注意用平几知识巧解圆锥曲线题

赵建勋

解圆锥曲线题一般都是用解析法求解，但这类题运算量很大.若恰当用平几知识，可简化运算，优化解题过程，巧妙解圆锥曲线题，那么平几知识在解圆锥曲线题中有哪些应用呢？

一、求离心率的值

例1双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作

图1

等边三角形，若双曲线恰好平分三角形的另两边，求双曲线的离心率的值.

解如图1，因为△AF1F2为等边三角形，又P是AF2的中点，连结F1P，则F1P⊥AF2.

在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，设|F1F2|=2c，则有|PF2|=c，|PF1|=3c，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a.

即3c-c=2a，（3-1）c=2a，ca=23-1.

故e=ca=23-1=3+1.

点评解本题的关键是用了等边三角形的性质，优化了解题过程.

二、求标准方程

例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点P（3，4），若PF1⊥PF2，试求该椭圆的标准方程.

图2

解如图2，∵PF1⊥PF2，∴在Rt△F1PF2中，∠F1PF2=90°，O是斜边F1F2的中点，连OP，则|PO|=12|F1F2|=12×2c=c，即c2=32+42=25，∴c=5.

又b2=a2-c2=a2-25，于是椭圆的方程可写为x2a2+y2a2-25=1.

∵点P（3，4）在椭圆x2a2+y2a2-25=1上，∴9a2+16a2-25=1.化简整理，得a4-50a2-5×45=0，解得a2=45或a2=5（因为a2>c2=25，故舍去），

∴b2=45-25=20.故所求椭圆方程为x245+y220=1.

点评解此题用了直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理，应认真体会.

2c=4，∴c=2，b2=c2-a2=3.

∴顶点A的轨迹方程是：x2-y23=1

（x>1）.

点睛本题易犯错误：忽视隐含，引起增解（漏写x>1的限制条件）.

2.设双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，离心率

为52，若P（0，5）到双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线方程.

正解由e=52得e2=c2a2=1+b2a2=54，∴a2=4b2.

由此可设双曲线方程为：y24b2-x2b2=1.再设点P到双曲线上的点（x，y）的距离为d，则d2=x2+（y-5）2=14（y2-4b2）+（y-5）2=54（y-4）2+5-b2.

∵a=2b，y∈[a，+∞），∴y∈[2b，+∞）

若4≥2b，即0

若4<2b，即b>2时，则当y=2b时，d2min=4b2-20b+25=4，解得b=72或b=32（舍去），∴a2=49，∴双曲线方程为y249-4x249=1.

综上，所求双曲线方程为y24-x2=1或y249-4x249=1.

点睛本题易犯错误：考虑不周，导致漏解.

（收稿日期：2014-02-12）

解圆锥曲线题一般都是用解析法求解，但这类题运算量很大.若恰当用平几知识，可简化运算，优化解题过程，巧妙解圆锥曲线题，那么平几知识在解圆锥曲线题中有哪些应用呢？

一、求离心率的值

例1双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作

图1

等边三角形，若双曲线恰好平分三角形的另两边，求双曲线的离心率的值.

解如图1，因为△AF1F2为等边三角形，又P是AF2的中点，连结F1P，则F1P⊥AF2.

在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，设|F1F2|=2c，则有|PF2|=c，|PF1|=3c，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a.

即3c-c=2a，（3-1）c=2a，ca=23-1.

故e=ca=23-1=3+1.

点评解本题的关键是用了等边三角形的性质，优化了解题过程.

二、求标准方程

例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点P（3，4），若PF1⊥PF2，试求该椭圆的标准方程.

图2

解如图2，∵PF1⊥PF2，∴在Rt△F1PF2中，∠F1PF2=90°，O是斜边F1F2的中点，连OP，则|PO|=12|F1F2|=12×2c=c，即c2=32+42=25，∴c=5.

又b2=a2-c2=a2-25，于是椭圆的方程可写为x2a2+y2a2-25=1.

∵点P（3，4）在椭圆x2a2+y2a2-25=1上，∴9a2+16a2-25=1.化简整理，得a4-50a2-5×45=0，解得a2=45或a2=5（因为a2>c2=25，故舍去），

∴b2=45-25=20.故所求椭圆方程为x245+y220=1.

点评解此题用了直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理，应认真体会.

2c=4，∴c=2，b2=c2-a2=3.

∴顶点A的轨迹方程是：x2-y23=1

（x>1）.

点睛本题易犯错误：忽视隐含，引起增解（漏写x>1的限制条件）.

2.设双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，离心率

为52，若P（0，5）到双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线方程.

正解由e=52得e2=c2a2=1+b2a2=54，∴a2=4b2.

由此可设双曲线方程为：y24b2-x2b2=1.再设点P到双曲线上的点（x，y）的距离为d，则d2=x2+（y-5）2=14（y2-4b2）+（y-5）2=54（y-4）2+5-b2.

∵a=2b，y∈[a，+∞），∴y∈[2b，+∞）

若4≥2b，即0

若4<2b，即b>2时，则当y=2b时，d2min=4b2-20b+25=4，解得b=72或b=32（舍去），∴a2=49，∴双曲线方程为y249-4x249=1.

综上，所求双曲线方程为y24-x2=1或y249-4x249=1.

点睛本题易犯错误：考虑不周，导致漏解.

（收稿日期：2014-02-12）

解圆锥曲线题一般都是用解析法求解，但这类题运算量很大.若恰当用平几知识，可简化运算，优化解题过程，巧妙解圆锥曲线题，那么平几知识在解圆锥曲线题中有哪些应用呢？

一、求离心率的值

例1双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作

图1

等边三角形，若双曲线恰好平分三角形的另两边，求双曲线的离心率的值.

解如图1，因为△AF1F2为等边三角形，又P是AF2的中点，连结F1P，则F1P⊥AF2.

在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，设|F1F2|=2c，则有|PF2|=c，|PF1|=3c，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a.

即3c-c=2a，（3-1）c=2a，ca=23-1.

故e=ca=23-1=3+1.

点评解本题的关键是用了等边三角形的性质，优化了解题过程.

二、求标准方程

例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点P（3，4），若PF1⊥PF2，试求该椭圆的标准方程.

图2

解如图2，∵PF1⊥PF2，∴在Rt△F1PF2中，∠F1PF2=90°，O是斜边F1F2的中点，连OP，则|PO|=12|F1F2|=12×2c=c，即c2=32+42=25，∴c=5.

又b2=a2-c2=a2-25，于是椭圆的方程可写为x2a2+y2a2-25=1.

∵点P（3，4）在椭圆x2a2+y2a2-25=1上，∴9a2+16a2-25=1.化简整理，得a4-50a2-5×45=0，解得a2=45或a2=5（因为a2>c2=25，故舍去），

∴b2=45-25=20.故所求椭圆方程为x245+y220=1.

点评解此题用了直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理，应认真体会.

2c=4，∴c=2，b2=c2-a2=3.

∴顶点A的轨迹方程是：x2-y23=1

（x>1）.

点睛本题易犯错误：忽视隐含，引起增解（漏写x>1的限制条件）.

2.设双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，离心率

为52，若P（0，5）到双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线方程.

正解由e=52得e2=c2a2=1+b2a2=54，∴a2=4b2.

由此可设双曲线方程为：y24b2-x2b2=1.再设点P到双曲线上的点（x，y）的距离为d，则d2=x2+（y-5）2=14（y2-4b2）+（y-5）2=54（y-4）2+5-b2.

∵a=2b，y∈[a，+∞），∴y∈[2b，+∞）

若4≥2b，即0

若4<2b，即b>2时，则当y=2b时，d2min=4b2-20b+25=4，解得b=72或b=32（舍去），∴a2=49，∴双曲线方程为y249-4x249=1.

综上，所求双曲线方程为y24-x2=1或y249-4x249=1.

点睛本题易犯错误：考虑不周，导致漏解.

（收稿日期：2014-02-12）