具有线性捕捞成本的渔业资源的连续动力模型的稳定性分析

顾恩国，史晓琳，但 威

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉430074)

具有线性捕捞成本的渔业资源的连续动力模型的稳定性分析

顾恩国，史晓琳，但 威

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉430074)

为了控制渔业资源保持在一个平衡的状态，在假设捕捞成本函数为捕捞量线性函数的基础上，以及考虑鱼群自然增长及其市场价格随供需变化的情况下，建立了渔业资源存储量、捕捞量、市场价格三者的相互作用的动力学模型,研究该连续系统的正平衡点的存在性及稳定性.

正平衡点；中心流形定理；稳定性；Routh-Hurwitz定理

随着世界人口的不断增长,人类对渔业资源的需求不断增加.在市场的作用下,为了达到供需平衡,总会出现过度捕捞现象,使得渔业资源存储量急剧减少，渔业资源的可持续利用受到威胁[1].因此，对渔业资源的可持续利用的研究已经成为当今世界学术界的重要课题.目前,有关研究包括渔业资源的最优捕捞策略的比较静态研究[2-4]和基于生物经济系统的动力学分析[5]较多，而基于博弈论的多个个体和不完全的多市场动态分析已经成为主流[6-9].通过对渔业资源的研究,有利于有关部门作出科学决策,控制好渔业资源的存储量和捕捞量，从而保护食物链的完整.本文在已有的研究成果的基础上,应用非线性动力学的分析方法及数值模拟研究资源存量、捕捞量和市场价格的相互作用,分析影响渔业资源维持平衡的因素,可以科学地揭示渔业资源在什么情况下属于过度捕捞，为有效进行资源管理提供新思路和理论依据,并且可为研究其它可再生资源(森林、牧草等)提供新方法.

1 模型的建立

影响渔业系统的主要因素有资源、个体(渔船队或国家或渔民)和市场,现假设公共渔业资源的捕捞为商业捕捞，即将捕捞的鱼全部投放到同一个市场上销售.首先，设H(t)为t时刻的捕捞量，考虑短期内渔业资源变化量不会很大，所以我们假设捕捞成本函数线性依赖于捕捞量H(t)，满足函数：

C=C0+γH,

其中C0为固定成本，γ为捕捞技术.

捕捞利润为：

π=P(t)H(t)-C0-γH(t).

所以捕捞在某时刻的边际利润为：

假设边际利润为正，捕捞者就会增加捕捞量，反之减少.

假设在不考虑捕捞的情况下,鱼的存储量也即生长量由Logistic方程给出[10]，即：

其中参数r>0为渔业资源的内在增长率，K>0为环境承载能力.

我们假设的需求函数D(t)为线性的,其满足下列关系式：

D(t)=A-P(t),

这里A表示市场的绝对需求量.如果捕捞量大于市场需求量,市场价格将降低,反之上升.

综合上述假设，我们有

(1)

其中α为捕捞量调节速度，β为市场价格调节速度.为了保证系统有意义，系统(1)状态必须在可行域D={(X,H,P)|0≤X≤K,0≤H≤X,0≤P≤A}中.

2 正不动点的存在性及稳定性分析

2.1 正不动点的存在性

求系统(1)的不动点，基于实际意义考虑，不动点应为非负数，满足下列条件：

则系统有两个边界不动点p1(0,0,A)和p2(K,0,A)，其中p1(0,0,A)为灭绝不动点，正不动点满足：

我们得到系统(1)正不动点存在定理.

定理1 (i)当Δ<0，则系统(1)不存在正不动点;

2.2 不动点的稳定性

定理2 系统(1)不动点稳定性情况如下：

(i)边界不动点p1为系统的不稳定鞍点;

(ii)当γA，p2为系统的稳定结点;

(iii)当Δ=0时，系统(1)不动点E始终稳定;

(iv)当Δ>0且γ

证明 对于系统(1)不动点的稳定性，考虑其Jacobian矩阵：

(i)在不动点p1(0,0,A)的Jacobian矩阵为：

特征值为：λ1=r,λ2=α(A-γ),λ3=-β.

由于λ1>0,λ3<0，则边界不动点p1(0,0,A)为鞍点.

(ii)在不动点p2(K,0,A)的Jacobian矩阵为：

特征值为：λ1=-r,λ2=α(A-γ),λ3=-β.

由于λ1<0,λ3<0，当γ0,所以边界不动点p2(K,0,A)为鞍点；当γ>A，则λ2<0，所以边界不动点p2(K,0,A)为稳定结点.

(2)

λ1=0,

则λ2≠λ3，由于λ1=0，λ2,λ3具有负实部，则此时稳定性可以应用中心流形定理判定：得到属于λ1,λ2,λ3的特征向量分别为：

作非奇异线性变换：

将系统矩阵对角化后得到新的系统为：

(3)

由中心流形存在性理论[11]可知，系统存在一个中心流形，可表示为：

其中δ为一个充分小的正常数.根据中心流形的定义，令：

Q=h1(S)=a1S2+a2S3+a3S4+O(S5),

T=h2(S)=b1S2+b2S3+b3S4+O(S5).

则有：

φ1(S,h1(S),h2(S))·

当t→∞时，S→0，所以不动点(S,Q,T)=(0,0,0)是稳定不动点,即平衡点E稳定.

(iv)关于正不动点E1,E2的稳定性，其Jacobian矩阵为：

我们应用Routh-Hurwitz定理来判断，a0λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，可以得出正平衡点E1,E2的稳定条件为：

a0=1>0,

a1a2>a3.

3 数值模拟

当我们固定参数A=2.13,K=4,r=1.73,γ=0.4时，研究系统(1)在参数条件为α=0.1,β=1时的动力学行为.此时Δ=0,E(2.1,73,0.4)，图1为初始值为(1.7,1.6,0.5)的时间序列图和相图，很明显渔业资源经过有限时间将稳定到不动点E.

当我们固定参数A=2.13,K=4,r=2.3,γ=0.4,研究系统(1)在参数条件为α=β=0.1时的动力学行为.此时Δ=3.97>0,γ

4 结论

本文建立渔业资源存储量、捕捞量、价格三者之间相互作用的系统,给出了系统不动点的存在条件，并且应用了中心流行定理以及Routh-Hurwitz定理分析了不动点的稳定性，从而了解如何通过控制参数来保持系统的稳定，最后通过数值模拟来验证结论.研究结果对实际生活中控制渔业资源平衡、实现渔业资源的可持续发展具有重要指导意义.

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Analysis of Stability in a Continuous Dynamical System of Fishery Resources with Linear Harvest Cost

Gu Enguo,Shi Xiaolin,Dan Wei

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

In order to keep the fishery resources in a balanced state, we assume that fishing cost function linearly depends on the harvest cost. Considering the fish natural growth and the market price changes with supply and demand situation, we establish a dynamic model of the interaction of fish store, harvest and market price to study the existence and the stability of the positive equilibrium point of the continuous system.

positive equilibrium point; center manifold theory; stability; Routh-Hurwitz theorem

2015-10-13

顾恩国(1964-)，男，教授，博士，研究方向：非线性动力学应用，E-mail: guenguo@163.com

国家自然科学基金资助项目(61374085)；中南民族大学研究生创新基金资助项目(2015sycxjj129)

O193

A

1672-4321(2015)04-0119-04