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《数学实验》课程常微分方程求解的教学探索

2015-01-23李艳晴

产业与科技论坛 2015年2期
关键词:库塔欧拉数学实验

□ 李 晔 李艳晴

数学实验是高等学校迎接21世纪数学教学改革的一门新课程,它将数学知识、数学建模和计算机应用三者有机结合在一起,使学生可以深入理解数学的基本概念、基本理论,熟悉常用数学软件,这样既培养了学生进行数值计算和数据处理的能力,也培养了学生应用数学知识建立数学模型、解决实际问题的能力,同时使学生真正做到了“学数学,用数学”,激发了学生学习数学的兴趣[1]。随着教学改革的不断深入,许多高校都在积极探讨数学实验的课程建设[2~3]、教学内容和教学方法[4]。实践表明,数学实验的重要性越来越被人们认识到,其研究方法也逐渐渗透到高校各大课程中。常微分方程求解是《数学实验》课程中的教学重点以及教学难点之一,本文根据多年教学经验,结合实际教学情况,探讨了数学实验课程中常微分方程求解的讲授方法。

一、教学方法研究

(一)借助实际案例提出问题,激发学生兴趣。教师在教学过程中,将数学建模思想融入到数学实验教学当中[5],根据学生的知识基础提出问题,给出实验问题的背景介绍。比如,以实际案例“缉私艇追击走私船”出发,抓住学生胃口,吸引学生眼球,让学生带着问题而入,从而引出本节内容。这样不仅能让学生对建模思想有初步了解,培养学生创新能力,而且有助于加强学生的求知欲,提高学生的学习兴趣。

(二)由浅入深,由表及里,介绍龙格库塔法的思想。所谓数值方法,是将连续的微分方程的初值问题离散化为差分方程的初值问题,用差分方程的解近似代替微分方程的解[6]。常用的微分方程的数值解法有欧拉法、梯形公式、龙格库塔方法。本章主要是用龙格库塔方法编程序求解。为了便于学生掌握,由浅入深,由表及里,先从简单的方法(欧拉法、梯形公式)入手,然后导出龙格库塔方法。

微分方程的初值问题:

假设(1)式的解存在并且唯一(即ƒ(x,y)在矩形区域R={(x,y)|x0≤x≤xn,y0≤y≤yn}上连续,且关于 y 满足 Lipschitz条件)。

把定义域n等分,对微分方程y'=ƒ(x,y)在第i个小区间[xi,xi+1]上积分得:

对于(2)式中的定积分,用不同的数值方法(左矩形公式、右矩形公式、复合梯形公式)求解,便得到不同的求解常微分方程的数值方法(向前欧拉公式、向后欧拉公式、梯形公式)。

如,用左矩形公式求(2)中的定积分,得:

y(xi+1)≈y(xi)+hƒ(xi,y(xi))

又有 yi+1=y(xi+1),yi≈y(xi),所以 yi+1=y+hƒ(xi,yi),i=0,1,…,即向前欧拉公式。显然,步长越小,结果越精确。

同理,用右矩形公式求(2)中的定积分,得y(xi+1)≈y(xi)+hƒ(xi+1,y(xi+1)),即向后欧拉公式,这是隐式格式,求解时需采用预测校正方法,即先用向前欧拉法提供初值,然后再用向后欧拉公式迭代,计算公式为:

用复合梯形公式求定积分,得数值解的计算公式为:

综上,欧拉公式在计算(2)中的定积分时只用到了一个点(左端点或右端点)处的导数值(即ƒ(x,y)值);梯形公式用了两个点(左、右端点)的导数值;在此基础上,在小区间[xi,xi+1]上多取几个点,计算这些结点处的导数值,然后作这些导数值的线性组合,构造近似公式,这就是龙格库塔法的基本思想。

常用的龙格库塔法有二级二阶R-K方法

在介绍各种数值方法时,可用Matlab进行仿真,把每一步迭代结果动态的反映到图像中,将抽象的算法直观地呈现在学生面前,加深学生的理解,激发学生的兴趣。

(三)用Matlab编程序求解。例:所求微分方程初值问题为,用龙格库塔法求解的程序为:

编写函数文件exf:

编写主程序:

运行结果见图1。

图1 数值解与解析解

图2 simulink模块连接图

(四)建立Simulink模块连接图,进行比较式教学。首先建立方程的simulink模型,保存为 aa2.mdl,见图2。运行仿真:

仿真画出y及其导数的图像,结果同图1。

由上,simulink不需要学生对算法有很深的了解,只需画出模块连接图,就可以将结果可视化。而且,模拟是交互的,学生可以快速改变参数,并立刻得到相应的结果,该方法的优点是简单、快速、直观,对于初学者来说更容易掌握。

图3 Lorenz混沌吸引子三维相图

(五)引入科学前沿问题,开拓学生视野。随着科学技术的发展,长期不变的实验教学已不能满足教学需要,所以应将新的科研成果融入教学中,让学生掌握科学前沿知识,这样可以丰富教学内容,开拓学生视野,活跃学生思想,培养创新意识,从而提高教学质量。

本章内容其中一个重要的应用就是混沌系统的求解。混沌是非线性动力学系统中特有的一种运动形式,广泛存在于自然界,如生物学、物理、化学、电子学、信息学科以及技术科学、社会科学等各种领域。混沌是学者们研究的学术前沿问题之一。其中研究的最为深入的是Lorenz系统,其状态方程为:

式中 a=10,b=30,c=8/3,给定初始条件为 x(0)=0,y(0)=ε,z(0)=0,其三维相图见图3。给初始值一个微小扰动,然后求解观察,会发现两次计算结果完全不同,这就是混沌系统对初始条件的高度敏感性(失之毫厘,差之千里),称之为蝴蝶效应。

Lorenz方程是没有解析解的,如果要手工绘出其图形很困难,但是用Matlab仿真,其效果和直观性是非常好的,便于学生理解与掌握。

另外,在绘制洛伦兹系统的相图时,可以固定参数a,c,令b从0到30变化,进一步观察相图,初步引入分岔的概念,如此有利于激发学生的求知欲,为日后的进一步研究奠定基础。

二、结语

对于常微分方程数值解的讲授,首先提出实际案例,让学生带着问题而入,激发学生求知欲;然后介绍算法,理论与实践相结合;再用Matlab仿真,主要介绍两种方法(龙格库塔法以及Simulink仿真)求解,结果表明:两种方法各有优点,前者帮助学生理解算法理论;后者从繁琐的算法中解脱出来,简单、直观,只需要画出模块连接图就可得到结果;最后引入科学前沿问题——混沌系统的求解,开拓了学生的视野,提高了学生兴趣,培养了创新意识,使教学质量上了一个新台阶。

[1]艾冬梅,李艳晴,张丽静等.MATLAB与数学实验[M].北京:机械工业出版社,2010

[2]杨韧,谢海英,杨光崇.注重能力培养的数学实验课程建设探索[J].大学数学,2013,29(3):9 ~11

[3]陈慧.数学实验课程教学改革研究[J].中国大学数学,2007,12:35 ~36

[4]杨夷梅,杨玉军.Matlab教学中的方法与实践[J].中国电力教育,2008,127:59 ~60

[5]韦程东,高扬,陈志强.在常微分方程教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].数学的实践与认识,2008,38(20):228~233

[6]刘钦圣,张晓丹,王兵团.数值计算方法教程[M].北京:冶金工业出版社,1998

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