立体几何课堂教学中模型应用的思考和探索

邵鹏菲

立体几何是高中数学较有特色的一个部分，是学生第一次较为系统和全面地学习三维空间的知识，不仅是对初中所学的平面几何的延伸，也是为他们今后进一步学习高等数学打下基础，这部分内容在高考中也占有一定的比重，因此教师在进行这部分的教学时较为细致。其中“异面直线所成角”这一小节内容是高中数学教学要求中明确文理科都必须掌握的，可谓是重中之重。

在我初次接触立体几何教学时，我注意到教材中在介绍了异面直线所成角的定义之后，给出了下面这个非常基础的例题：

【例】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求下列异面直线所成角的大小：

（1）AB与B1C1；（2）A1B与CC1；（3）AB1与BC1

作为如此重要的一个教学内容，当时的我觉得仅给出这样一个例题太过简单。正方体是学生较为熟悉的一种几何体，也是比较特殊的几何体，即使学生会在正方体中求异面直线所成角，那在其他几何体中，他们是否还会呢？何况在配套的练习中，的确出现了很多在普通棱柱、棱锥中求异面直线所成角的习题。于是，我在教学过程中，添加了两道例题：

【补1】空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别是BC、AD的中点，求AM与CN所成角的大小。（平移法）

【补2】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，BC=3，AA1=4，求AC与BD1所成角的大小。（补形法）

经过实践发现这样的课堂效果并不理想，主要有这样一些问题：

1.学生接触立体几何时间还不长，对于用平面图像表现空间几何体还未完全接受，因此，识图和绘图有困难，每道题出现，他们要花很多时间来画图，添加辅助线时更是不知所措，经常是画平行线却画出异面直线；

2.整节课时间非常紧张，学生能够自主思考的时间非常少，基本上是听老师不停地提示和引导，就算是这样紧凑的情况下，补2还没能讲完；

3.三道例题需要画出三种不同的图像，其中还蕴含两种解题方法。上课时就发现有些学生皱着眉头，有些学生一脸茫然，只顾着模仿我的作图和抄写笔记。学生反馈说感觉就是一会儿这样一会儿那样，即使跟着老师的引导，也会觉得比较累。

出现了这样的情况，让我意识到这节课内容的教学活动不能一味加大例题的容量，而应从根本上先排除学习障碍——图像。我回忆了我自己在学习立体几何时的经历：那时候我作为学生，对于立体图像也不是一下子适应的，于是我每天会有一些时间用在制作模型上，遇到难以理解的图像，就根据题意用细铅丝和老虎钳做个实物拿在手上观察，用细绳绑在模型上表示各种异面直线，久而久之，我能够自如地画出各种立体图像，熟练地判断空间各种关系，也不再觉得添加辅助线是很难预知的事情了。

在第二天的教学中，我带去了两个相同的长方体模型。当我拿着模型出现在讲台上时，学生都很新奇地看着这个东西，瞬间注意力集中到了课堂上。为了将前一天未讲完的补2分析清楚，我配合例题在模型上用彩色的塑料绳分别表示出了异面直线，让学生很直观地看到了它们的位置。因为要讲的是补形法，我便将两个长方体拼接起来，几乎就是在那一瞬，他们看出了异面直线所成角的位置。

课后竟然有学生跑上讲台主动要求看那个模型，他们觉得看着模型就能够理解图像中的实线和虚线分别表示了哪些线条，摸到看到实物后，就很容易联想到需要添加哪些辅助线。同时他们表示，可惜上课时只有老师手里有模型，他们只能下课后来摸一摸。我很高兴曾经帮助过我的模型在多年后也能帮到我的学生们，于是鼓励学生们自己尝试做一些模型。这之后，在立体几何的学习过程中，图像对他们来说不再那么难以接受，辅助线也不再那么“高深莫测”。

时间飞逝，一转眼我第二次接触到了立体几何这一章的教学。虽然在第一次教学中，我及时用模型补救，帮助学生克服了图像的障碍，可是那节课呈现出的其他问题不止一次地引起我的反思。

随着不断地学习和进修，我的教学理念也发生了一些变化，我开始认识到数学课堂教学应该是活动的教学，教师的作用是引导学生进行数学活动，倡导的数学学习方式是自主探索、合作交流与动手实践。而且在校本培训中，前辈们不止一次地提到过，我们不是要将所有的题目呈献给学生，而是要教会他们自己思考和总结方法，正所谓“授人以鱼不如授人以渔”。所以我想在这次教学中尝试新的模式，不仅解决图像的问题，也要尽量增加学生的思考空间。既然上次题量过大导致学生无暇思考，那这次我就精简例题，以期事半功倍。

我事先利用课余时间组织学生用一次性吸管做了很多正方体模型，基本上全班可以保证每两人至少有一个模型。而上课时，我先用动画课件解释了异面直线所成角的定义和原理，然后给出了唯一的例题：

【例】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别是BB1、CC1的中点，求下列异面直线所成角的大小：

（1）AB与B1C1；（2）AB1与CC1；（3）AB1与BC1；（4）AM与BN；（5）AC与BD1

前三个小题是书上的原题，比较基础，常规方法（平移法）足以解决，所以我决定完全由学生自己看着模型思考，我只是根据他们的描述简单写了较为规范的解题过程，提醒他们如何将思路用数学语言表达清楚。

第四小题稍有变化，我建议他们两人一组讨论。一阵沉默之后，他们一人扶着模型，一人拿着塑料绳比划。过了没多久，有人叫着“这两条不是平行线嘛，这不就平移到一个交点了嘛！”“我找到这条了！”……我笑着请几位学生分别介绍他们找到的平行线，虽然线各不相同，但是答案却不谋而合，真正是“英雄所见略同”。

第五小题是思考题，是“借用”了之前的补2，我建议他们四人一组讨论。与之前大不相同的是，这次时间上很充足。有的学生还是在努力比划着平行线，想模仿之前的小题用平移法解决问题，而有的学生看到自己有不止一个模型，便考虑将两个模型拼接起来，这样一来他们竟然在没有得到任何提示的情况下，自己找到了补形法！我顺利地“教”会了他们这两种方法：平移法和补形法。

之后作业反馈的情况也非常理想，学生并没有像我最初想象的那样，被局限在正方体中，而是在其他图形中仍然应对自如。

按照乌申斯基的说法，直观的教学不是以抽象的概念和词语为依据，而是以学生的直接感知的具体形式为依据的。因此，教会学生去有意识地使用立体几何模型，是顺利地进入立体几何之门的金钥匙。而且模型并不局限于教学使用的立体几何教具，也可以是学生触手可及的桌面、书本、笔等。善于使用这些现成的模型，可以使许多立体几何问题变得比较直观，比较容易解决。

立体几何的教学，还要能调动学生的学习兴趣，帮助他们建立学习的自信，让他们找到“窍门”，学会空间与平面之间的联想与转化。其实立体几何的许多定理、结论都源自生活实际，源自平面几何，因此要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，其中若能加强直观教学，就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。

这样看来，动手制作模具的活动不仅能帮助学生具体直观地理解空间几何体，还让学生对这部分“陌生”的知识产生了兴趣和学习的信心，从而培养学生的自主设计、自主探索、自主归纳和总结的能力。虽然制作与画图过程都需要花费一定的时间，但只要教师作适时、必要的引导，课堂适当采用多媒体配合使用，发挥各自优势，互补各自不足，还是可以获得意外的收获的。

（作者单位：上海风华中学）endprint