特殊情形

（1）

（2）

4 行列式的计算

4.1 定义法

N阶行列数D=等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，

即D==

4.2 化三角形行列式法

利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值。

4.3 拆分法

把某一行（列）的元素写成两数和的形成，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，把问题简化以利于计算。

4.4 降阶法

将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行（或某一列）化成仅含一个非零元素，然后按此行（列）展开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。

4.5 升阶法

在原行列式的基础上添行加列使其升阶构成一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。

4.6 数学归纳法

利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想值的严格证明。这里采用第二型数学归纳法较多。

计算n阶行列式

解：（1）解法1：三角形法。

将各列都加到第1列，并提取公因子，得：

（2）解法2：加边法（升阶法）。

（3）解法3：递推法。

（4）解法4：析因法。令

显然f（2a）=0，f（-（n-2）a）=0（各列之和为0），故x-2a，x+（n-2）a是f（x）的一次因式

又

同理可得：

（5）解法5：拆行（列）法。

（6）解法6：数学归纳法。

当n=2时，

D2=

当n=3时，

D3=

猜想：Dn=（x-2a）n-1[x+（n+2）a]用数学归纳法证明。设Dn-1成立，即有Dn-1=（x-2a）（n-1）-1[x+（n-1-2）a]，则

由假设Dn=a（x-2a）n-1+（x-2a）（x-2a）n-2[x+（n-3）a]=（x-2a）n-1[a+x+（n-3）a]

=（x-2a）n-1[x+（n-2）a]

因此对任意自然数n都有Dn=（x-2a）n-1[x+（n-2）a]

由上述的例子，可以看出，行列式的计算，往往由于方法的不同，难易繁简差别程度大，欲使计算过程简单明了，要善于选择适当的方法，掌握一定的技巧。对这些技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义。本文，对于行列式的计算也只是总结了一部分，还有很多行列式的计算方法和技巧需要我们探讨和归纳。

参考文献

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