基于“自圆其说”理念下的数学概念教学——由“离心率”概念引发的思考

☉浙江省象山县第二中学 吕增锋

基于“自圆其说”理念下的数学概念教学
——由“离心率”概念引发的思考

☉浙江省象山县第二中学 吕增锋

著名数学家华罗庚曾说过：“数学的学习过程，就是不断的建立各种数学概念的过程.”李邦河院士认为“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”高中数学课程标准也指出：“数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.”由此可见，深刻理解并准确掌握数学概念是何等重要.

一、数学概念都是人为规定的吗

那是一次全县骨干教师带徒活动的公开课，上课的内容是“椭圆的离心率”.我们知道离心率e的取值决定着圆锥曲线的类型，0＜e＜1，出现的是椭圆；e=1，出现的是抛物线；e＞1，出现的是双曲线.离心率犹如“DNA”，决定着圆锥曲线的形状.下面是课堂的教学片段实录.

师：椭圆的圆扁程度是由什么决定的？

生：应该由a、b决定.

师：假定a不变，当b变化时，椭圆的圆扁程度怎么变？假定b不变，当a变化时，椭圆的圆扁程度怎么变？

生：当a不变，b增大时椭圆越来越圆，b减少时椭圆越来越扁；当b不变，a增大时椭圆越来越扁，a减少时椭圆越来越圆.

师：你能不能找到一个量来表示椭圆的圆扁程度？

（生不知所措）

师：参数b能不能用a、c来表示？

生：b2=a2-c2.

（这个问题确实很难回答，下面看看这两位教师是如何应对的）

师：因为这是人为的规定，如果你生在那个时代，你也可以规定用表示椭圆的离心率.

二、做一个数学“考古”学家

笔者尝试查找“离心率”的相关资料，很遗憾，并没有发现对其来龙去脉的详细描述.在百度百科中它是这样描述离心率的.

科技名词定义

中文名称：偏心率；英文名称：relative eccentricity.

定义：偏心距与半径间隙之比值.

应用学科：机械工程（一级学科）；机械零件（二级学科）；滑动轴承（二级学科）.

偏心率（离心率，Eccentricity）

椭圆两焦点间距离和长轴长度的比值.即某一椭圆轨道与理想圆环的偏离，长椭圆轨道“偏心率”高，而近于圆形的轨道“偏心率”低.

离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值.

偏心率用来描述轨道的形状，用焦点间距离除以长轴的长度可以算出偏心率.偏心率一般用e表示.

上面的描述似乎和离心率的起源有些风马牛不相及，但反复阅读后还是能够发现一点线索，即离心率和天文学有关.这是一条很有价值的线索，但单凭这一点显然不具备充分的说服力，正所谓独木难支，应该找到更多的线索.那其他的线索在哪里呢？继续查找文献，还是没有令人满意的答案.

数学概念的形成和发展都有其深刻的现实、历史背景.这一点是毋庸置疑的，但许多数学概念的原始生成过程随着时间的流逝已经“模糊不清”，或随着数学的发展逐渐丧失了它原本的面貌，犹如“迷案”一样，后人根本无法搞清楚到底是怎么一回事.这就需要教师具备“考古”学家的精神，在看似毫无关系的线索中寻觅蛛丝马迹，进行大胆的想象和推理，从而找到合理的答案.下面笔者就结合相关线索推测离心率的起源.

首先，离心率一定跟天文学家有关，并且在天文学中广泛应用.这使笔者不禁想起了圆锥曲线的产生背景.尽管圆锥曲线理论早在古希腊时期就已经建立，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》更是囊括了圆锥曲线的所有性质，以致“后人根本无插足之地”，但圆锥曲线理论得到广泛应用应该是得益于16世纪时天文学的发展.研究天文现象需要计算行星的运行轨道，而这些行星轨道通常就是圆扁程度不一的椭圆，而离心率就是为了描述轨道圆扁程度而引入的一个量.不仅如此，天文学家还发现太阳系的八大行星都是绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，这些轨道偏离太阳的程度也不一样，因此他们就把离心率称为“偏心率”.并且行星和太阳之间的距离是在变化的，其中在近日点处离太阳最近，偏离距离为a-c，在远日点处离太阳最远，偏离距离为a+c.当然不能直接用最近距离和最远距离表示偏心率，因为这两个值不仅和运行轨道的圆扁程度有关，还受轨道大小的影响，人们需要构造一个“稳定”的量来表示偏心率.最后经过反复尝试，发现的值和椭圆大小无关却能很好地刻画椭圆的圆扁程度，因此，大家就选择了表示离心率.上述推测从数学发展史的角度很好地解释了离心率的起源，但还是有些美中不足.难道仅仅是为了“稳定”吗？肯定还存在着其他稳定的量同样可以满足衡量椭圆圆扁程度的需要，但为什么偏偏是呢？因此，还要继续为的合理性、科学性找理由.

这回从椭圆的定义入手开始推理.椭圆是平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹（其中到两定点的距离之和为2a，常数为2c，且2a＞2c），定义中涉及的参数是a和c.另外圆锥曲线的统一定义为“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数”，而这个常数的值恰好是由此可见，a、c是描述椭圆定义乃至圆锥曲线定义的基本参数，所以用来表示离心率更加名正言顺.

三、数学概念教学的“自圆其说”

或许有人会问：“你的考古结论一定正确吗？当时的真相就是这样吗？”对此，笔者无法给出肯定的答案，但至少做到了“自圆其说”.

百度百科：自圆其说

【释义】圆：圆满，周全.指说话的人能使自己的论点或谎话没有漏洞.

从上面的释义来看，“自圆其说”的贬义成分似乎大于褒义的成分.什么时候要自圆其说？说谎的时候？非也，相反笔者认为“自圆其说”是教师必备的基本素养.面对学生求知的渴望、疑惑的眼神，教师必须要做到“自圆其说”.试想一下，教师若不会自圆其说，即使所传授的知识是正确的、科学的，恐怕也很难让学生心服口服；教师若能够做到自圆其说，即使表述的理由稍有瑕疵，反而有助于学生对数学概念的理解.正是为了能够在课堂教学中顺利地实现自圆其说，所以教师要挖掘教材，创造性地使用教材，查阅相关文献，展开想象推理.因此，笔者认为有必要赋予“自圆其说”新的内涵，那就是：“‘圆’数学概念的产生背景，‘圆’知识间内在的联系，从而促进学生对数学概念的理解.”

当然，有一点需要强调，那就是千万不要把“自圆其说”误读为“胡编乱造”.教师应该是“考古”学家，考古应该做到科学、严谨，在立足基本事实的基础上再进行合情合理的想象和推测.那么，具体该如何实现数学概念教学的自圆其说呢？

1.梳理数学发展史中的脉络，实现“自圆其说”

大数学家庞加莱曾指出：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史与现状.”历史是人类最宝贵的精神财富，“以史为鉴，可以明得失”，以数学史为鉴，可以让你读懂数学.阅读数学史，你看到的不仅仅是智慧的光芒，还有数学家的喜怒哀乐，恩怨情仇.因此数学并不是“僵化”的，而是“鲜活”的.如果说数学史是一片片生机盎然的绿叶的话，那么那些细如发丝、纵横交错的叶脉就是数学概念形成和发展的轨迹，而我们要做的就是耐下心来，仔细梳理这些叶脉的走向，从而实现自圆其说.

2.寻找数学在生活中的“影子”，实现“自圆其说”

人们常说“数学源于生活”，的确如此.数学最早的作用就是为了解决生产、生活中的实际问题，但随着数学的发展，数学在解决应用问题的同时还使人们产生莫大的成就感、满足感，于是就出现了数学家这个职业.他们研究数学不会首先去考虑如何应用，而是希望通过建立一系列的规则、理论使数学在逻辑上实现完美推理.至此，数学已经从最初的“应用工具”上升到“思维体操”，这也标志着数学开始“高于生活”了.数学一旦“高于生活”，就不可避免地会产生“脱离生活”的危险，这也就不难理解为何有些数学概念是如此的抽象，让人费解.但无论如何，数学的根还在生活，而教师要做的就是让数学回归生活，从生活中寻找数学概念的影子，从而实现自圆其说.

3.重建数学知识之间的联系，实现“自圆其说”

大家都知道，各类数学知识之间不是相互孤立的，而是有着千丝万缕的联系.比如，有很多数学新知识都是在已有知识的基础上形成和发展起来的；前面的知识是后面的知识的基础，后面的知识又是前者的发展，从而造就了数学的整体性和连续性.随着数学的发展，各类数学知识开始相互整合.整合的结果就是形成了众多的数学分支.这些数学分支有着各自独立的理论基础和思维模式，于是它们之间的鸿沟开始扩大，界限也日渐分明，它们最初那种天然的联系也变得不那么明显，不被人所重视.但无论数学怎么发展，它都应该是一个整体，在数学概念教学中，可通过重建数学知识之间的联系达到自圆其说的目的.

4.站在其他学科的独特视角，实现“自圆其说”

各学科原本就是互相联系、互相渗透的.可以毫不夸张地说，很多学科“五百年前就是一家”.比如，物理、数学都源于自然哲学，化学的出现更是和炼金术密不可分.因此，对任何一门学科的教学，都不能单纯地依靠对这门学科本身的研究，特别是对数学这样一个深入到自然科学和社会科学各个领域的有影响的学科，更应该试着跳出学科本身的范畴，爬到其他学科的肩膀上去实现自圆其说.

综上所述，笔者认为“自圆其说”不仅是一种手段，还应该是一种教学理念，为追求数学概念的真相而“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”的理念.

1.吕增锋.数学概念教学贵在“自圆其说”［J］.中学数学教学参考（上），2011（3）.

2吕增锋，邵兴专.数学习题课四种“上法”的“性价比”分析［J］.中学数学（上），2014（10）.