不怕你做不到就怕你想不到

王新宏　陈雪莲

2013年高考中的一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的立体几何创新题频频出现，它们充当着“把关题”的重要角色，具有很好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，值得认真研究.下面精选几例创新题加以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

1.你能想到直观图吗？

图1

例1（2013福建（理12））已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图1所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 .

分析本题的三视图简单，大家都熟悉.问的是球的表面积，三视图里球的直观图肯定是圆了，但问题是里面的正方形的顶点为什么不在圆上？但反过来认真一想，正视图、侧视图、俯视图均如图所示的几何体也只能是球里面内接一个正方体了，但…….最后再想一想球里面内接一个正方体的三视图就是这样子，不能在圆上啊！三视图里圆实际上是球的一个大圆，相当于经过球心的一个竖截面.只要思想上想通了，计算一般都不存在什么问题，正方体棱长为2，体对角线为23，球的半径为3，表面积为12π.

反思本题是一道难得的好题，大家感觉很熟悉，但题目设计巧妙，抓住学生的认知缺陷与思维定势，大部分学生想像不出直观图.深层的考查了学生的空间想象能力，再一次诠释了高考是以能力立意全面考查学生的数学素养.

图2

例2（2013新课标Ⅰ（理8））某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ）.

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

分析这道题看着熟悉、常规.但大部分学生都想不到主视图为半圆，侧视图为矩形的几何体是个什么几何体.是个半球？不是.不怕你做不到，就怕你想不到.题易，我易，他易，不大意；题难，我难，他难，不畏难.再仔细想一想，这个几何体的下部分是一个放倒的半圆柱，上部分里边是长方体，前面没有东西.

解V=12s1·h1+s2h2=12×π×4×4+2×2×4=8π+16；故答案为A.

反思所谓空间想象能力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力.本题的难点是主视图为半圆，侧、俯视图均为长方形的几何体为放倒的半圆柱，设计匠心独运，很好的考查了学生的空间想象能力.

图3

例3（2013湖北卷（理8））一个几何体的三视图如图3所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）.

A.V1

C.V2

分析本题的几何体是四个简单的几何体组合而成，上面两个均为旋转体，下面两个均为多面体，故上面两个分别是圆台和圆柱，下面两个是棱柱和棱台，其中圆台的下底面为圆柱的上底面，圆柱的下底面与棱柱的上底面相内切.棱柱的下底面为棱台的上底面.

解V1=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4π+4π×π+π）×1=73π；V2=π×2=2π；

V3=4×2=8；V4=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4+4×16+16）×1=283；

∵2π<73π<8<283，

∴V2

故答案为C.

反思题目粗一看好像有点复杂，实际则未然.切记题目未读懂或一知半解就做题，一遍未读懂，可以读两遍，两遍未读懂，可以读三遍，直到读懂为止.本题一定要注意到上面两个为旋转体，下面两个为多面体.题目设计看似复杂，只要胆大冷静，细心认真，问题就会迎刃而解.

2.垂足新记法，你能反应过来吗？

例4（2013浙江（理10））在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）.设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）] ，恒有PQ1=PQ2，则（ ）.

A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

分析因为B=fπ（A）表示在空间中过点A作平面π的垂线，垂足为B.所以Q1=fβ[fα（P）]就应表示经过空间任意一点P作平面α的垂线，垂足不妨设为E，经过E再向平面β作垂线，垂足为Q1.同理，Q2=fα[fβ（P）]就应表示经过空间任意一点P作平面β的垂线，垂足不妨设为F，经过F再向平面α作垂线，垂足为Q2.因为点P是空间任意一点，都要有PQ1=PQ2，所以只能是平面α与平面β垂直.故答案为A.

反思本题过点作面的垂线，垂足为另一点，出现了一种新记法.首先要对新记法认识到位，理解清楚，这是做对题的前提；其次良好的空间想象能力是做对题的保证.

3.你想到画直观图了吗？

例5（2013新课标Ⅱ（理7））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为 （）.

2013年高考中的一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的立体几何创新题频频出现，它们充当着“把关题”的重要角色，具有很好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，值得认真研究.下面精选几例创新题加以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

1.你能想到直观图吗？

图1

例1（2013福建（理12））已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图1所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 .

分析本题的三视图简单，大家都熟悉.问的是球的表面积，三视图里球的直观图肯定是圆了，但问题是里面的正方形的顶点为什么不在圆上？但反过来认真一想，正视图、侧视图、俯视图均如图所示的几何体也只能是球里面内接一个正方体了，但…….最后再想一想球里面内接一个正方体的三视图就是这样子，不能在圆上啊！三视图里圆实际上是球的一个大圆，相当于经过球心的一个竖截面.只要思想上想通了，计算一般都不存在什么问题，正方体棱长为2，体对角线为23，球的半径为3，表面积为12π.

反思本题是一道难得的好题，大家感觉很熟悉，但题目设计巧妙，抓住学生的认知缺陷与思维定势，大部分学生想像不出直观图.深层的考查了学生的空间想象能力，再一次诠释了高考是以能力立意全面考查学生的数学素养.

图2

例2（2013新课标Ⅰ（理8））某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ）.

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

分析这道题看着熟悉、常规.但大部分学生都想不到主视图为半圆，侧视图为矩形的几何体是个什么几何体.是个半球？不是.不怕你做不到，就怕你想不到.题易，我易，他易，不大意；题难，我难，他难，不畏难.再仔细想一想，这个几何体的下部分是一个放倒的半圆柱，上部分里边是长方体，前面没有东西.

解V=12s1·h1+s2h2=12×π×4×4+2×2×4=8π+16；故答案为A.

反思所谓空间想象能力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力.本题的难点是主视图为半圆，侧、俯视图均为长方形的几何体为放倒的半圆柱，设计匠心独运，很好的考查了学生的空间想象能力.

图3

例3（2013湖北卷（理8））一个几何体的三视图如图3所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）.

A.V1

C.V2

分析本题的几何体是四个简单的几何体组合而成，上面两个均为旋转体，下面两个均为多面体，故上面两个分别是圆台和圆柱，下面两个是棱柱和棱台，其中圆台的下底面为圆柱的上底面，圆柱的下底面与棱柱的上底面相内切.棱柱的下底面为棱台的上底面.

解V1=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4π+4π×π+π）×1=73π；V2=π×2=2π；

V3=4×2=8；V4=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4+4×16+16）×1=283；

∵2π<73π<8<283，

∴V2

故答案为C.

反思题目粗一看好像有点复杂，实际则未然.切记题目未读懂或一知半解就做题，一遍未读懂，可以读两遍，两遍未读懂，可以读三遍，直到读懂为止.本题一定要注意到上面两个为旋转体，下面两个为多面体.题目设计看似复杂，只要胆大冷静，细心认真，问题就会迎刃而解.

2.垂足新记法，你能反应过来吗？

例4（2013浙江（理10））在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）.设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）] ，恒有PQ1=PQ2，则（ ）.

A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

分析因为B=fπ（A）表示在空间中过点A作平面π的垂线，垂足为B.所以Q1=fβ[fα（P）]就应表示经过空间任意一点P作平面α的垂线，垂足不妨设为E，经过E再向平面β作垂线，垂足为Q1.同理，Q2=fα[fβ（P）]就应表示经过空间任意一点P作平面β的垂线，垂足不妨设为F，经过F再向平面α作垂线，垂足为Q2.因为点P是空间任意一点，都要有PQ1=PQ2，所以只能是平面α与平面β垂直.故答案为A.

反思本题过点作面的垂线，垂足为另一点，出现了一种新记法.首先要对新记法认识到位，理解清楚，这是做对题的前提；其次良好的空间想象能力是做对题的保证.

3.你想到画直观图了吗？

例5（2013新课标Ⅱ（理7））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为 （）.

2013年高考中的一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的立体几何创新题频频出现，它们充当着“把关题”的重要角色，具有很好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，值得认真研究.下面精选几例创新题加以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

1.你能想到直观图吗？

图1

例1（2013福建（理12））已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图1所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 .

分析本题的三视图简单，大家都熟悉.问的是球的表面积，三视图里球的直观图肯定是圆了，但问题是里面的正方形的顶点为什么不在圆上？但反过来认真一想，正视图、侧视图、俯视图均如图所示的几何体也只能是球里面内接一个正方体了，但…….最后再想一想球里面内接一个正方体的三视图就是这样子，不能在圆上啊！三视图里圆实际上是球的一个大圆，相当于经过球心的一个竖截面.只要思想上想通了，计算一般都不存在什么问题，正方体棱长为2，体对角线为23，球的半径为3，表面积为12π.

反思本题是一道难得的好题，大家感觉很熟悉，但题目设计巧妙，抓住学生的认知缺陷与思维定势，大部分学生想像不出直观图.深层的考查了学生的空间想象能力，再一次诠释了高考是以能力立意全面考查学生的数学素养.

图2

例2（2013新课标Ⅰ（理8））某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ）.

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

分析这道题看着熟悉、常规.但大部分学生都想不到主视图为半圆，侧视图为矩形的几何体是个什么几何体.是个半球？不是.不怕你做不到，就怕你想不到.题易，我易，他易，不大意；题难，我难，他难，不畏难.再仔细想一想，这个几何体的下部分是一个放倒的半圆柱，上部分里边是长方体，前面没有东西.

解V=12s1·h1+s2h2=12×π×4×4+2×2×4=8π+16；故答案为A.

反思所谓空间想象能力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力.本题的难点是主视图为半圆，侧、俯视图均为长方形的几何体为放倒的半圆柱，设计匠心独运，很好的考查了学生的空间想象能力.

图3

例3（2013湖北卷（理8））一个几何体的三视图如图3所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）.

A.V1

C.V2

分析本题的几何体是四个简单的几何体组合而成，上面两个均为旋转体，下面两个均为多面体，故上面两个分别是圆台和圆柱，下面两个是棱柱和棱台，其中圆台的下底面为圆柱的上底面，圆柱的下底面与棱柱的上底面相内切.棱柱的下底面为棱台的上底面.

解V1=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4π+4π×π+π）×1=73π；V2=π×2=2π；

V3=4×2=8；V4=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4+4×16+16）×1=283；

∵2π<73π<8<283，

∴V2

故答案为C.

反思题目粗一看好像有点复杂，实际则未然.切记题目未读懂或一知半解就做题，一遍未读懂，可以读两遍，两遍未读懂，可以读三遍，直到读懂为止.本题一定要注意到上面两个为旋转体，下面两个为多面体.题目设计看似复杂，只要胆大冷静，细心认真，问题就会迎刃而解.

2.垂足新记法，你能反应过来吗？

例4（2013浙江（理10））在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）.设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）] ，恒有PQ1=PQ2，则（ ）.

A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

分析因为B=fπ（A）表示在空间中过点A作平面π的垂线，垂足为B.所以Q1=fβ[fα（P）]就应表示经过空间任意一点P作平面α的垂线，垂足不妨设为E，经过E再向平面β作垂线，垂足为Q1.同理，Q2=fα[fβ（P）]就应表示经过空间任意一点P作平面β的垂线，垂足不妨设为F，经过F再向平面α作垂线，垂足为Q2.因为点P是空间任意一点，都要有PQ1=PQ2，所以只能是平面α与平面β垂直.故答案为A.

反思本题过点作面的垂线，垂足为另一点，出现了一种新记法.首先要对新记法认识到位，理解清楚，这是做对题的前提；其次良好的空间想象能力是做对题的保证.

3.你想到画直观图了吗？

例5（2013新课标Ⅱ（理7））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为 （）.