基于整体刚度参数的空间结构模态推覆分析

相 阳，罗永峰，郭小农，沈祖炎

（同济大学土木工程学院，上海200092）

基于整体刚度参数的空间结构模态推覆分析

相 阳，罗永峰，郭小农，沈祖炎

（同济大学土木工程学院，上海200092）

由于空间结构具有三维受力特性，用静力推覆方法计算其地震反应存在如下问题，结构代表性节点荷载 位移关系难以选择、结构荷载 节点位移 支座反力之间的对应关系不够直观、结构能力曲线难以确定.利用振型形态确定荷载模式，对空间结构进行静力弹塑性分析；引入结构整体刚度参数，得出不依赖于支座反力变量的各主要模态的等效单自由度（ESDOF）体系力 位移关系；结合模态周期值，确定ESDOF体系等效质量，并将该体系应用于模态推覆分析.数值算例分析结果表明，基于整体刚度参数的模态推覆分析方法可避免空间结构能力曲线难确定的问题，计算耗时仅为时程分析方法的10%，沿地震输入方向计算得到的结构节点位移结果相对时程分析结果的平均误差为28%.

空间结构；整体刚度参数；模态推覆分析

空间结构频率分布密集、振型复杂，强震作用下结构进入弹塑性阶段，其地震反应分析面临诸多问题.随着基于性能的抗震设计理念逐步普及，工程技术人员需要简练的分析手段获得空间结构在预定强度地震动作用下的反应，并校核结构是否满足多阶段、多目标的性能要求［1］，在此背景下，静力推覆分析（SPA）方法［2-4］得以被应用于空间结构的地震反应预测.相对于振型叠加反应谱法，SPA法能够考察结构的弹塑性反应，相对于弹塑性时程分析或增量动力时程分析［5］（IDA），SPA法可节省大量计算时间.

已有学者应用SPA方法分析了实际空间结构的地震反应.钱稼茹等［6］分别用弹塑性时程分析和SPA方法计算了国家体育场钢结构在罕遇地震下的性能，计算结果表明，振型质量参与系数达到70%左右时，模态组合推覆分析（MPA）结果与时程分析结果比较接近；郑宇淳［7］用能力谱法和MPA法计算北戴河火车站大跨空间桁架的地震反应，证明MPA方法的分析精度可满足工程需要.还有学者对现有SPA方法进行改进，如Ohsaki等［8］在Nakazawa等［9］研究的基础上发展了一种适用于由两阶振型主导的大跨度结构的 MPA方法；杨木旺［10］沿用Pushover方法的思路，初步建立了评估刚性大跨度空间结构抗震性能的Pushdown方法等.

目前，应用于空间结构的SPA方法，基本沿用了多高层结构静力推覆分析的基本方法与过程，即基于预定荷载模式确定结构某节点的荷载 位移曲线，结合变形形状向量，将整体结构等效为单自由度（ESDOF）体系，进而依据ESDOF体系的结构参数计算结构地震反应.但由于空间结构在受力时具有三维共同工作效应，使得采用适于多高层结构的静力推覆分析方法实施空间结构SPA分析时面临若干问题，首先，空间结构不同节点的荷载 位移曲线在同一荷载模式下常表现出迥然相异的刚度特征、屈服点和屈服后性态，导致结构代表性节点荷载 位移关系的选定原则难以确定；其次，应用MPA方法，选择位移最大节点的荷载 位移曲线作为整体结构受力 变形关系的表征时，所选节点最大位移方向与所选模态的整体结构振动方向往往并不一致；再次，空间结构某方向的位移反应不完全由该方向支座反力决定，与该方向正交的支座反力分量对结构的位移反应亦有重要贡献.鉴于此，目前对于空间结构的SPA分析主要应用于结构位移形态明确、控制点位移与同方向支座反力相关性明显的结构之中.出现上述问题的根本原因在于空间结构与多高层建筑结构在传力方式上存在明显差异，前者在宏观上的刚度特性难以仅用某一个节点的受力变形关系表现，且结构荷载 位移 支座反力之间的对应关系不够直观.

本文针对上述问题，借助结构的整体刚度参数［11］表述结构的刚度特性，在此基础上建立基于整体刚度的空间结构新ESDOF体系.将此ESDOF体系运用于K6单层球面网壳的MPA分析中，并将分析结果与弹塑性动力时程分析结果进行比较.

1 空间结构整体刚度参数及其等效单自由度体系

本节先引入结构整体刚度参数（k＊）的概念，提出基于k＊确定ESDOF体系等效质量、自振频率、屈服强度和屈服后刚度的方法，再在此基础上提出基于ESDOF体系求解目标位移以及结构地震反应的基本方法.

1.1 k＊及各阶模态ESDOF体系等效刚度

推覆分析中，构件随荷载增加而渐次屈服，结构刚度减小.假设某一荷载步的荷载增量向量为ΔPn（下标n表示第n荷载步），对应的位移增量向量为Δvn，则单位荷载增量向量ΔPun和其引起的位移增量向量Δvun可分别表达为

单位荷载向量所做的功为

Δwun在数值上等于结构在单位荷载作用下的位移，实质上是结构柔度的表征，其倒数则表征了结构的某种刚度，即

由于构件屈服程度的加剧和屈服构件数量的增加，k＊将随推覆荷载值的增加而减小，k＊的变化过程即为结构整体抗变形能力的变化过程.由k＊的计算公式可见，其数值不依赖于结构某单一节点的荷载 位移关系，而是在特定荷载模式下结构所有节点荷载 位移关系的共同表征.

在模态推覆分析方法中，依据结构第j阶模态对应的节点位移向量Xj可确定荷载模式Pj.利用Pj对结构实施静力弹塑性分析，可得到结构对应荷载模式Pj的各荷载增量步的整体刚度参数kj＊n，由于kj＊n值是结构在第j阶模态荷载模式作用下各节点荷载 位移关系的共同表征，故kj＊n可作为空间结构第j阶模态ESDOF体系对应第n荷载步的刚度.

1.2 ESDOF体系质量和自振频率

对于模态推覆分析方法，整体结构第j阶模态对应的ESDOF体系的自振频率应与该阶模态频率相等.在得到结构第j阶模态对应的初始整体刚度kj＊（弹性阶段）的数值后，该阶模态ESDOF体系的等效质量可由结构刚度、质量和圆频率之间的关系确定，即

式中：m＊j为结构第j阶模态ESDOF体系的等效质量；ωj为结构第j阶模态圆频率，亦即结构第j模态ESDOF体系的自振圆频率ω＊j.

1.3 ESDOF体系屈服强度和屈服后刚度

结构第j阶模态质点i所受地震作用Fji以及第j阶模态ESDOF体系所受地震作用F＊j可分别表示为

式中：χ为荷载因子，即节点荷载数值与振型位移数值的比值；Xji为第j阶模态节点i的位移；αj＊为第j阶模态ESDOF体系地震影响系数；Gj＊为第j阶模态ESDOF体系等效重力；Γj为第j阶模态参与系数.

当χ对应结构屈服点即χ＝χy时，Fj＊即为第j阶模态ESDOF体系屈服力Fj＊y.

为确定ESDOF体系的屈服强度fy＊和屈服后刚度αk＊，需要将其荷载 位移曲线简化为双折线［12-13］.随推覆荷载值的增加，结构塑性发展，刚度持续下降，结构的屈服后刚度不再是定值，采用等能量原则［14］将ESDOF 体系的荷载 位移曲线转化为双折线时，荷载 位移曲线的终点位置对屈服强度和屈服后刚度值有影响.合理终点位置对应的结构位移应是结构在地震作用下达到的最大位移，但这一位移数值无法预先确定［15］.本文通过对各阶ESDOF体系实施一次时程分析试算得到各ESDOF体系荷载 位移曲线的终点近似值，再令计算得到的fy＊和αk＊值满足图1中阴影面积A1与A2相等的条件，求解得到屈服强度fy＊和屈服后刚度αk＊的数值，从而完成对各阶模态ESDOF 体系荷载 位移曲线的双线性简化.

图1 采用等能量原则确定ESDOF体系f＊y和αk＊Fig.1 Determination of f＊yandαk＊of ESDOF system by means of the equivalence energy criterion

1.4 目标位移

对第j阶模态的ESDOF体系进行动力时程分析，可获得该体系最大位移值dj＊max，该位移水平对应结构第j阶模态的位移反应峰值.若依据dj＊max值对应的kj＊max值，结合式（4）求解第j阶模态结构各节点的位移反应数值，必须设定结构位移形式，即形状向量，这显然无法体现结构屈服后位移形式的改变，将引起误差.为考虑这一影响，可基于第j阶模态ESDOF 体系的实际荷载 位移曲线，先求得与dj＊max值对应的推覆荷载因子χj＊max，再通过静力分析得到结构在该推覆荷载下的节点位移向量vj，即与第j阶模态对应的结构地震位移反应.

依据模态推覆分析方法［14-16］，将各模态地震位移反应峰值对应的节点位移向量vj按式（8）组合，即得如下结构总位移反应：

式中：vn为组合各主振型后得到的第n节点位移值；vjn为依据第j振型计算得到的第n节点位移值.

2 球面网壳推覆分析算例

为验证本文基于ESDOF体系进行空间结构模态推覆分析的适用性，将上述分析过程在ANSYS软件平台上采用APDL程序语言进行编程，并对一个K6单层球面网壳进行推覆分析及时程分析，将计算结果进行比较.

2.1 网壳结构模型

网壳径向6环，跨度36m，矢高9m，各节点集中质量6t，杆件外径140mm，壁厚3.5mm，结构材料为Q235钢材，采用双线性随动强化材料模型，弹性模量2.06×105MPa，屈服强度215N·mm-2，屈服后弹性模量取初始弹性模量值的0.5%.本算例研究结构在X向地震作用下的反应，弹性阶段其X向主振型周期值T，振型参与系数（Modal PF）及质量参与系数（Mass PF）信息见表1，对应模态形状见图2，所列5阶自振模态的X向Mass PF累积值为84.12%.

表1 结构X向主要自振模态信息Tab.1 Information of dominate structural modes in the Xdirection

2.2 结构等效单自由度体系

依据振型确定推覆分析荷载模式并实施静力非线性分析后可获得结构每一荷载步的整体刚度参数kj＊n.由式（7）计算每一荷载步ESDOF体系的等效集中力增量值Fj＊n后，结合该荷载步对应刚度kj＊n，依据式（9）即可求得本步位移增量δj＊n，即

图2 结构X向主要自振模态Fig.2 Dominate structural modes in the Xdirection

依据各荷载步的δj＊n和Fj＊n数值可进一步得到ESDOF 体系荷载 位移曲线.对此荷载 位移曲线进行双折线化，即得到可直接用于求解结构反应的ESDOF体系力 位移关系.

表2给出了表1所列结构各阶模态对应的ESDOF体系的mj＊、初始刚度k0＊、屈服力fy＊和屈服后刚度αk＊.图3为结构在各阶模态荷载模式作用下k＊的变化过程以及各阶模态ESDOF体系的荷载 位移曲线，包括实际曲线和双线性化曲线.

表2 各阶模态ESDOF体系力学参数Tab.2 Mechanical parameters of ESDOF system for each mode

2.3 结构地震位移反应

时程分析采用1940年美国Imperial Vally地震记录到的El Centro地震波南北分量，峰值加速度0.357g，持续时间53.7s，分析时对其进行了调幅，调幅后峰值加速度为0.900g.

2.3.1 ESDOF体系地震反应

时程分析得到的各阶模态ESDOF体系最大位移与屈服位移比值（dj＊max／dj＊y）以及最大位移对应的推覆荷载因子（χj＊max）见表3.

由表3可见，结构第14，94，96阶模态ESDOF体系最大位移均小于屈服位移，此3阶模态对应ESDOF体系在地震作用下处于弹性阶段；第3阶模态ESDOF体系最大位移比屈服位移稍大，其塑性发展程度较小；第1阶模态最大位移大幅超出屈服位移，结构构件屈服主要由第1阶模态地震反应引起.

2.3.2 结构整体位移反应

依据χj＊max，由静力分析可得与j阶模态对应的结构位移反应vj，组合vj即得整体结构MPA位移反应δMPA，max；对原结构模型实施动力弹塑性时程分析，并将跨中节点X向位移反应达到最大值时刻t0所对应的结构整体位移反应δTHA，max列出，作为与δMPA，max对比的依据.按照结构节点编号（如图4所示），将位移数值绘于图5中，可直观对比.其中，Z向位移反应存在负值，为便于比较，图5中所列Z向位移为2种分析方法所得节点位移绝对值.由于节点Y方向位移反应数值较小，不单列出.在内存为4 G的计算机上，本文方法分析耗时约为动力弹塑性时程分析耗时的10%.

图3 结构各主要模态ESDOF体系刚度退化曲线及荷载 位移曲线Fig.3Stiffness decrease curve and load displacement curve of the ESDOF system for each dominant mode

表3 各阶模态ESDOF体系地震反应及对应推覆荷载因子Tab.3 Seismic response and the corresponding pushover load factor of each dominant ESDOF system

图4 结构节点编号Fig.4 Node numbers of the structure

由图5可见，采用基于整体刚度参数的模态推覆分析得到的结构位移反应与时程分析结果较为接近.用2种方法计算得到的结构X向及Z向地震位移形态近似，且大部分节点位移数值差异在20%以内.其中，编号7～30的节点X向位移反应差异绝对值较大，Z向位移反应也存在类似现象，这一差异主要由2个因素引起：一是MPA未考虑所有模态，存在振型“截断”误差；二是时程分析得到的t0时刻结构反应中各振型贡献比例与MPA各振型反应组合式（8）给出的贡献比例不同.总体看，2种分析方法所得结构各节点X向位移反应相对差异平均值为28.09%，Z向位移反应相对差异平均值为38.41%，说明基于整体刚度参数的MPA方法所得结构位移反应结果具备一定的精度，可用于工程实际.

图5 结构X向及Z向地震反应对比Fig.5 Comparison of structural seismic response in both the Xand the Zdirection

2.3.3 屈服杆件数量及分布

采用2种分析方法计算得到结构进入塑性的杆件数量接近，分别为144根（弹塑性时程分析）和116根（基于k＊的模态推覆分析），二者分布位置也基本对应，限于篇幅，不列出图示.

3 结论

运用结构整体刚度参数建立针对空间结构的新的ESDOF体系，对结构进行模态推覆分析，具备如下优势：

（1）避免了空间结构推覆分析中结构代表性节点不确定、结构荷载 位移 支座反力之间对应关系不直观等问题，改善了运用静力推覆分析方法进行空间结构地震反应分析的适用性及可操作性.

（2）该方法计算结果与动力弹塑性时程分析结果相比，准确性较好.

（3）该方法相对于动力弹塑性时程分析，计算耗时明显缩短，分析效率高.

运用本文方法求得的空间结构地震反应可作为校核结构是否满足一定性能水准要求的依据.若对推覆荷载模式及振型反应组合方式进行改进，可使本文方法的精度及适用性进一步提高.

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Modal Pushover Analysis of Spatial Structures Based on the Overall Structural Stiffness Parameter

XIANG Yang，LUO Yongfeng，GUO Xiaonong，SHEN Zuyan
（College of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）

Due to the three-dimensional force transmission mechanism，the application of pushover method for seismic response analysis of spatial structures is limited by the following issues：firstly，the representative nodal loaddisplacement relationship can hardly be specified；secondly，there are no direct interrelationship among structural load，nodal displacement，and support reaction for spatial structures；thirdly，it is difficult to compute the capacity curves of spatial structures.In this paper，static elasto-plastic analysis is carried out by using the load-patterns generated from the structural vibration modes.Based on the overall stiffness parameter，the load-displacement relationship of the modified equivalent single degree of freedom（ESDOF）system of each dominating mode，independent on support reactions，is obtained accordingly.And the equivalent mass of the modified ESDOF system is calculated by utilization of the mode period.Then the newly established ESDOF systems of the dominate modes are adopted in a modified modal pushover analysis（MPA）procedure.Numerical example shows that the modified MPA method，based on the overall structural stiffness parameter，overcomes the problem existing in the establishment of the structural capacity curve for the spatial structures.The computing consumption of the method given in this paper is 10%of the elasto-plastic time history analysis（THA）method，meanwhile，in the seismic input direction，the nodal displacement data generated by the proposed method shows a 28%deviation compared with the THA method.

spatial structure；overall stiffness parameter；modal pushover analysis

TU973＋.31

A

0253-374X（2015）12-1771-06

10.11908／j.issn.0253-374x.2015.12.001

2014 11 11

国家自然科学基金（51378379）

相 阳（1988—），男，博士生，主要研究方向为大跨度空间结构地震反应分析方法.E-mail：001_xiangyang@tongji.edu.cn

罗永峰（1957—），男，教授，博士生导师，工学博士.主要研究方向为钢结构分析、设计及施工.E-mail：yfluo93@tongji.edu.cn