一种基于倾斜投影的图像分析方法

段 汕,谢英华

(中南民族大学 数学与统计学学院,武汉 430074)

一种基于倾斜投影的图像分析方法

段 汕,谢英华

(中南民族大学 数学与统计学学院,武汉 430074)

将Pyt′ev形态学中基于倾斜投影的绝对形状和相对形状的模型推广到3个图像空间,并运用投影算子建立了3个图像空间的绝对形状和相对形状的相关理论. 在此基础上对不同图像的形状进行了相关性和独立性分析,得出了有关3个图像空间的相对形状的独立指数和绝对形状的连通指数,这为图像形状的分析比较及图像识别提供了有效的工具.

倾斜投影;绝对形状;相对形状;绝对形状的连通指数;相对形状的独立指数

随着图像形态分析方法的发展,新的方法和思想不断被研究者提出. Pyt′ev形态学几乎与Serra数学形态学同时被提出[1-4],它将图像集合视为一个有限维的Hilbert空间,运用向量代数和泛函分析等不同于Serra数学形态学的一些基础理论分析不同图像空间的相关性和独立性. Pyt′ev在文献[2]中运用投影算子,通过空间分解引入了绝对形状和相对形状的概念和理论,并在此基础上提出了基于2个图像空间的相关性及独立性分析方法. 在该方法中,Pyt′ev用泛函分析的思想提出了相对形状的独立指数[2]和绝对形状的连通指数[2],为分析不同图像形状间的连通性和独立性提供了量化指标.

本文在Pyt′ev研究的基础上,将2个图像空间的情形推广到3个图像空间,运用投影算子的理论建立了3个图像空间的绝对形状和相对形状的相关理论,在一定条件下对3个图像空间进行了相关性和独立性分析,并同时提出了有关3个图像空间的相对形状的独立指数和绝对形状的连通指数,为分析图像间的形状相关性及相对独立性提供了重要的量化研究方法.

1 预备知识

Pyt′ev在文献[2]中给出了两个图像空间L(1)和L(2)的相关性和独立性分析, 其中:

(1)

在(1)式中:

在L(1)的场景中出现一个新目标的情形下, 它表现为如下形式:

i=0,1,…,n}.

(2)

依据文献[2],将f(i)(i=1,2,3)称作图像f的绝对形状.L(1),L(2)和L(3)称作图像的绝对形状空间[2].

2 图像空间的直和分解

2.1 相对形状

L(1),L(2)和L(3)作为L的3个子空间,依据以下方式可产生下列7个子空间:

(4)

2.2 倾斜投影

由(4)式,对任意的f∈L,有:

(5)

在式(5)中定义算子S(1,2,3),S(1,2),S(2,3),S(3,1),S(1),S(2),S(3)如下.

在文献[2]中,以上7个投影算子也被称作图像的相对形状. 由以上分析表示,在已知基底的情形下,对图像的相对形状的描述关键在于获取(5)式中的系数.

3 投影构造与相关性分析

3.1 倾斜投影构造

(5)式中的各个系数为:

若设A是向量组

b=

可知以上系统可以表示为矩阵方程:

Ax=b.

(6)

通过求解矩阵方程(6),我们可以得到基于7个子空间基底的图像的倾斜投影表示.

3.2 相关性分析

为了分析矩阵A,将A分块为:

.

i≠j,m≠n,i,j,m,n=1,2,3.

则A中的分块矩阵和Qij有如下对应关系:

A11=Q1,2:m=1,n=2;A12=Q1,2:m=2,n=3;

A13=Q1,2:m=3,n=1;A14=Q1,2:m=n=1;

A15=Q1,2:m=n=2;A16=Q1,2:m=n=3;

A21=Q2,3:m=1,n=2;A22=Q2,3:m=2,n=3;

A23=Q2,3:m=3,n=1;A24=Q2,3:m=n=1;

A25=Q2,3:m=n=2;A26=Q2,3:m=n=3;

A31=Q3,1:m=1,n=2;A32=Q3,1:m=2,n=3;

A33=Q3,1:m=3,n=1;A34=Q3,1:m=n=1;

A35=Q3,1:m=n=2;A36=Q3,1:m=n=3;

A41=Q1,1:m=1,n=2;A42=Q1,1:m=2,n=3;

A43=Q1,1:m=3,n=1;A44=Q1,1:m=n=1;

A45=Q1,1:m=n=2;A46=Q1,1:m=n=3;

A51=Q2,2:m=1,n=2;A52=Q2,2:m=2,n=3;

A53=Q2,2:m=3,n=1;A54=Q2,2:m=n=1;

A55=Q2,2:m=n=2;A56=Q2,2:m=n=3;

A61=Q3,3:m=1,n=2;A62=Q3,3:m=2,n=3;

A63=Q3,3:m=3,n=1;A64=Q3,3:m=n=1;

A65=Q3,3:m=n=2;A66=Q3,3:m=n=3.

(7)

(8)

(9)

(10)

由(8),(9)式相乘得:

即detB21·B12=det(A42·A24)·det(A53·A35)·det(A61·A16).因

A24=

所以

同理可得:

对B21·B12的结构的研究,以下分2种情况：

情况一:

由以上关系式可知随着连通部分增加,则δ越小. 若对⑵式做以上研究则可以得到相同的结果.

情况二:

由上可知,若同时满足以上3个条件,则B21·B12=0和|A|=|B22|, 其中

综上所述,由格拉姆矩阵的性质知δ∈(0,1],而且δ越大则表明7个相对部分独立性越强. 比如当δ=1,7个相对部分完全相对独立;随着δ→0,可知7个相对部分是几乎完全相互连通. 因此把δ=

将con=con(L(1),L(2),L(3))=

称为L(1),L(2)和L(3)绝对形状的连通指数.显然有con∈[0,4]. 且随着con增大,L(1),L(2)和L(3)连通部分越来越大. 当con=4时,它们是相互包含的;而当con=0时,它们是完全相互独立的.

以上结果可以总结为定理1、定理2.

定理2 基于3个图像空间的连通指数con=con(L(1),L(2),L(3)),它满足:

(a) con∈[0,4];

4 结束语

本文在相关文献的基础上, 运用投影算子的理论建立了3个图像空间的绝对形状和相对形状的相关理论,给出了3个图像空间的相对形状的连通指数和绝对形状的独立指数的具体形式,分析了不同图像形状间的连通性和独立性. 由于涉及的数据较多,对有关3个图像空间的相对形状的矩阵分析时,本文只对几种特殊情形进行了分析. 对一般情况下的研究,有待进一步深入.

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[4] Vizilter Y V, Zheltov S Y. The use of projective morphologies for object detection and identification in images[J]. J Comput Syst Sci Int, 2009, 48: 282-294.

[5] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Comparison and location of image fragments with the use of projective morphologies[J]. Vestn Komp′yut Inf Tekhnol, 2008(2): 14-22.

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[7] 刘 杰, 顾三平, 杨 军. 酉空间中格拉姆矩阵的若干性质[J]. 临沂师范学院学报: 自然科学版,1998,20(6): 8-9.

An Image Analysis Method Based on the Oblique Projection

Duan Shan, Xie Yinghua

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

This paper generalizes the model of absolute forms and relative forms based on oblique projections in Pyt′ev morphology to three image spaces, and uses projection operator to establish the relative theory of absolute forms and relative forms in the three image spaces. Then the paper analyses the correlation and independence about different shapes, and obtains the index of morphological independence of relative forms and the index of morphological connection of absolute forms. The results provide an effective tool for image shape comparison and image recognition.

oblique projection; absolute form; relative form; index of morphological connection of absolute form; index of morphological independence of relative form

2015-11-27

段 汕(1962-),女,教授,博士,研究方向:数学应用方法与图像处理,E-mail:duanshan@mail.scuec.edu.cn

国家自然科学基金资助项目(61374085)

O143

A

1672-4321(2015)04-0103-06