浅谈在分数混合运算的解决问题教学中如何解决“单位1”

赵永恒

【摘 要】分数混合运算的解决问题是小学高年级数学教学内容的重点教学内容。

【关键词】已知乘未知除；多加少减；量率对应

在西师版六年级数学的分数混合运算的解决问题教学中，找单位“1”这类型的题目是学生常遇到的难点问题，教会学生如何正确解答这类题就显得十分重要。只有在教学中引导学生找准单位“1”，相关的问题就会迎刃而解。解答时一定要读准题目的关键词或关键句，找准单位“1”，然后根据题意，采用“已知乘未知除，多加少减，量率对应”，有关单位“1”的解决问题，就会轻松应对。笔者认为可以从以下几方面进行具体教学：

一、怎么找准单位“1”

1.抓“关键词”

分数应用题常常出现一些比较熟悉的关键词，如“是”、“比”、“占”、“相当于”……一般这些关键词后面的数量就是单位“1”的量，这样学生就可以抓住这些关键词很快找出单位“1”。

例如，甲是乙的3/4。在这关键句中，很明显是以乙为标准，甲和乙相比较，也就是说乙是单位“1”。

又如，数学书的数量相当于英语书的数量5/2倍。那么“相当于”后面的“英语书的数量”就是标准量，也就是单位“1”。

男老师占女老师的八分之三，女老师是单位 “1”。三好学生是全班学生的八分之一，全班学生是单位“1”。

再如，六年级学生比五年级学生多 1/3，五年级学生是单位“1”。

2.理解局部和整体的关系

所有的分数应用题都有关键词吗？并不是这样，这时没有关键词怎么办呢？在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量。而总数则作为标准量，也就是单位“1”。

例如，小张家有30千克面粉，吃了2/7，吃了多少千克？很容易看出，小张家面粉的“总面粉的重量”是总数，“吃掉的面粉量”是部分数，所以30千克面粉就是单位“1”。由此可看出解答这类分数应用题时，如果我们找准部分数和总数，那么很容易确定单位“1”了。

3.对关键句理解消化，找出原来的量

如果我们遇到既没关键词，又没总数作为单位“1”，这个时候又怎么办呢？这类分数应用题的单位“1”也不难找，只要找出关键句，理解关键句解题就好办了。

例如，水结成冰后体积增加了1/11，冰融化成水后，体积减少了1/10。像这样的水和冰两种数量到底谁作为单位“1”？两句关键句的单位“1”是不是相同呢？用上面讲过的两种方法不容易找出单位“1”。其实我们只要看，原来的数量是谁？这个原来的数量就是单位“1”！例如水结成冰，原来的数量就是水，那么水的体积就是单位“1”；冰融化成水，原来的数量是冰，所以冰的体积就是单位“1”。

二、对单位“1”的巧用

1.已知乘未知除

找准单位“1”后，看看单位“1”所代表的数量，已知还是未知。单位“1”所代表的数量已知就用乘法，单位“1”所代表的数量未知，就用除法。都是数量在前，分数或百分数在后。

例如，

（1）桃树是苹果树的1/3，桃树有90棵，苹果树有多少棵？

（2）桃树是苹果树的1/3，苹果树有90棵，桃树有多少棵？

这两道题中，非常明显，单位“1”都 是苹果树，而（1）题中的单位“1” 苹果树未知，所以就用90除以1/3得270棵；而（2）题中的单位“1” 苹果树已知，所以就用90乘以1/3得30棵。

2.多加少减

找准单位“1”后，比单位“1”所代表的数量多就用1加多的分数或百分数； 比单位“1”所代表的数量少就用1减少的分数或百分数；再用“已知乘未知除”的妙法，就能轻而易举的解决这类问题。

例如，

（1）荣昌县大建中心校六年级同学开展摘瓜社会实践活动，共摘了南瓜600个，摘的冬瓜比南瓜多1/3，这次活动共摘冬瓜多少个？

（2）荣昌县大建中心校六年级同学开展摘瓜社会实践活动，共摘了南瓜600个，摘的冬瓜比南瓜少1/3，这次活动共摘冬瓜多少个？

（3）荣昌县大建中心校六年级同学开展摘瓜社会实践活动，共摘了南瓜600个，摘的南瓜比冬瓜多1/3，这次活动共摘冬瓜多少个？

（4）荣昌县大建中心校六年级同学开展摘瓜社会实践活动，共摘了南瓜600个，摘的南瓜比冬瓜少1/3，这次活动共摘冬瓜多少个？

对于这四道题，（1）题“多1/3”就是“1加1/3”， 南瓜是单位“1”， 已知，用乘法，所以列式为：600×（1+1/3）；（2）题“少1/3”就是“1减1/3”， 南瓜是单位“1”， 已知，用乘法，所以列式为：600×（1-1/3）；（3）题“多1/3”就是“1加1/3”， 冬瓜是单位“1”， 未知，用除法，所以列式为：600 ÷（1+1/3）； （4）题“少1/3”就是“1减1/3”， 冬瓜是单位“1”，未知，用除法，所以列式为：600 ÷（1-1/3）。

妙法一、二结合，问题就是这样简单。

3.量率对应

学生在解答复杂的分数应用题时，常因量率不对应而导致出错。我们所说的“量率对应”，就是在部分数和总数的关系中，部分数的数量，一定要与表示部分数的分数相对应。然后，用数量初一分率，就可以了，这就是量率对应原则。运用这个原则，解题思路非常清晰，解题方法非常简便，学生非常容易理解、掌握。

例如，

（1）一桶油，用去它的3/5，用去了18千克，这桶油重多少千克？

这里的单位“1”是一桶油，用去的部分用分数表示是3/5，用数量表示是18千克，它们是表示对应的相同的一部分，将就用“量”除以“率”。列式：18÷3/5=30（千克）。

（2）六年级二班参加兴趣小组的人数占全班人数的40%，有30名同学没有参加，开学后又有18名同学参加了兴趣小组，现在参加兴趣小组的人数占全班的百分之几？endprint

题中告诉我们原来参加兴趣小组的人数占全班人数的40%，而30人没有参加，由此我们就可以求出原来没有参加兴趣小组人数占全班的（1-40%），根据已知的量和对应的分率，那就可以求出全班人数，我们迎来了“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的喜人结果，那问题的解决就轻而易举了。其实，本题的突破口还是围绕着求总人数来展开的，那我们就要能注重量与对应分率的探求。

解答：30÷（1-40%）

=50（人） ……全班人数

50-30+18=38（人） ……现在参加兴趣小组人数

38÷50=76%

答：现在参加兴趣小组的人数占全班的76%。

有一袋面粉，第一周吃了60%，第二周吃了15千克，还剩9千克，这袋面粉原重多少千克？

这里的单位“1”是一袋面粉的整体。60%这个“率”，既不与“15千克”对应，也不与“9千克”对应，更不与它们的和对应。只能找“15千克”与“9千克”的和相对应的“率”，

就是单位“1”减去吃了的60%。根据“量率对应”原则，列式应该是：（15+9）÷（1-60%）=60（千克）

4.工程问题

在工作总量不是具体数量的问题中，常常把工作总量看作单位“1”，用单位“1”除以完成全部工作的时间，表示工作效率。紧紧抓住工作时间、工作效率、工作总量之间的关系来解题，既方便又准确。

例如：（1）一批零件，王师傅做要20天，徒弟做要30天，师徒合做要多少天？

这里是把工作总量“做一批零件”看作单位“1”， 王师傅的工作效率就是1/20，徒弟的工作效率就是1/30，效率和就是1/20+1/30。根据“工作总量÷工作效率=工作时间”，列式应为：1÷（1/20+1/30）=12（天）

又比如：（2）一条公路，甲工程队单独修，需要8天完成；乙工程队单独修需要12天完成，两队合修4天后，剩下的任务由甲工程队单独修，还要几天完成？

这里是把工作总量“修一条公路”看作单位“1”， 甲的工作效率就是1/8，乙的工作效率就是1/12，效率和就是1/8+1/12，但是剩下的工作量已经不是单位“1”全部，而是剩下的部分，1-4×（1/8+1/12），故列式为：[1-4×（1/8+1/12）]÷1/8=4/3（天）

分数混合运算解决问题种类繁多，正确找准单位“1”，是解答分数（百分数）应用题的关键，从关键句中找准单位“1”问题就解决了一半，我觉得除了从以上这些方面进行考虑外，还要对各类题型进行强化训练，做到具体问题具体分析，让学生真正理解掌握。

参考文献：

[1]华东师范大学出版社《可以这样教数学》

[2]人民教育出版社《数学新课程标准》endprint