带有Hardy位势项和Sobolev临界指数的非齐次椭圆方程组解的存在性

康东升，王 妹，罗 婧

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

带有Hardy位势项和Sobolev临界指数的非齐次椭圆方程组解的存在性

康东升，王 妹，罗 婧

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

运用Ekeland变分原理和Hardy不等式方法，讨论了一类带有Hardy位势项和Sobolev临界指数的非齐次椭圆方程组，证明了在参数满足一定约束条件时该方程组至少存在一个解.

非齐次椭圆方程组；Sobolev临界指数；Ekeland变分原理

1 问题的引入

(1)

(2)

对于∀(u,v)∈H2，记：

J(u,v):=E(u,v)-(2*-1)F(u,v).

Λ:={(u,v)∈H2;〈I′(u,v),(u,v)〉=0}=

{(u,v)∈H2;E(u,v)-F(u,v)-

Λ+:={(u,v)∈Λ;J(u,v)>0}.

Λ0:={(u,v)∈Λ;J(u,v)=0}.

Λ-:={(u,v)∈Λ;J(u,v)<0}.

(3)

其中E(u,v):=

设方程组(1)的能量泛函为：

(4)

称(u,v)∈H2是方程组(1)的解，如果(u,v)∈H2满足：

(u,v)≠(0,0),〈I′(u,v),(φ,φ)〉=0,∀(φ,φ)∈H2.

下面给出相关参数的假设条件如下：

E(u,v)≥

(5)

近年来，带Hardy位势项和Sobolev指数的这类问题引起学者们的广泛关注，相关的研究结果大量出现[2-7].其中有学者讨论一类含f(x)满足一定条件下解的存在性问题[8-10].这类结果加深了我们对于椭圆方程的认识，同时也促进我们研究其他的方程，相关的新结果也不断出现[11-17]. 本文主要结果见定理1.

定理1 假设条件(M1)和(M2)成立，且f(x)，g(x)∈L∞(Ω)，f(x)≢0,g(x)≢0，则方程组(1)在H2中至少有一个解存在.

2 相关引理和定理1的证明

引理1 设f(x)≢0,g(x)≢0，条件(M1)、(M2)成立，则有：

引理2 假设条件(M1)、(M2)成立，则对于∀(u,v)∈Λ，(u,v)≠(0,0)，有：

E(u,v)-(2*-1)F(u,v)≠0

(6)

证明 证明过程与文献[8]相似.

引理3 设f(x)≢0,g(x)≢0，满足条件(M1)、(M3)，则对任意的(u,v)∈Λ，J(u,v)≠0，存在ε>0和可微函数t=t(α,β)>0，(α,β)∈H2，‖α‖+‖β‖<ε，使得t(0,0)=1,t(α,β)(u-α,v-β)∈Λ，并且有：

〈t′(0,0),(α,β)〉=

(2*-1)F(u,v)].

证明 证明过程仿照文献[9]可得到.

引理4 设条件(M1)、(M2)成立，则对于(3)式而言存在一个极小化序列{(un,vn)}⊂Λ，使得：

‖β-vn‖),∀(α,β)∈Λ.

证明 首先证明I是有界的.对于(u,v)∈Λ，有：

所以有：

(7)

下一步需要找到c0的一个上界，令(φ,φ)∈H2是以下方程组的弱解：

对于f≢0,g≢0有：

由引理1，可得到一个t0=t0(φ,φ)，使得(t0φ,t0φ)∈Λ和J(t0φ,t0φ)>0成立.从而：

因此有：

c0≤I(t0φ,t0φ)<0.

(8)

再对极小化问题(3)运用Ekeland变分原理，可得到一个满足引理4中条件(i)、(ii)的极小化序列(un,vn)∈Λ.证毕.

引理5 设条件(M1)、(M2)成立，{(un,vn)}⊂Λ是通过引理4获得的极小化序列，且B:={(u,v)∈H2;F(u,v)=1}.如果下列极小化问题：

(9)

成立，则有：

‖I′(un,vn)‖(H2)-1→0,n→∞.

证明 当n充分大时，由(8)式有：

因此：

(10)

且un≠0,vn≠0.再由(8)、(10)式有：

(11)

因此{(un,vn)}有界.

因此δ1→0，δ2→0有：

‖I′(un,vn)‖.

由(11)式，对于某个常数C>0，有：

因而有：

定理1的证明 设条件(M1)、(M2)成立.由引理4和引理5，可得到一个满足下列条件的极小化序列(un,vn)∈Λ：

由引理4中(ii)有：

〈I′(u0,v0),(α,β)〉=0,∀(α,β)∈H2.

如此(u0,v0)就是方程组(1)的一个弱解，且(u0,v0)∈Λ.因此：

故而有(un,vn)→(u0,v0)，且：

对于∀ε∈(0,1)，fε=(1-ε)f，∀η∈(0,1),gη=(1-η)g满足条件(M2)，记：

(12)

I(u,v)+ε‖f‖H-1‖u‖+η‖g‖H-1‖v‖≤

I(u,v)+εC4+ηC5,

(13)

其中C4,C5为正常数.令f=fε，g=gη，由(6)、(13)式有：

cε,η≤c0+εC4+ηC5.

当n→∞，取εn→0，ηn→0，使得在H2空间里对于某个(u0,v0)∈H2，有：

由(12)式有：

〈I′(u0,v0),(α,β)〉=0,∀(α,β)∈H2.

从而有：

I(u0,v0)≤c0,(u0,v0)∈Λ.

进而有I(u0,v0)=c0.因此(uεn,vηn)→(u0,v0).定理1证毕.

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Existence of Solutions to Inhomogeneous Elliptic Systems Involving Hardy-Type Terms and Critical Sobolev Exponents

Kang Dongsheng, Wang Mei, Luo Jing

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In the paper, an inhomogeneous elliptic system is investigated,which involves Hardy-type terms and critical Sobolev exponents. The existence of at least one solution to the system is verified by the Ekeland varuational principle and the Hardy inequality, when the parameters satisfy certain constraints.

inhomogeneous elliptic systems; critical Sobolev exponent; Ekeland varuational principle

2015-07-22

康东升(1967-)，男，教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail: dongshengkang@scuec.edu.cn

国家民委科研基金资助项目(12ZNZ004);中南民族大学研究生创新基金资助项目(2015sycxjj128)

O175

A

1672-4321(2015)04-0109-05