GM（1，1）正弦模型修补气温监测缺失数据的探讨

郭赞洪，唐其环

（西南技术工程研究所，重庆 400039）

环境条件对装备的使用或长期放置有重要的影响，文献[1—5]介绍了不同环境条件对于装备器械的影响，因此，了解环境的各性质很重要。其中，温度是气象站或者相关试验站所要监测的一个基本气象因素。由于在监测过程中，仪器的突然损坏、采集数据记录时突然出错等原因，会造成某段时间温度数据的缺失，如何对这部分数据进行修补至关重要。同时，环境温度受到各种自然环境因素的影响，温度变化难以预测，但是对于大部分天气没有突然转变的情况，温度变化是具有一定的规律性的。文中将对具有规律性的温度数据进行缺失修补研究分析。文静等人[6]研究了人工监测数据和自动站监测数据的相互填补，但随着信息自动化，人工检测将被完全取代。灰色系统法[7—9]中的GM（1，1）模型法近些年在许多领域中常用于缺失数据修补[7—9]，而且是灰色系统法中应用最多的方法[10]。

GM（1，1）标准模型法适合于具有指数型性质增加或减小的数据[11—14]，而不是所有的数据都恰好满足这样的要求。因此，不同领域的学者们对GM（1，1）标准模型进行改进，以适用于该领域数据变化情况[15—21]。Zou Lihua[22]、倪凯[23]和彭涛[24]分别在振动数据、量测数据和软基沉量数据方面采用将GM（1，1）模型进行研究改进，结果可知，针对不同数据变化规律将GM（1，1）模型进行改进后，预测效果得到了较大的提高。唐五湘等人[25—26]提出的时序修正法改进后的GM（1，1）模型即GM（1，1）时序修正模型，对于某些时序数据的预测具有一定的改进。文中研究的对象是大气温度数据，根据大气温度数据的变化情况，提出了以正弦函数对GM（1，1）标准模型进行改进，得到GM（1，1）正弦修正模型，对大气温度数据具有较好的预测修补作用。

文中将以万宁试验站监测的温度数据作为原始数据，采用GM（1，1）正弦修正模型与GM（1，1）时序修正模型以及GM（1，1）标准模型进行缺失修补对比分析研究。

1 数学模型

1.1 GM（1，1）标准模型

根据GM（1，1）标准模型法的建模过程要求，对原始数据X（0）数据进行一次累加生成得到X（1），如下：

作一次累加公式为：

建立X（1）如下的白化微分方程为：

式（2）中的a和u为待求参数，记参数列为：

解出白化微分方程的解为：

式（4）即为通过原始数据建立起来的GM（1，1）模型。

1.2 GM（1，1）时序修正模型

根据唐五湘[25]提出的时序修正法对GM（1，1）模型进行改进。该文提出GM（1，1）标准模型已经确定了参数a和b，在模型中只剩下参数t，最终的预测精度就只和参数t相关，因而该作者讨论了输入变量t的GM（1，1）模型。该模型的建立过程如下：

将式（9）代入式（7）得到：

式（10）即为GM（1，1）时序修正模型。

1.3 GM（1，1）正弦修正模型

根据大气温度的类似周期变化性质，每天的温度变化类似于正弦函数的变化规律。文中提出了以正弦函数sin x修正GM（1，1）标准模型后的GM（1，1）正弦修正模型。并且将GM（1，1）模型中的t以24 h的整点时间带入，即t∈（1，2，…，24），经过试验带入，过程如下。

标准模型为：

经检验后，模型建模部分采用标准模型建模，预测部分采用改进5建模。因为标准模型和改进5模型分段使用时具有较好的拟合性，对该类温度数据具有较好的适应性。故GM（1，1）正弦修正模型为：

其中n为建模时的原始数据个数。

2 实例应用

文中以万宁试验站所监测的温度数据为基础，对以上模型进行检验。该试验站9月份的连续小时温度数据见表1。根据表1的原始数据建立相应模型。

2.1 GM（1，1）模型建立

用前9个数据作为原始数据建立GM（1，1）模型。

表1 万宁试验站9月份的某天的24 h温度数据Table 1 24 hour temperature data in Wanning test station on one day in September

2.2 GM（1，1）标准模型

根据表1、式（3）和式（4），建立GM（1，1）标准模型为：将⊗t带入式（9）和式（10）中，得到GM（1，1）时序修正模型，即为：

2.3 GM（1，1）时序修正模型

根据式（8）可以求出具体数值，见表2。

2.4 GM（1，1）正弦修正模型

根据原始数据和式（11），可以求出GM（1，1）正弦修正模型为：

表2 ⊗t的计算值Table 2 The calculated values of⊗t

3 结果分析

分别对式（12），（13）和（14）进行计算，对结果进行精度检验，得到绝对误差和相对误差精度检验。见表3。（预测精度=1-相对误差）

分析表3数据可知，从模型的拟合情况分析，GM（1，1）正弦修正模型与GM（1，1）标准模型具有相同的拟合平均误差（和平均相对误差），平均绝对误差只有0.2，平均相对误差也仅0.60%，具有与原始数据相当好的拟合效果。GM（1，1）时序修正模型的拟合平均绝对误差为0.6，平均相对误差为2.29%，虽然略大于另外两种，但拟合效果也不错。预测值的准确性的程度才是我们最关心的，GM（1，1）标准模型的预测平均绝对误差为6.7，平均相对误差为22.54%；GM（1，1）时序修正模型的预测平均绝对误差为5.3，平均相对误差为17.70%；GM（1，1）正弦修正模型的预测平均绝对误差为0.9，平均相对误差为3.14%。无论是从平均绝对误差还是相对误差来分析，GM（1，1）正弦修正模型相较于GM（1，1）标准模型和GM（1，1）时序修正模型有了很大的改进，预测的准确性得到了很大的提高。GM（1，1）标准模型的预测值的误差基本都超过了20%，GM（1，1）时序修正模型的预测误差也超过17%，而GM（1，1）正弦修正模型的预测误差绝大部分未超过6%，非常好地预测了原始值。

GM（1，1）标准模型、GM（1，1）时序修正模型、GM（1，1）正弦修正模型与原始数据的图形对比如图1所示，从模型的拟合分析来看，前9个点为模型拟合，GM（1，1）标准模型和GM（1，1）正弦修正模型的拟合很好，GM（1，1）时序修正模型的拟合相对较差一些。从预测部分看，GM（1，1）正弦修正模型从趋势和数值上很好地贴近原始数据的变化情况，而GM（1，1）标准模型和GM（1，1）时序修正模型则与原始数据相差太多，也未能符合原始数据的变化趋势，数值上也相差太多，所以，GM（1，1）正弦修正模型的预测效果远高于另外两种模型。因而，无论从模型拟合还是预测效果上，GM（1，1）正弦修正模型都比另外两种好很多，GM（1，1）正弦修正模型的预测值反应出了原始数据的变化规律，很好地预测了缺失数据。

图1 GM（1，1）标准模型、时序修正模型及正弦修正模型预测值与原始值比较Fig.1 Comparison of the predicted and original values of the GM(1,1)standard model,GM(1,1)timing corrected model and GM(1,1)sinusoidal model

总的来说，GM（1，1）标准模型的预测效果很差；GM（1，1）时序修正模型的预测效果虽然有一定的提高，但效果也不好；而GM（1，1）正弦修正模型预测效果高于前两种模型，很好地反映出了原始数据的变化规律，拟合很好。

表3 三种模型的误差及其精度计算结果Table 3 The error and precision calculation results of the three kinds of models

4 结语

文中通过GM（1，1）正弦修正模型与GM（1，1）标准模型和GM（1，1）时序修正模型对环境温度数据进行建模预测，GM（1，1）正弦修正模型对比GM（1，1）标准模型和GM（1，1）时序修正模型有了很大的改进，且预测值很好地符合了原始数据的变化规律，预测精度较另外两种模型提高了很多，具有较高的预测精度。由于分析数据具有一定的局限性，该模型有待进一步研究。

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