(3+1)维YTSF方程的对称约化、精确解和守恒律

于金倩，明清河

(枣庄学院a.信息科学与工程学院;b.数学与统计学院，山东枣庄277160)

(3+1)维YTSF方程的对称约化、精确解和守恒律

于金倩a，明清河b

(枣庄学院a.信息科学与工程学院;b.数学与统计学院，山东枣庄277160)

在本文中通过直接对称法，得到了(3+1)维YTSF方程的对称，群不变解，相似约化和新精确解，其中新解包括有理解，双曲函数解和三角函数周期解.最后运用共轭方程得到了(3+1)维YTSF方程的无穷守恒定律.

YTSF方程;直接对称法;相似约化;精确解;守恒律①

0 引言

因为真正的物理时空是(3+1)维的并且有关(3+1)维可积模型的理论还没有很充分，所以，寻找(3+1)维可积或非可积模型，并研究它们是非常重要并且有意义的.

近期，Yu et a1把Bogoyavlenskii Schif方程

扩展成一个新的(3+1)维非线性发展方程

方程(2)被叫做(3+1)维YTSF方程，为了方便研究方程(2)，在本文中，我们做如下变换，令w=ux，可得如下方程

其中u=u(x，y，z，t)，ux=.对于方程(3)已经有几位作者研究过，并求得了一些行波解或精确解［1-4］.

本文的结构如下:在第二部分列出的是方程的对称和直接对称方法得到的方程的群不变解.在第三部分，我们利用对称对YTSF方程进行约化，使其降为更低维的偏微分方程.方程的一些新的精确解在第四部分给出.第五我们给出了YTSF方程的无穷守恒律.最后部分是一个简短的总结.

1 YTSF方程的对称群和群不变解

对于一个非线性发展方程

F(t，x，y，z，u，ux，....)=0，(4)

如果函数σ满足

F'(u)σ=0，(5)

则称函数σ为方程(4)的一个对称.对于方程(4)的所有解u，满足下式

由方程(5)可得方程(3)的对称满足下式

-σtx+σxxxz+4σxuxz+4uxσxz+2σxxuz+2uxxσz+3σyy=0.(6)

令σ=aut+bux+cuy+duz+eu+k，(7)

其中a，b，c，d，e和k是x，y，z和t的函数.

把(7)代入(6)，我们可以得到一些决定方程，解这些决定方程我们可得到

由方程(8)，我们可得到方程(3)的对称如下:

其中ci(i=1，2，3)是任意常数，Fi(i=1，2，3，4，5)是关于t的任意函数.

为了能从已知解得到新解，我们需要从相关的对称中找到李对称群，由微分方程组

得到李对称群，其中ε是一个参数.这样我们就可以得到由Vi所产生的一组参数群Gi形式如下:

根据参数群，我们可以得到方程(3)的不变群如下:

其中ε是一个参数，f(t，x，y，z)是方程(3)的解.

2 YTSF方程的对称约化

为了求出方程(3)的相似约化和精确解，利用方程(3)和σ=0的相容性，可得方程(3)的对称所对应的特征方程如下:

运用方程(10)，我们可寻求方程(3)的对称约化和相似解，考虑如下情况:

情况(1)c1=1，ci=0，Fj=0，(i=2，3，j=1，..5)

则σ=tut-xux+3zuz-u，解偏微分方程σ=0，得

u=U(ξ，η，τ)t，其中ξ=xt，η=y，τ=zt-3，

将其代入方程(3)，得到约化方程如下:

3τUξτ-ξUξξ-2Uξ+Uξξξτ+2UξξUτ+4UξUξτ+3Uηη=0(11)

情况(2)c3=1，ci=0，Fj=0，(i=1，3，j=1，..5)

在这种情况下，得到方程(3)的解u如下

u=U(ξ，η，τ)y-2，ξ=xy-2，η=zy4，τ=t且U(ξ，η，τ)满足

Uξξξη-Uξτ+4UξUξη+2UξξUη+12ξUξξ-48ξηUξη+42ξUξ+48η2Uηη-12ηUη+18U=0 (12)

情况(3)F1≠0，Fi=0，cj=0，(i=2，3，4，5，i=1，2，3)

得到解u的表达式如下:

情况(4)F2≠0，Fi=0，cj=0，(i=1，3，4，5，i=1，2，3)

由σ=0，得到方程(3)的相似解如下:

其中ξ=x，η=y，τ=t，将其代入方程(3)，可得约化方程为

情况(5)F3≠0，Fi=0，cj=0，(i=1，2，4，5，i=1，2，3)

在这种情况下，可得

情况(6)c2≠0，F3≠0，F4≠0，F5≠0，c1=c3=F1=F2=0

在这种情况下，可得群不变解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得约化方程

Uξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0(16)

情况(7)c1≠0，F4≠0，F5≠0，c2=c3=F1=F2=F3=0

在这种情况下，可得群不变解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得约化方程

2Uξ-ξUξξ+3τUξτ+UUξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0(17)

情况(8)c2≠0，c3≠0，c1=Fi=0，(i=1，...，5)

在这种情况下，可得群不变解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得约化方程

4c3Uξ+2c3ξUξξ+c3ηUξη-4c3τUξτ+c2Uξξξτ+4c2UξUξτ+2c2UξξUτ+3c2Uηη=0 (18)

情况(9)F1(t)=b，F2(t)=c，F3(t)=a，F5(t)≠0，c1=c2=c3=0

在这种情况下，可得群不变解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得约化方程

3 YTSF方程的精确解

由于求解(3+1)维偏微分方程是很困难的，我们可以通过寻求约化方程的解来求得原方程的解.在这一部分，我们考虑情况(6)和(9)，通过求解情况(6)和(9)的约化方程，得到原方程的新精确解.

3.1约化方程为Uξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0时.

作变换δ=kξ+lη+mτ，其中k，l，m是任意常数，通过对δ积分两次方程(16)可写成如下形式:

令U'=f，则方程(20)变为

其中k3=-，k2=-，k1和k0是可积常数.

(I)当k0=k1=0，k2＞0时，方程(21)有种钟形孤立子解

f=-，于是可得U=-+C0，

则方程(3)的解为

其中k3=-，k2=-，C0为可积常数.

(II)当k0=k1=0，k2＜0时，方程(21)有种三角函数解

此时方程(3)的解为

其中k3=-，k2=-，C1是一个可积常数.

(III)当k0=k1=k2=0时，方程(21)有种有理解

可得方程(3)的解如下

其中k3=-，C2是一个可积常数.

(IV)当k2=0，k3＞0时，方程(21)有Weierstrass椭圆函数双周期解f=(δ，g2，g3)，可得U=(δ，g2，g3)dδ+C3，

可得方程(3)的解如下

其中δ=kξ+lη+mτ，g2=-，g

3=-，C3为可积常数.

1.因此方程(22)具有下述形式的解，

其中G(δ)满足下面的二阶线性常微分方程

G″(δ)+λG'(δ)+μG(δ)=0，(24)

a1=2k，其中a0为任意常数.

通过方程(19)和(23)，我们可以得到方程(3)的三种类型的行波解

4 YTSF方程的守恒律

在本节，我们将通过YTSF方程的共轭方程和对称来研究它的守恒律，共轭方程有下述形式

F=2vxxuz+4vxuxz-vxt+4vxzux+2vzuxx+3vyy+vxxxz=0(25)

拉氏量函数L=v(-uxt+uxxxz+4uxuxz+2uxxuz+3uyy)

=vxut-vzuxxx-4vxuxuz-2vuxxuz+3vuyy

定理1每个李点对称，李贝克隆变换和方程(3)的对称都给出了(3)和共轭方程的一个守恒律.并且守恒向量(C1，C2，C3，C4)由下式表达式确定

利用定理1和公式(26)，计算方程的守恒律可得

C1=3vtuyy-tvzuxxx-4tvxuxuz-2tvuxxuz-uvx-xuxvx-yuyvx+zuzvy

C2=(u+tut+xux+yuy-zuz)(2vxuz-2vuxz+vxxz)+vz(3uxx+tuxxt+xuxxx+yuxxy-zuxxz)-(vxz-2vuz)(2ux+tuxt+xuxx+yuxy-zuxz)+(v-tvt-xvx-yvy+zvz)(ut-4uxuz)

C3=3vy(u+tut+xux+yuy-zuz)-3v(2uy+tuty+xuxy+yuyy-zuzy)

C4=(4vxux+2vuxx)(u+tut+xux+yuy-zuz)+uxxx(v+tvt+xvx+yvy-zvz)

其中Dt(C1)+Dx(C2)+Dy(C3)+Dz(C4)=0.

5 结论

本文通过直接对称法，得到了YTSF方程的对称，同时获得了群不变解，相似约化.并通过求解约化方程，得到原方程的一些新的精确解.最后利用对称和共轭方程得到YTSF方程的无穷多守恒律.

［1］Wazwaz.A.M.Multiple-soliton solutions for the Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff，Jimbo-Miwa and YTSFequations［J］，Applied Mathematics and Computation，2008，203:592-597.

［2］Zhang T.X，Xuan H.N，Zhang D.F.Non-travelling solutions to a(3+1)-dimensional potential-YTSF equation and a simplified model for reacting mixturea［J］.Chaos.Solitions and Fractals，2007，34:1006-1013.

［3］赵展辉，何晓莹，韩松.(3+1)维YTSF方程的对称约化及精确非行波解［J］.西北师范大学学报(自然科学版)，2012，48(6):36-43.

［4］an.Z.Y.New families of non-travelling wave solutions to a new(3+1)-dimensional potential-YTSF equation［J］.PhysICS.Letters A.2003，318:78-83.

［责任编辑:闫昕］

Symmetry Reductions，Exact Solutions and Conservation Laws to (3+1)-Dimensional YTSF Equation

YU Jin-qiana，MING Qing-heb
(a.College of Information Science and Engineering，b.School of Mathematics and Statistics，Zaozhuang University，Zaozhuang 277160，China)

In this paper，we obtain symmetries，group invariant solutions，similarity reductions and new exact solutions to the (3+1)-dimensional YTSF equation by using direct symmetry method，including rational solutions，hyperbolic function solutions，and triangular periodic solutions.We also find infinite conservation laws of the(3+1)-dimensional YTSF equation by applied adjoint equation.

YTSF equation;direct symmetry method;similarity reductions;exact solutions;conservation laws

O175.29

A

1004-7077(2015)02-0049-06

2015-01-10

国家自然科学基金(项目编号:11101357);山东省自然科学基金(项目编号:ZR2011AL006).

于金倩(1985-)，女，山东聊城人，枣庄学院信息科学与工程学院助教，理学硕士，主要从事偏微分方程发展及应用的研究.明清河(1964-)，男，山东滕州人，枣庄学院数学与统计学院教授，主要从事数学方法论、非线性规划的研究.