有限元计算方法中时间步长的Newmark处理

张永刚

(1.安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽淮南232001;2.南京大学电子科学与工程学院，江苏南京210093)

有限元计算方法中时间步长的Newmark处理

张永刚1，2

(1.安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽淮南232001;2.南京大学电子科学与工程学院，江苏南京210093)

本文采用有限元方法和Newmark方法相结合，对求解问题的空间部分用有限元离散处理，对时间部分用Newmark方法进行变换，从而对动力学问题进行计算.分析了叉指换能器的电极上的电荷分布情况与外加电压激励的关系，并对计算结果进行了分析.

有限元方法;Newmark方法;电荷分布①

0 引言

有限元法(Finite Element Method，简写为FEM)是求解微分方程的一种有效的数值计算方法，用有限元法方法进行波动数值模拟有非常广泛的应用.有限元法起源于固体力学的应用需求，其应用逐步扩展到热传导、计算流体力学、电磁学等不同领域，成为很重要的数值计算方法.

由于有限元法对计算机资源消耗很大，一般在空间离散上采用了大小不同的矩形离散单元.而在时间处理上，本文把有限元和Newmark方法结合，对求解问题的空间部分采用有限元离散处理，对时间部分用Newmark方法进行变换，对动力学问题进行分析计算，并采用这种方法计算换能器电极上的电荷分布在一个周期中的变化情况.

1 理论模型

在压电介质中，由于存在压电效应，在伴随弹性波传播的同时，必然出现电磁波的传播.这种声波和电磁波的相互耦合使得在压电介质中传播的声表面波具有和非压电体中不同的性质.对于压电介质中声波的研究，和非压电介质一样，仍然从声波在介质中传播所遵循的弹性波方程着手，但是所不同的是，此时还必须同时求解电磁波方程.

声场在压电介质中遵循两个方程:质点运动的弹性波方程和麦克斯韦方程组.它们在压电介质内通过压电本构方程联系在一起.在线性范围内，如果我们选择应变S和电场强度E为自变量，应力T和电位移D为因变量，则有下面相应的压电本构方程［1］［2］:

在上式中，S是应变矩阵，表示声学振动物体形变.T表示应力矩阵，是质点间的弹性恢复力，E表示电场强度;D表示电位移;［c］是弹性刚度常数，是一个表征材料形变量度的参数.［e］是压电常数;［ε］是介电常数矩阵.

对声表面波器件如叉指换能器来说，Maxwell方程可以简化为下面两式.

上式中φ为电势.在后面的计算中，设声表面波传播方向是x轴方向，而设y轴垂直于压电介质表面，z轴平行于电极指条方向，如图1所示.

图1 叉指换能器示意图

经过一系列的有限元处理:限元方程的建立;设置计算边界;有限元计算单元的划分;单元插值形函数的生成;最后可以得到计算声表面波传播的有限元方程组［3-7］，这个压电有限元方程为:

其中，F=Pe+pe;Q=+

然后进行总刚度矩阵的组装;界约束条件的处理;边界单元瑞利阻尼引入，压电有限元方程变成［5-8］:

Damp矩阵是每个单元的组装而成.

在计算中加大α，β的值［8］可以让阻尼单元达到吸声的效果.根据不同单元的瑞利阻尼系数α，β的值，可以计算得到阻尼比γ的值.

对一个弹性动力问题，用有限元法把待求问题在空间上进行离散，得到一个离散方程后，对此类动力学方程在时间方面的常用解法有:利用Laplace或Fourier变换把一个关于时间t的弹性动力学方程变换为一个变换参数为p或s的弹性动力学方程.把有限元法和Laplace或Fourier变换相结合，把关于时间的常微分方程变换成了关于变换参数p或s的代数方程组，求解在变换空间的代数方程组.然后利用Laplace或Fourier反变换，就可以将该解变换到时间域中.另外一种方法是用差分法把时间域离散化或利用直接积分方法，比如Wilson-θ法，Newmark［2］法等.直接积分法是在求解方程组之前不对它进行形式的变换，而是直接对它进行逐步数值积分.

在计算中，每个周期的求解域0□T被等分为n个时间间隔Δt(Δt=T/n).在t□t+Δt的时间区域内，Newmark积分方法依具的假设［2］如下式:

Newmark方法中t+Δt时刻的位移解答ut+Δt是通过满足时间t+Δt的运动方程得到的，也就是由下面方程:

把上式(6)带入方程有限元(5)中，进行整理后可以得到下面的Newmark变换后的有限元方程:

2 电荷分布

由于所有电极都排布在压电基体的表面，当在电极上外加正弦波电压时，根据文献［2］所述的声表面波换能器的原理，在Y-Z锂酸铌基体中生成的弹性波主要声表面波，也就是说本文所计算的换能器基本上是对声表面波进行换能.我们研究了在电极上外加正弦波电压时Y-Z锂酸铌介质中质点ξ1方向振动的振幅，如图2所示.从图中可以看出，质点ξ1方向振动振幅和文献［2］的文字描述及图示是一致的.

图2 压电基体中质点相对振幅

图3 交替地加相反的单位常电压

当电极上外加正弦波电压时，在电极上的总的电荷分布应该包括两个部分，一部分是静态电荷分布，另一部分是外加激励产生的弹性波造成的电荷分布(主要是声表面波)，也就是动态电荷部分.

在5个电极上加相反的常电压激励时(如图3所示)，用有限元方法的计算结果如图4所示.

我们计算电荷分布中的动态部分，观察由声波造成的动态电荷分布的变化，这里选择了一个时间周期中的2个特定时刻来观察有限元方法的计算结果.

图4 动态电荷分布

3 结论

本文给出了用有限元方法结合时间步长的处理计算出的叉指换能器表面电极上的激励情况.把频域有限元计算方法与时间的Newmark方法相结合，计算了在外加时变电压情况下的电荷分布情况，给出了特定频率下电极上的电荷分布，并用Newmark方法设定时间步长，计算此特定频率下不同时刻电极上的动态电荷分布，分析了不同时刻下的电荷分布间的差别.

［1］B.A.Auld.Acoustic Fields and Waves in Solids［M］.John Wiley，1973，5-230.

［2］水永安.声表面波与声表面波器件讲义［M］.南京:南京大学，1998，27-56.

［3］S.H.Ju and Y.M.Wang.Time-Dependent Absorbing Boundary Conditions for Elastic Wave Propagation［J］.Int.J.Numer.Meth.2011，50:2159-2174.

［4］V.V.Petrovic and B.D.Popovic.Optimal FEM Solution of One-Dimensional EM Problems.International Journal of Numerical Modelling Electronic Networks，Devices and Fields［J］.Int.J.Numer.Model.2011，14(2):49-68.

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［9］王勖成.有限元法［M］.北京:清华大学出版社，2003.

［责任编辑:闫昕］

The Calculation of Charge Distribution on Interdigital Transducers Using Finite Element Together with Newmark Method

ZHANG Yong-gang1，2
(1.School of Electrical and Information Engineering，Anhui University of Science and Technology，Huainan 232001，China;2.School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing 210093，China)

the paper established Finite Element Method(FEM)equations for Interdigital Transducers from piezoelectric constitutive equation and acoustic field wave equation.the FEM divided the space area into small elements and transformed the equation in time part with Newmark method to solve the charge distribution on electrodes of the dynamics equation.On account of Finite Element Method need a large amount of computer resource，our analyse adopted different elements in size to reduce the calculation time.

finite element method;newmark method;charge distribution

TN912

A

1004-7077(2015)02-0024-04

2015-01-10

国家自然科学基金(项目编号:61401003).

张永刚(1976-)，男，安徽六安人，安徽理工大学电气与信息工程学院讲师，南京大学电子科学与工程学院2010级在读博士研究生，主要从事电磁计算方法的研究.