N(2,2,0)代数稳定化子

李旭东，宋雪梅，李树海

(兰州城市学院数学学院，甘肃兰州　730070)

N(2,2,0)代数稳定化子

李旭东，宋雪梅，李树海

(兰州城市学院数学学院，甘肃兰州730070)

摘要：利用稳定化子给出N(2,2,0)代数的一类同余分解，证明商代数仍是N(2,2,0)代数，获得自然同态下一类逆像的代数结构和性质．

关键词：N(2,2,0)代数；稳定化子；同余分解；自然同态；逆像

中图分类号：O 154

文献标志码：A

文章编号：1001-988Ⅹ(2015)03-0023-04

On stabilizer of N(2,2,0) algebras

LI Xu-dong，SONG Xue-mei，LI Shu-hai

(School of Mathematics，Lanzhou City University，Lanzhou 730070，Gansu，China)

Abstract:A class of congruence decomposition on N(2,2,0) algebras is given by the stabilizer,it is shown that the quotient algebra is also N(2,2,0) algebra．Then the algebraic structure and properties of a class of converse images under the natural homomorphism are obtained．

Key words:N(2,2,0)algebra；stabilizer；congruence decomposition；natural homomorphism；converse image

1990年，吴望名[1]在研究逻辑系统中的蕴涵关系时提出了模糊蕴涵代数(简称FI代数)．FI代数一度引起了同行的广泛关注，如刘练珍[2]进一步研究了格蕴涵代数，讨论了FI代数与NV代数间的关系，邓方安[3]在研究FI代数的过程中对模糊蕴涵代数的模糊蕴涵算子从代数学角度做了进一步抽象，提出了N(2,2,0)代数．

对N(2,2,0)代数的研究已经取得了一系列结果[3-13]，近年来学者又相继研究了N(2,2,0)代数平移变换的像与逆像[7]、N(2,2,0)代数的RC-半群[8]、N(2,2,0)代数的正则半群[9]、N(2,2,0)代数的中间幂等元[10]、N(2,2,0)代数的中间单位[11]、N(2,2,0)代数的E-反演半群[12]等．2011年，李旭东[13]进一步研究了文献[5]提出的N(2,2,0)代数的稳定化子，并利用稳定化子给出了N(2,2,0)代数的一类同余分解，本文继续进行利用稳定化子研究N(2,2,0)代数的同余分解．

1基本概念与引理

定义1[3]设S是含常元0的集合．如果在S中定义了两个二元运算*、Δ，并且这两个运算满足以下公理：对任意x,y,z∈S，有

(F1)x*(yΔz)=z*(x*y);

(F2)(xΔy)*z=y*(x*z);

(F3)0*x=x.

则称代数系统(S,*,Δ,0)是一个N(2,2,0)代数．

定义2[4]设(S,*,Δ,0)是一个N(2,2,0)代数，A是S的一个非空子集．A称为S的一个理想，若0∈A，且对∀x∈A有x*y∈A⟹y∈A．

引理1[3]设(S,*Δ,0)是N(2,2,0)代数，则对任意x,y,z∈S，恒有下列等式成立：

(1)x*y=yΔx；

(2)(x*y)*z=x*(y*z)=y*(x*z).

引理2[5]对∀a∈S,Sa是(S,*,Δ,0)的一个子代数且是理想．

另外，称半群(S,*)和(S,Δ)为对偶半群是指:对任意x,y∈S,x*y=yΔx．

2主要结果

1999年，邓方安等[5]研究了N(2,2,0)代数(S,*,Δ,0)的稳定化子，证明了:对∀a∈S,Sa是(S,*,Δ,0)的一个子代数且是理想(见引理2)．借助于Sa，李旭东[13]考虑了同余关系δ：

因为(S,*,Δ,0)的运算*不满足交换律，自然会考虑到关系ρ：

以下取定Sa．

定理1对∀x,y∈S,令xρy⟺∃h1,h2∈Sa,h1*x=h2*y，则ρ是(S,*,Δ,0)中的一个同余关系．

证明显然ρ是(S,*,Δ,0)中的关系且满足自反性、对称性．

若x,y,z∈S,xρy,yρz，则存在h1,h2,h3,h4∈Sa，使得h1*x=h2*y,h3*y=h4*z，于是(h1*h3)*x=h1*(h3*x)=h3*(h1*x)=h3*(h2*y)=h2*(h3*y)=h2*(h4*z)=(h2*h4)*z.由Sa是子代数知h1*h3∈Sa,h2*h4∈Sa，故xρz，于是ρ是(S,*,Δ,0)中的等价关系.进一步

因此，

从而ρ是(S,*,Δ,0)中的一个同余关系.】

[x]*[y]=[x*y],[x]Δ[y]=[xΔy],

则有

定理2(S/ρ,*,Δ,[0])作成N(2,2,0)代数．

证明用定义1验证即可，略．】

定理3Kerg是(S,*,Δ,0)的子代数且是理想．

证明因为

显然0∈Kerg．∀x,y∈Kerg⟹∃h1,h2,h3,h4∈Sa,h1*x=h3*0,h2*y=h4*0⟹(h1*h2)*(x*y)=h1*(h2*(x*y))=h1*(x*(h2*y))=(h1*x)*(h2*y)=(h3*0)*(h4*0)=h3*(0*(h4*0))=h3*(h4*0)=(h3*h4)*0,而由Sa是子代数知h1*h2∈Sa,h3*h4∈Sa，故x*y∈Kerg.由对偶性xΔy∈Kerg，故Kerg是(S,*,Δ,0)的子代数．

若x,x*y∈Kerg⟹∃h1,h2,h3,h4∈Sa,h1*x=h3*0,h2*(x*y)=h4*0⟹(h3*h2)*y=(h3*(0*h2))*y=(h3*0)*(h2*y)=(h1*x)*(h2*y)=h1*(x*(h2*y))=h1*(h2*(x*y))=h1*(h4*0)=(h1*h4)*0,由Sa是子代数知，h3*h2∈Sa,h1*h4∈Sa，故y∈Kerg，所以Kerg是(S,*,Δ,0)的理想.】

若x,y∈g-1([e])，则∃h1,h2,h3,h4∈Sa,使得

而由Sa是子代数知h1*h2∈Sa,h3*h3∈Sa，故x*y∈g-1([e]).由引理1，运算*适合结合律，故(g-1([e]),*)是半群.】

对e∈E(S)，设全体g-1([e])构成的集族为

则有

定理5下列结论成立：

证明(1)～(3)略，下证(4)．

证明由e1∈E(S)及定理4可知(g-1([e1],*)做成(S,*)的子半群,于是

由已知Sa*e1⊆Sa，所以h1*e1∈Sa,h2*e1∈Sa，故x∈g-1([e2])⟹g-1([e1])⊆g-1([e2]).进一步,

由已知e1*Sa⊆Sa，所以e1*h1∈Sa,e1*h2∈Sa，故y∈g-1([e1]),g-1([e2])⊆g-1([e1])，因此g-1([e1])=g-1([e2])，即(g-1([e1]),*)与(g-1([e2]),*)是相同的半群．

推论1若e1≤le2且e1*Sa∪Sa*e1⊆Sa，则半群(g-1([e1]),*)=(g-1([e2]),*).

证明x∈g-1([e1])⟹∃h1,h2∈Sa,h1*x=h2*e1⟹e1*(h1*x)=e1*(h2*e1)⟹(k*h1)*x=k*(h1*x)=k*(h2*e1)=h2*(k*e1)=h2*(k*e2)=k*(h2*e2)=(k*h2)*e2,

由已知k*h1,k*h2∈Sa，故x∈g-1([e2])⟹g-1([e1])⊆g-1([e2]).同理g-1([e2])⊆g-1([e1])，故g-1([e1])=g-1([e2]).

定理8对∀e1,e2∈S,g-1([e1])*g-1([e2])⊆g-1([e1*e2]).

证明对∀x1∈g-1([e1]),x2⊆g-1([e2])，存在h1,h2,h3,h4∈Sa,使得

故

定理9对∀e∈S,g-1([0])*g-1([e])=g-1([e]).

证明由定理8，对∀e∈S,g-1([0])*g-1([e])⊆g-1([0*e])=g-1([e]).又对∀x∈g-1([e])，由于0∈g-1([0])，所以x=0*x∈g-1([0])*g-1([e])⟹g-1([e])⊆g-1([0])*g-1([e])，于是

g-1([0])*g-1([e])=g-1([e]).】

3结束语

因为(S,*,Δ,0)的运算*不满足交换律，所以对于取定的Sa，文献[13]中的同余关系δ与本文ρ不相同，文献[13]利用δ给出的同余分解与本文利用ρ给出的同余分解是不同的．

参考文献:

[1]吴望名．Fuzzy蕴涵代数[J]．模糊系统与数学，1990，4(1)：56-63．

[2]刘练珍，王国俊．Fuzzy蕴涵代数与MV代数[J]．模糊系统与数学，1998，12(1)：20-25．

[3]邓方安，徐扬．关于N(2,2,0)代数[J]．西南交通大学学报，1996，31(4)：457-463．

[4]邓方安，徐扬，袁俭．N(2,2,0)代数的理想与关联理想[J]．汉中师范学院学报：自然科学版，1998，16(1)：6-9．

[5]邓方安，李金龙．关于N(2,2,0)代数的稳定化子的若干结果[J]．喀什师范学院学报：自然科学版，1999，19(2)：12-14．

[6]邓方安．N(2,2,0)代数的一类序关系方程的解的特征[J]．江西科学，1999，17(2)：67-71．

[7]李旭东．N(2,2,0)代数中平移变换的象与逆象[J]．数学研究与评论，2005，25(1)：148-153．

[8]邓方安．N(2,2,0)代数的RC-半群[J]．山东大学学报：理学版，2011，46(6)：8-11．

[9]邓方安，雍龙泉．N(2,2,0)代数的正则半群[J]．数学进展，2012，41(6)：665-671．

[10]陈露．关于N(2,2,0)代数的中间幂等元[J]．纯粹数学与应用数学，2011，27(4)：433-436．

[11]陈露．关于N(2,2,0)代数的中间单位[J]．黑龙江大学自然科学学报，2014，31(3)：287-290．

[12]邓方安．N(2,2,0)代数的E-反演半群[J]．数学杂志，2014，34(5)：977-984．

[13]李旭东．N(2,2,0)代数的稳定化子[J]．山东大学学报：理学版，2011，46(8)：68-72．

(责任编辑马宇鸿)

作者简介：李旭东(1966—)，男，甘肃定西人，教授，硕士.主要研究方向为半群代数．

基金项目:兰州城市学院校长科研创新基金(LZCU-XZ2014-04)

收稿日期：2014-05-12;修改稿收到日期:2014-10-22

E-mail:lixudjs@163.com