教学争议放在“教材深度解读”下去定论——以“一元一次不等式解决问题”中对“最多（少）”类问法的设元为例

☉江苏省无锡市新城中学 浦叙德

教学争议放在“教材深度解读”下去定论
——以“一元一次不等式解决问题”中对“最多（少）”类问法的设元为例

☉江苏省无锡市新城中学 浦叙德

一、提出问题

义务教育教科书《数学》（苏科版七年级下册）“第11章：一元一次不等式”之“11.5用一元一次不等式解决问题”中的问题1引用了章前图提出问题：“一只纸箱质量为1kg，放入一些苹果后，纸箱和苹果的总质量不超过10kg.假设每个苹果的质量为0.25kg，这只纸箱内最多能装多少个苹果？

2004年11月第1版、2012年11月第3版、2013年11月第10次印刷的教材对上题的解答过程如下.解：设这只纸箱内装了x个苹果.根据题意，得0.25x+1≤10.解这个不等式，得x≤36.答：这只纸箱内最多能装36个苹果.

2014年11月第11次印刷的教材对上题的解答过程如下.解：设这只纸箱内最多能装x个苹果.根据题意，……（下同上解法）.

同一版本的教材，在相差一年的时间里，出现两种不同的设元方法，不仅引起了广大数学教师的争论，更促使数学研究者深入的思考.是编者的粗心还是有意更改？是两种设元方法都行还是都有问题？哪个更接近数学的本质，是否有深层次内涵在里面？教学何去何从？带着这个问题，笔者进行了分析思考.

二、分析思考

仔细阅读本节内容的四个例题，发现在“用一元一次不等式解决问题”中会遇到两类问题.一类是题目条件中有“不等关系”关键词，求解中没有“不等关系”关键词，如本节例2：条件为“杜鹃花适宜在气温为17℃到20℃之间的山区”，问法为“求山区适宜种植这种杜鹃花的山坡的高度”，对于这类问题，可以直接设山坡高度为x，列出不等式求解，最后求出的x也是一个范围，而不是一个确定的值，答要根据实际意义作出相应的结论；另一类就是如上题目条件中有“不等关系”关键词，求解中也有“不等关系”关键词.第一类问题设元不存在任何问题，第二类问题由于教材的不同解法，显然会令教师和学生都产生疑问，那么遇到这类问题，究竟该如何设元呢？

首先，我们从“知识线”的微观层面解读一下教材，进而对“一元一次不等式”知识线产生深层次的本质理解.一元一次不等式是表示不相等关系的式子，它有无数个解（无限），所有这些解组成了这个不等式的解集.在这个解集中，含有“最大、最小”或“有限个”特殊的解（有限）.实际上，列一元一次不等式解应用题，更多的是求解集中这些特解的过程.

其次，我们从“知识面”的宏观层面解读一下教材，把不等式知识线与方程知识线作个比较，以便深层次把握“不等式”宏观研究的暗线和本质.“一元一次方程”是按照“定义—方程的解—解方程—运用和应用”的思路展开，因为一元一次方程解的唯一性（一般），决定了这是一条单一的完整的知识线；而“二元一次方程”本来也可以按照上述思路展开，但由于其解有无数个（不定方程），所以只能研究定义和解，进而转到“二元一次方程”的“特解”或“二元一次方程组”的研究上来，形成了“二元一次方程组”的“定义—方程组的解（解的唯一性，一般）—解方程组—运用和应用”这条知识线.由此可见，当问题的解出现“无限”时，从“面”的角度看，就会设法变成“有限”（特解），由一般到特殊，这完全符合初中生的身心特点和认知规律.

然后，回到“一元一次不等式”上来.知识线是一元一次不等式的“定义—解（解集）—解不等式—运用和应用”，由于解是无限个（解集），所以要么走向“一元一次不等式的特解”，要么走向“一元一次不等式组”，都是由一般到特殊，变无限为有限.当然后面“一元一次不等式组”的解也组成解集，再特殊化处理，此处不再展开.

最后，回到原始问题上来.条件“纸箱和苹果的总质量不超过10kg”，转化成符号语言显然是一个“一元一次不等式”，它应该有无数个解，考虑到苹果的个数是正整数，是特解，应该是有限个，在这有限个特解中，必定有最大的一个，这就是问题“这只纸箱内最多能装多少个苹果？”因此，采用方法一的设元显然是合情合理.而方法二“设这只纸箱内最多能装x个苹果”的设元，x应该是唯一的一个值，由于它依然符合不等式，所以设元和求解对最后的结果没有任何影响，但求出的解集是x≤36（依然是无限个解）与x=36（唯一的特解）有重复之嫌.由上面的微观和宏观解读教材可见，当问题中出现“最多、最少”等字眼时，设元没必要把“最多、最少”等字眼放进去，按一般x（字母表示数的广泛含义）更符合数学的深层次内涵.有教师认为，如果设元如方法二，因为x唯一确定，所以可以直接列成方程，这种“一般问题特殊化”的认识是错误的.此处列成方程求出x=36成立是巧合，如果题目改成“总质量不超过10.2kg”，那么用不等式求解是x≤36.8，最后x=36；而用方程求解是x=36.8，由于x取正整数，显然是错误的.

事实上，“用一元一次不等式解决问题”的题目条件中只要出现“不等关系”，那么求解出来的结论必定也是一个“不等关系”，就是已知“不等式”的“解集”.因此，无论问法中是否含有“最多、最少”等字眼，考虑到字母表示数的一般性，设元都不必把“最多、最少”等字眼带进去，按照“不等式—解集—特解—最多（最少）一个解”的思路解决.

三、建议对策

由教材引起的各类教学争论自从新教材实施后一刻都没有停止过，如“无理数在初一上学期第2章就介入是否恰当”、“在4x2+1这个多项式上加上一个式子，使之成为完全平方式，答案是什么”、“勾股定理在拼图等数学实验的合情推理下就运用之解决问题是否可行”等问题，有的争议反反复复没有定论.一方面，可能教材在编写过程中确实存在疏漏，这是很容易下定论的；另一方面，主要是考虑学生当前知识和认知水平采用螺旋上升逐步提高认识的方法编写教材，此处的内容往往以学生的可接受性为原则，对问题的一般性或特殊性会存在歧义，这也是争论最多、争论不休的地方.

当出现争论、没有定论的时候，作为教师可以从“教材深度解读”方面去努力寻找结论，进而找到有效的教学实施方法.具体可用“点全、线联、面融”六字方针实施深度解读，先进行“点”的解读，再进行“线”的解读，最后进行“面”的解读.“点全”就是研究这个知识点的“前后左右”，数学中的每一个定义、定理、公式、法则等，都需要搞清楚“本知识点从哪里来？怎么形成的？学了这个知识有哪些作用？今后这个知识将向哪里发展？”如上述案例中的“一元一次不等式应用”中的设元争议，我们通过对“一元一次不等式”中每个知识点的全面解读，就可以找到定论.“线联”就是研究由这个知识点形成的一条知识线，形成知识点之间的相互关联，如上面的争议问题，实际上存在“定义—解—解集—解不等式—运用和应用”一条知识关联线，通过线联解读就找到了应用中“一元一次不等式—无数解组成解集—实际要求的有限个特解—符合这个具体问题的一个解”这条暗线，进一步确定定论的科学性.“面融”就是研究这条知识线与其他相关知识线的融合，从更宏观的层面找到知识的共性和不同，加深对数学本质的认识.如上面争论，对方程就不会出现，对不等式就会出现，面融解读就可以充分体会方程与不等式之间特殊与一般的关系，既可以避免选择方程的错误解法，又可以得到方法一是最合情理的设元方法的定论.

综上所述，当教学中出现争论时，首先，回到最基础的数学知识点上去解读研究；然后，把知识点放在一条知识线上去全面分析思考；最后，把问题放在知识层面上去宏观考量，必定可以避免没必要的教学争论，即使做了上述解读研究有些教学争议依然无法下定论，也可以为自己的教学定下有效的基调和实施的路径.

1.浦叙德.记一次公开课的研究之旅［J］.中学数学教学参考（中），2014（9）.

2.浦叙德，谢洁红.从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学［J］.中学数学（下），2014（8）.

3.浦叙德，马雄伟.教材素材的基本处理策略［J］.教育研究与评论，2013（12）.H