找准生长点，学程重生成<br/>——以“一元二次方程解法（第2课时）”教学为例

找准生长点，学程重生成
——以“一元二次方程解法（第2课时）”教学为例

2015-01-31江苏省海安县李堡初级中学朱国生

中学数学杂志 2015年16期

☉江苏省海安县李堡初级中学朱国生

找准生长点，学程重生成
——以“一元二次方程解法（第2课时）”教学为例

☉江苏省海安县李堡初级中学朱国生

近读初中数学教学研究专业期刊，特别是《中学数学》（下）近一段时间来发表了很多研究专家教师李庾南老师数学教学思想的案例文章，这对我们一线教师来说显得非常实用，而且笔者所在学校又是“李庾南实验学校”，近两年全校上下正在积极践行李庾南老师的“自学·议论·引导教学论”的教学思想，这也激发笔者认真思考日常教学中如何体现李老师的教学思想.本文以近期笔者开设的一节教研课“一元二次方程的解法”为例，阐释我们对李老师教学思想的理解和实践.

一、教材、学情与目标设定

1.教材分析

人教版九年级上册第21章“一元二次方程”的第2节是解一元二次方程配方法第2课时，配方法是解一元二次方程的基本方法，它是在刚学过的直接开平方法的基础上推导出来的，它是后面公式法解一元二次方程的基础，也是第22章二次函数知识的基础．所以，一元二次方程的解法与应用是初中数学的主要内容之一．从知识的发展来讲，学生通过一元二次方程的学习，可以对前面已学过的知识加以复习巩固．对学生来讲，本节的一些常用解题方法、计算技巧及数学思想，在本章教材中有比较好的体现和应用．要在今后用一元二次方程的知识解决实际应用问题，那首先就要学会解一元二次方程.本节就是解一元二次方程的一种基本方法．如何解一元二次方程，它的基本策略是将一元二次方程转化为已学的一元一次方程，就是降次.本节的配方法就是降次的方法之一．

2.学情分析

学生知识掌握方面：学生已学过平方根的意义，即如果x2=a，那么；完全平方式公式等.这为本节课运用配方法解一元二方程奠定基础．学生难度方面：如何配方、怎样配方对学生来说是个难点，我们老师在这方面应予以深入浅出地分析．可见，老师要从学生的认知水平和心理发展特征出发，利用学生强烈的好奇心和求知欲．以解决实际问题作为本节课的开端，让学生发现问题，当他们在解决问题时发现方程不是以前所学过的，这样可以激发学生探究新知的欲望，想进一步探索解方程的方法．前面我们已经系统地研究了完全平方式、二次根式等知识，这就为我们继续探究用配方法解一元二次方程奠定了基础．

3.教学目标

（1）让学生会用配方法解一元二次方程，体会“降次转化”的基本思想．

（2）通过解决简单的实际应用过程，让学生体会配方法和配方过程，总结配方法的基本步骤，熟练地运用配方法解一元二次方程，掌握一些转化的技巧和技能，渗透化归思想．

（3）通过配方法的探索活动，培养良好的学习品质，感受数学的美．培养学生勇于对未知世界探索的精神.

二、教学流程与解读

1.温故知新

（幻灯片1）填空题：

（1）a2+4a+______=（a+______）2；

（2）若4x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值是______；

（3）如果（x+y）2=25，那么x+y=______．

设计意图：这是复习引入的过程，（1）、（2）两题的二次项系数一个是1一个不是1，用这两题复习完全平方公式，第（3）题复习直接开平方法，培养学生探究的兴趣，既回顾上节课内容，也为新课的学习做好铺垫．

2.初探解法

（幻灯片2）在一块空地上设计一个矩形小花圃，使花圃的长比宽多6m，并且花圃的面积为16m2，这个花圃的长和宽应各是多少米？

师：如何设未知数？

生：设花圃的宽为xm，则长为（x+6）m.

师：好！如何列方程呢？

生：x2+6x-16=0．

师：很好！如何解这个方程呢？能不能用昨天学过的方法呢？同学们在下面讨论一下，看如何解．

设计意图：以简单实际应用问题为引入，教师提出需要解决的问题，学生独立思考、讨论发表各自见解，同时教师要引领学生发现列方程很简单，而如何解方程是关键；把学生引向这节的内容，若要解方程想到我们上节课的直接开平方，只要将方程左边的二次三项式“凑”成一个完全平方式．配方的关键是如何配、如何选择常数项，让学生感受到新知识是以旧知识为基础，同时感受新旧知识的融合．

生：不能直接用之前的方法．先将左边16移至等号的右边，然后在等式两边同时加上9，这样等号的两边就是x2+6x+9=25，左边是一个完全平方，配方成（x+3）2=25，就和我们前面学到的一样了．

师：回答得完全正确！老师把这位同学的解题步骤演示一遍，大家再想一想这位同学解题的基本步骤是什么．

生：将方程左边常数项移到右边，然后将方程两边同时加上一个适当的数字，使得左边是完全平方式，右边是一个数值，然后用直接开平方法，求出方程的解．

师：好的，像这位同学说的，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，就叫配方法，我们可以看出，配方目的是为了降次，把一元二次方程转化成一元一次方程来解，这就是化归思想的体现．

师：（幻灯片3）填空：在下列横线上填上适当的数，使等式成立.

（1）x2+8x+______=（x+______）2；

（2）x2+12x+______=（x+6）2．

评析：通过这两题的练习，让学生既巩固刚学的知识，又为接下来熟练掌握配方法解一元二次方程打好基础．

师：请同学们先做，或同桌讨论一下，再回答．

生：第（1）题左边填16，右边是4；第（2）题36．

师：这位同学回答得很好，那么大家能从这些题目中找出配方规律吗？小组讨论．

生：我发现的规律是：当二次三项式的二次项系数为1的时候，添加的常数项是一次项系数一半的平方，就配成了完全平方．

师：你说得非常好，归纳得很准确，很到位，大家给他鼓鼓掌．

评析：通过小组讨论，让学生自己发现规律，使学生更深刻地掌握解一元二次方程的方法．

师：下面我们再来看这两道题.

（幻灯片4）解方程：

（1）2x2+1=3x；

（2）3x2-6x+4=0．

师：大家观察上面这两道题，你能发现什么问题？

生：二次项系数不是1．

师：我们如何解呢？大家先讨论一下，然后请一位同学回答．

生：先将二次项和一次项移到等号的左边并按未知数降幂排列，将常数项移到等号的右边，用等式的基本性质，将等式两边同时除以二次项系数，使得二次项系数变为1，再配成完全平方解出．

师：很好！

师：大家看第（2）题还有什么不同的地方？

生：第（2）题中，在配方后，等号左边是（x-1）2，而右边是，这个方程是无解的．

师：很好！大家在解题时一定要注意方程配方后，当等号的右边是一个负数时，原方程无解．请两名同学将解题过程写到黑板上．

评析：通过前后例题对比讲解，让学生深刻了解不同题目的不同方法，请学生到黑板来写，让学生知道解题的格式化、规范化．

师：请大家思考总结一下用配方法解一元二次方程的基本步骤．

生：当一元二次方程的二次项系数为1时，方程两边加上一次项系数一半的平方，再配方．

生：当一元二次方程的二次项系数不为1时，先将二次项和一次项移到等号的左边并按未知数降幂排列，常数项移到等号的右边，将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再配方．

设计意图：让学生在小组合作中尝试、比较、探索、探究解一元二次方程的方法．在老师的引领下让学生积累数学解题的经验，教学过程中要鼓励学生多动脑、多动手、多动口，充分展示以学生为主体，以教师为主导的作用，留些时间让学生去观察、想象、归纳，为今后学习其他数学知识打好基础．

3.课堂小结

（幻灯片5）配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：

（1）移项：将二次项和一次项移到方程左边并按未知数降幂排列，常数项移到方程右边；

（2）把二次项系数化为1：用等式的基本性质将方程两边同时除以二次项系数；

（3）配方：方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x+a）2=p的形式；

（4）求解：当p≥0时，用直接开平方法解方程，当p＜0时，原方程无解．

三、教后反思

1.做到“三个理解”，找准知识生长点

我们知道，近年来章建跃博士提出的“三个理解”（即理解数学、理解学生、理解教学）在一线教师中产生广泛的影响，笔者也深受启发，在本节课的教学预设时，从复习引入、探究新知、课堂训练、归纳小结几方面入手，利用简单的实际问题逐步引入配方法．这主要是学生已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算作为本节课的基础，教学中的难点放在探索如何配方上，重点放在配方应用上．通过两个例题规范解法的过程，帮助学生掌握配方的技巧．

2.确立学生主体，学程注重生成

李庾南老师课堂教学最大的特点就是“学程重生成”，据我们听课体会，她的课堂真正体现了学生为主体，很多知识的生成都是在她的启发、引导、追问下，由学生表达出来.所以在本节课上，笔者也把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，多次组织学生合作交流，通过小组合作，激励学生积极主动的学习，很多学生能充分展示自己的聪明才智，并且在此过程中注重发现学生分析问题和解决问题时的独到见解．