正交异性钢桥肋—桥面板焊缝裂纹的三维断裂力学分析

张高楠+石广玉+王晓丹

摘要： 正交异性钢桥的肋桥面板焊缝处的疲劳裂纹是典型的三维裂纹问题，但是现在普遍采用平面应变二维裂纹模型对其进行断裂力学分析.基于SchwartzNeuman交替法建立正交异性钢桥肋桥面板焊缝裂纹的局部三维断裂力学分析模型；评估焊缝处表面裂纹的形状和深度对应力强度因子的影响；采用Paris公式估算等应力幅下焊缝的疲劳寿命.计算结果表明：用平面应变二维裂纹模型进行正交异性钢桥的肋面板焊缝的断裂力学分析会严重低估其疲劳寿命；采用三维断裂力学模型进行肋桥面板焊缝裂纹的疲劳寿命分析十分必要.

关键词： 正交异性钢桥； 肋桥面板焊缝； 疲劳裂纹； SchwartzNeuman交替法； 应力强度因子

中图分类号： TU391；TB115.1文献标志码： B

0引言

正交异性钢桥的桥面板、纵肋和横梁都是通过焊接技术连接的.当每一辆车驶过时，桥面都会产生数次应力循环，焊接部位的残余应力和某些难以避免的焊缝缺陷使焊接部位容易产生疲劳裂纹.在车辆移动载荷激励作用下，焊缝裂纹的扩展将导致桥面板结构破坏.[13]已有学者[45]基于断裂力学方法对钢桥焊缝裂纹进行疲劳寿命评估，但大多是将纵肋和桥面板焊缝裂纹简化为二维平面裂纹进行分析，与实际情况有很大的差异.本文提出基于SchwartzNeuman交替法的三维断裂力学模型[6]分析方法，进行正交异性钢桥的纵肋桥面板焊缝裂纹的应力强度因子的计算.通过与二维裂纹分析结果进行对比，证明使用三维断裂断力学分析模型的必要性.

1三维断裂力学模型

在正交异性钢桥面板的众多焊缝裂纹中，肋桥面板最危险焊缝裂纹见图1.

图 1正交异性钢桥焊缝裂纹及其三维模型

Fig.1Crack at ribdeck weld joint of orthotropic

steel bridge and its 3D model

已有学者[45]采用断裂力学方法对其进行疲劳分析.KISS等[4]提出2步分析方法：首先，建立包含数个横梁和纵肋的桥面板结构有限元模型进行车辆载荷作用下的应力分析；然后，以该应力分析结果为基础，建立含有裂纹的焊接部位局部模型进行断裂力学和疲劳分析.在传统的有限元疲劳分析时，在局部模型中需要对裂纹附近进行十分密集的网格划分.为得到可实际计算的断裂力学模型，将图1所示的三维裂纹模拟简化为二维平面应变裂纹模型，见图2.[45]这种二维裂纹模型意味着纵肋桥面板裂纹贯穿于2个横梁之间.在工程实际问题中，纵肋桥面板焊缝裂纹沿着桥面板的纵向和厚度方向同时逐步扩展.所以，将肋桥面板焊缝裂纹处理成贯穿于2个横梁之间、只考虑其沿桥面板厚度方向扩展不合理.本文基于SchwartzNeuman交替法[6]，建立如图1所示的三维局部断裂力学模型.考虑到裂纹产生初期在桥面板长度方向和高度方向都比较短，在三维局部断裂力学模型中将纵肋桥面板焊缝裂纹处理成半椭圆形的表面裂纹，计算应力强度因子，评估焊缝处表面裂纹的形状和深度对应力强度因子的影响.

图 2正交异性钢桥肋桥面焊缝处的二维裂纹模型

Fig.22D crack model for ribdeck weld joint of

orthotropic steel bridge

计算结果表明，用平面应变二维裂纹进行正交异性钢桥的肋桥面板焊缝的断裂力学分析导致严重地低估肋桥面板焊缝的疲劳寿命.因此，采用三维断裂力学模型进行正交异性钢桥肋桥面板焊缝裂纹的断裂力学分析十分必要.

2SchwartzNeuman交替法

基于SchwartzNeuman 交替法，HAN等[6]提出求解三维裂纹问题的有限元和对称伽辽金边界元交替法.该方法中有限元用来进行无裂纹连续体的应力分析，对称伽辽金边界元用来进行类似于含裂纹的无限大物体的应力分析，断裂力学问题的解通过有限元解与边界元解的交替和迭代求得，见图3.数值结果表明，该有限元和边界元的交替方法不仅计算效率高，而且计算结果也十分精确.

图 3裂纹处的局部有限元模型和边界元模型

Fig.3Local finite element model and boundary

element model of crack

在线弹性断裂力学分析中，应力强度因子KI，KII，KIII和等效应力强度因子Keq可以由裂纹尖端附近的位移渐近线获得，即KI=E（1-ν2） u142r/π（1）

KII=E（1-ν2） u242r/π（2）

KIII=E（1-ν2） u342r/π（3）

Keq=4K4I+6K2IK2II+K4II+1（1-ν）K4III（4）式中：E为材料弹性模量；ν为泊松比；r为点到裂纹尖端的距离；u1，u2和u3分别为的裂纹尖端局部坐标系中点到裂纹尖端的位移（见图4），可以运用外推法获得.

图 4裂纹尖端坐标

Fig.4Coordinates at crack tip

基于有限元和对称伽辽金边界元交替法的三维裂纹分析已得到很多应用.[6]

3正交异性钢桥纵肋桥面板焊缝裂纹的三维断裂力学分析在移动车辆载荷作用下，正交异性钢桥面板结构的焊接部位很容易产生疲劳裂纹.其中，XIAO等[5]发现，U型肋桥面板焊缝是最危险的焊接部位.本文对正交异性钢桥的纵肋桥面板焊缝进行三维断裂力学分析.

3.1车辆载荷下的疲劳应力分析模型

根据文献[5]中的正交异性钢桥面板数据，建立包含5个U型肋、4个横梁的正交异性钢桥面板应力分析有限元模型，见图5.

图 5正交异性钢桥面板的疲劳应力分析有限元模型endprint

Fig.5Finite element model for fatigue stress analysis on

orthotropic steel bridge deck

在疲劳设计中车轮载荷采用载荷位于纵肋与面板连接处的加载方式，见图6.不同车轮加载位置时U型肋桥面板焊接处沿桥面板纵向的应力变化曲线见图7，可知，肋桥面板焊接处所承受的是以压应力为主的拉压循环载荷.其中当车轮载荷位于两横梁中间时，与加载位置纵向相距±0.45 mm处的肋桥面板焊接部位承受最大拉应力.文献[7]中指出，肋桥面板焊缝裂纹处的拉应力是裂纹扩展的驱动力.在ANSYS整体分析结果中提取最大拉应力部位的局部应力信息.

a）位于纵肋上

b）位于两肋之间

c）位于纵肋与面板连接处

图 6车轮加载方式

Fig.6Loading of wheel

图 7不同加载工况下U型肋桥面板焊缝处的应力分布

Fig.7Stress distribution at crack of U type ribdeck weld joint under different loading conditions

3.2整体模型基础上的局部三维断裂力学模型

运用Patran建立如图3所示的不包含裂纹的肋桥面板焊缝的局部三维有限元模型和长短轴之比为3∶2的不同深度的半椭圆形边界元模型.在整体应力分析模型中找到纵向肋桥面板焊缝最危险部位的应力状态，然后将这个应力状态作为载荷施加到局部三维有限元模型上.运用MSC Nastran对其进行分析以检验计算模型的可分析性，检验结果见图8.

图 8局部三维有限元模型的应力分析

Fig.8Stress analysis on local 3D finite element model

肋桥面板焊缝处局部模型的应力状态依赖于焊缝裂纹的状态.当裂纹深度扩展到接近桥面板的中层面以后，之前在局部模型中施加的应力状态不再适用，所以需要重新进行整体应力分析，寻找局部模型的加载条件.为简化操作，只考虑较浅的焊缝表面裂纹.采用第2节所述的方法，使用图7中的拉应力计算半椭圆形表面裂纹的裂纹尖端的应力强度因子.图9给出肋桥面板焊缝处长短轴之比为3∶2的半椭圆形表面裂纹，其深度分别为1.0，1.5，2.0，2.5和3.0 mm的应力强度因子.结果显示：裂纹尖端应力强度因子随着裂纹深度的增加而增加.

图 9裂纹尖端应力强度因子随裂纹深度的变化

Fig.9Variation of stress intensity factor of crack tip

against crack depth

由于在基于SchwartzNeuman交替法的三维有限元模型中没有包含裂纹，所以可以用较稀疏的单元网格，从而极大地提高计算效率.并且，运用同一个三维有限元模型和不同的边界元裂纹模型的输出文件进行叠加计算，可以计算出同一有限元模型中不同裂纹尖端的应力强度因子，三维有限元模型的重复使用性在很大程度上减少数值分析所需的时间.同时，运用三维裂纹模型进行模拟，与实际情况更一致，得到的结果更加准确.

当裂纹深度为1.0 mm时，半椭圆裂纹沿椭圆边界的节点上应力强度因子分布见图10.此时，裂纹尖端，即裂纹最深处的应力强度因子较大，裂纹更趋向于向桥面板的厚度方向扩展.

图 101 mm裂纹沿半椭圆边的应力强度因子

Fig.10Stress intensity factor along semielliptic

boundary of 1 mm crack

焊缝处裂纹的几何特征对裂纹尖端的应力强度因子有很大影响.三维断裂力学模型给出的表面裂纹的深度为2.0 mm，但长轴分别为4，5，6，7 和8 mm的不同半椭圆裂纹的裂纹尖端应力强度因子见图11，可知：对于相同深度的裂纹，裂纹尖端应力强度因子随着裂纹长度的增加而增加.显然，这是二维平面应变模型无法得到的.ANSYS平面应变二维断裂力学模型给出的深度为2.0 mm的肋桥面板焊缝裂纹的分析结果见图12.在相同的载荷条件下，二维断裂力学模型得到的裂纹尖端应力强度因子为1.7 MPa·m12.

图 11半椭圆表面裂纹尖端的应力强度因子随裂纹

长轴的变化

Fig.11Variation of stress intensity factor of semielliptic surface crack tip against long axis of crack

图 12ANSYS中的平面应变二维裂纹模型

Fig.122D plane strain crack model in ANSYS

如前所述，肋桥面板焊缝裂纹的平面应变二维断裂力学模型说明裂纹沿桥面板方向为贯穿裂纹.基于SchwartzNeuman交替法的局部三维断裂力学模型给出深度为2.0 mm，长短轴之比为3∶2的类半椭圆形裂纹尖端应力强度因子为1.1 MPa·m12， SchwartzNeuman交替法二维断裂力学模型得到的深度为2.0 mm的贯穿裂纹的裂纹尖端应力强度因子为 1.42 MPa·m12.不同断裂力学模型得到的深度为2.0 mm肋桥面板焊缝表面裂纹的断裂力学分析结果汇总见表1，可知：把肋桥面板焊缝处的短裂纹简化成如图2所示的贯穿于2个横梁之间的平面应变二维模型得到的分析结果比三维裂纹模型的结果大很多.表 1不同模型给出的2.0 mm裂纹尖端应力强度因子

Tab.1Stress intensity factors of 2.0 mm crack tipendprint

given by different models裂纹三维半椭圆

表面裂纹贯穿裂纹ANSYS平面

应变二维裂纹Keq/（MPa·m12）1.161.421.70与三维半椭圆表面裂纹Keq比较增大22.4%增大46.5%疲劳寿命比较减小45.5%减小68.2%

4基于断裂力学的疲劳寿命预测

Paris公式是最常用的研究循环应力作用下裂纹扩展规律的经验公式[5]，其表达式为dadN=C（ΔK）m（5）式中：C和m为材料常数，m的取值范围为2～7.

式（5）表明，疲劳寿命随应力强度因子幅的增加而呈指数级增长.由式（5）可以得到裂纹的疲劳寿命为N=∫a cra0daC（ΔK）m（6）当以应力强度因子幅为变量时，式（6）需要用数值积分的方法进行计算.[8]若仅为比较应力强度因子幅对疲劳寿命的影响，可假设等效应力强度因子幅为常数，以便式（6）可以直接积分求解.不同断裂力学模型给出的裂纹深度为2.0 mm的疲劳寿命预测结果比较见表1的最后一行，其中式（6）中的m取值为2.75[5].由表1可知：由于疲劳寿命与应力强度因子幅的指数关系，应力强度因子幅的准确性在裂纹疲劳寿命预测中十分重要.但需要指出，Paris公式仅适用于以拉应力为主的循环应力，当循环应力以压应力为主时，应该使用相应的裂纹扩展公式.[710]

5结束语

基于SchwartzNeuman交替法进行正交异性钢桥肋与桥面板焊缝的三维断裂力学分析，计算肋桥面板焊缝处表面裂纹的形状和深度对应力强度因子的影响，并用Paris公式估算等应力幅下正交异性钢桥肋桥面板焊缝的疲劳寿命.当采用常规方法进行正交异性钢桥肋桥面板焊缝处的疲劳裂纹分析时，很多研究者把三维裂纹简化为二维平面应变问题建立可以进行数值计算的断裂力学分析模型.本文的计算结果表明，用平面应变二维裂纹进行正交异性钢桥的肋桥面板焊缝的断裂力学分析得到的应力强度因子过高，从而导致严重地低估肋桥面板焊缝的疲劳寿命.因此，为可靠和准确地进行疲劳寿命预测，必须采用三维断裂力学模型进行正交异性钢桥肋桥面板焊缝裂纹的断裂力学分析.参考文献：

[1]童乐为， 沈祖炎. 正交异性钢桥面板疲劳验算[J]. 土木工程学报， 2000， 33（3）： 1721.

TONG Lewei， SHEN Zuyan. Fatigue assessment of orthotropic steel bridge decks[J]. China Civil Eng J， 2000， 33（3）： 1721.

[2]FRICKE W. Fatigue analysis of welded joints： state of development[J]. Marine Structures， 2003， 16（3）： 185200.

[3]TSIATAS G， PALMQUIST S M. Fatigue evaluation of highway bridge[J]. Probabilistic Eng Mech， 1999（14）： 189194.

[4]KISS K， DUNAI K. Fracture mechanics based fatigue analysis of steel bridge decks by twolevel cracked models[J]. Comput & Structures， 2002， 80（2730）： 23212331.

[5]XIAO Z G， YAMADA K， YA S， et al. Stress analyses and fatigue evaluation of ribtodeck joints in steel orthotropic decks[J]. Int J Fatigue， 2008， 30（8）： 13871397.

[6]HAN Z D， ATLURI S N. SGBEM （for cracked local subdomain）FEM （for uncracked global structure） alternating method for analyzing 3D surface cracks and their fatiguegrowth[J]. Comput Modeling Eng & Sci， 2002（6）： 699716.

[7]SHI G， LI X， ZHANG G. Evaluation of stress intensity factor range in the prediction of fatigue crack growth at ribtodeck weld joints of orthotropic steel orthotropic steel decks[J]. Adv Mat Res， 2013（671674）： 969973.

[8]张高楠， 石广玉， 王晓丹. 正交异性钢桥面板焊缝的疲劳寿命评估方法[C]// 2012年中国计算力学大会论文集. 重庆， 2012.

[9]PATEL A B， PANDEY R K. Fatigue crack growth under mixed mode loading[J]. Fatigue & Fracture of Eng Mat & Structures， 1984， 4（1）： 6577.

[10]FORMAN R G， SHIVAKUMAR V， NEWMAN J C. Fatiguecrackgrowth computer program[DB/OL]. （19910401）[20130810]. http：//ntrs.nasa.gov/search.jsp？R=19910000164.

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given by different models裂纹三维半椭圆

表面裂纹贯穿裂纹ANSYS平面

应变二维裂纹Keq/（MPa·m12）1.161.421.70与三维半椭圆表面裂纹Keq比较增大22.4%增大46.5%疲劳寿命比较减小45.5%减小68.2%

4基于断裂力学的疲劳寿命预测

Paris公式是最常用的研究循环应力作用下裂纹扩展规律的经验公式[5]，其表达式为dadN=C（ΔK）m（5）式中：C和m为材料常数，m的取值范围为2～7.

式（5）表明，疲劳寿命随应力强度因子幅的增加而呈指数级增长.由式（5）可以得到裂纹的疲劳寿命为N=∫a cra0daC（ΔK）m（6）当以应力强度因子幅为变量时，式（6）需要用数值积分的方法进行计算.[8]若仅为比较应力强度因子幅对疲劳寿命的影响，可假设等效应力强度因子幅为常数，以便式（6）可以直接积分求解.不同断裂力学模型给出的裂纹深度为2.0 mm的疲劳寿命预测结果比较见表1的最后一行，其中式（6）中的m取值为2.75[5].由表1可知：由于疲劳寿命与应力强度因子幅的指数关系，应力强度因子幅的准确性在裂纹疲劳寿命预测中十分重要.但需要指出，Paris公式仅适用于以拉应力为主的循环应力，当循环应力以压应力为主时，应该使用相应的裂纹扩展公式.[710]

5结束语

基于SchwartzNeuman交替法进行正交异性钢桥肋与桥面板焊缝的三维断裂力学分析，计算肋桥面板焊缝处表面裂纹的形状和深度对应力强度因子的影响，并用Paris公式估算等应力幅下正交异性钢桥肋桥面板焊缝的疲劳寿命.当采用常规方法进行正交异性钢桥肋桥面板焊缝处的疲劳裂纹分析时，很多研究者把三维裂纹简化为二维平面应变问题建立可以进行数值计算的断裂力学分析模型.本文的计算结果表明，用平面应变二维裂纹进行正交异性钢桥的肋桥面板焊缝的断裂力学分析得到的应力强度因子过高，从而导致严重地低估肋桥面板焊缝的疲劳寿命.因此，为可靠和准确地进行疲劳寿命预测，必须采用三维断裂力学模型进行正交异性钢桥肋桥面板焊缝裂纹的断裂力学分析.参考文献：

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given by different models裂纹三维半椭圆

表面裂纹贯穿裂纹ANSYS平面

应变二维裂纹Keq/（MPa·m12）1.161.421.70与三维半椭圆表面裂纹Keq比较增大22.4%增大46.5%疲劳寿命比较减小45.5%减小68.2%

4基于断裂力学的疲劳寿命预测

Paris公式是最常用的研究循环应力作用下裂纹扩展规律的经验公式[5]，其表达式为dadN=C（ΔK）m（5）式中：C和m为材料常数，m的取值范围为2～7.

式（5）表明，疲劳寿命随应力强度因子幅的增加而呈指数级增长.由式（5）可以得到裂纹的疲劳寿命为N=∫a cra0daC（ΔK）m（6）当以应力强度因子幅为变量时，式（6）需要用数值积分的方法进行计算.[8]若仅为比较应力强度因子幅对疲劳寿命的影响，可假设等效应力强度因子幅为常数，以便式（6）可以直接积分求解.不同断裂力学模型给出的裂纹深度为2.0 mm的疲劳寿命预测结果比较见表1的最后一行，其中式（6）中的m取值为2.75[5].由表1可知：由于疲劳寿命与应力强度因子幅的指数关系，应力强度因子幅的准确性在裂纹疲劳寿命预测中十分重要.但需要指出，Paris公式仅适用于以拉应力为主的循环应力，当循环应力以压应力为主时，应该使用相应的裂纹扩展公式.[710]

5结束语

基于SchwartzNeuman交替法进行正交异性钢桥肋与桥面板焊缝的三维断裂力学分析，计算肋桥面板焊缝处表面裂纹的形状和深度对应力强度因子的影响，并用Paris公式估算等应力幅下正交异性钢桥肋桥面板焊缝的疲劳寿命.当采用常规方法进行正交异性钢桥肋桥面板焊缝处的疲劳裂纹分析时，很多研究者把三维裂纹简化为二维平面应变问题建立可以进行数值计算的断裂力学分析模型.本文的计算结果表明，用平面应变二维裂纹进行正交异性钢桥的肋桥面板焊缝的断裂力学分析得到的应力强度因子过高，从而导致严重地低估肋桥面板焊缝的疲劳寿命.因此，为可靠和准确地进行疲劳寿命预测，必须采用三维断裂力学模型进行正交异性钢桥肋桥面板焊缝裂纹的断裂力学分析.参考文献：

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[7]SHI G， LI X， ZHANG G. Evaluation of stress intensity factor range in the prediction of fatigue crack growth at ribtodeck weld joints of orthotropic steel orthotropic steel decks[J]. Adv Mat Res， 2013（671674）： 969973.

[8]张高楠， 石广玉， 王晓丹. 正交异性钢桥面板焊缝的疲劳寿命评估方法[C]// 2012年中国计算力学大会论文集. 重庆， 2012.

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[10]FORMAN R G， SHIVAKUMAR V， NEWMAN J C. Fatiguecrackgrowth computer program[DB/OL]. （19910401）[20130810]. http：//ntrs.nasa.gov/search.jsp？R=19910000164.

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