两 “线”定 “形”

张妹燕

苏科版八（上）64页例2：

已知：如图1，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC.

求证：AB=AC.

【分析】要判断一个三角形是等腰三角形一是根据定义，二是根据“等角对等边”.本题根据已知条件“角平分线”和“平行”都能转化成角来说明，所以选择方法二.

【反思】（1） 将条件“AD平分∠EAC”和结论“AB=AC”互换，命题是否仍然成立？

（2） 将条件“AD∥BC”和结论“AB=AC”互换，命题是否仍然成立？

（3） 如果将外角平分线改成内角，是否仍有上述关系呢？

认真思考后你会发现（1）（2）都是真命题，在平行线、角平分线和等腰三角形这三个知识点中只要满足两个条件就可以推出第三个成立.（3）的问题如图2，和刚刚的书本例题一样都成立，如“已知BD平分∠ABC， DE∥BC，则BE=ED”.它们是靠“角”得来的等量代换.

【深入研究】变式1 如图3，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作DE∥BC交AB于D，交AC于E.

（1） 若AB=4，AC=3，求△ADE周长.

（2） 若将原题中平行线DE的方向改变，如图4，OD∥AB，OE∥AC，BC=6，你能得出什么结论呢？

【分析】（1） 从图3我们不难发现本质上这题是在图2的基础上又增加了一个内角平分线，所以通过上面的基本图形的结论马上可以得到两个等腰三角形，即BD=DO，CE=EO，虽然不能直接求出△ADE的各边长，但通过刚刚得到的边的等量代换易得AD+DO=AB，AE+EO=AC，从而可求得C△ADE=AB+AC=7.

（2） 图4中的平行线和角平分线也同时具备，因此同样可以得到△BDO、△OEC为等腰三角形，只是位置有所改变，所得到的结论稍有改变，应该是△ODE的周长为定值，刚好为BC的长.解题的关键是能把握住条件所带来的信息，熟悉基本图形.

【反思】求线段的长往往都是用等量代换或者倍数关系来解决；求三角形的周长时往往会需要考虑将部分线段整体代换来求得总长，而“平行线、角平分线”是一个比较好的代换平台.

变式2 如图5，已知△ABC中的∠ACB的外角平分线CD与∠ABC的平分线BD交于点D，过D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，试说明EF、BE和CF的数量关系.

【分析】一般三条线段的数量关系有：（1）a=b=c，（2）a+b=c.从图中明显可以排除第（1）种情况，所以直接考虑第（2）种情况.从条件DE∥BC、BD平分∠ABC可得BE=DE，从DE∥BC、CD平分∠ACG可得CF=DF，因为图中EF+FD=ED，所以EF+CF=BE.

【反思】本题还是借助了书本例题中所得到的基本图形，只是角平分线换成了一内一外且在不同的顶点处，但还是能得到两个等腰三角形，从而证明了线段之间所存在的数量关系.只要能看到“平行—角平分线—等腰”这个三角组合，这道题就非常容易解答.

从上面的结论，我们还可以继续考虑：

如果这一内一外的角平分线是在同一个顶点处时又是什么样的结论？也就是将“BD平分∠ABC”换成“CE平分∠ACB”，其余条件不变，不妨请同学们动手试一试吧！

变式3 如图6，AD是∠BAC的平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F.试说明：EC平分∠DEF.

【分析】本题中最明显的一个特征是存在全等三角形，即△AED≌△ACD（SAS），而这对全等三角形可以得到一组对应边相等ED=CD，再由EF∥BC，又得到了“三角组合”，从而得到所要证明的结论.

【反思】几何证明不可能一步到位，很多都要转几个弯才能完成，分析时要从条件出发，一个已知条件能推出什么，几个已知条件组合在一起又能得到哪些结论.比如这题中单看AE=AC，想到等边对等角，但和“AD是∠BAC的平分线”放在一起看就能得到更多的结论，另外还要从结论上倒推，要证明“EC平分∠DEF”，从基本图形着手只要增加等腰即ED=CD就行，两项一结合就能找到证明的思路.

复杂图形其实都是由一些基本图形组合而成，仔细观察、思考，学会将图形逐个分解，对于解题事半功倍.

（作者单位：江苏省常熟实验中学）