有关分形市场假说的理论认识

冯磊 赵守国

摘要：本文简要介绍了分形市场假说的理论背景，对比了有效市场假说和分形市场假说的区别与联系。在回顾了国内外对于分形市场假说的相关研究成果后，发现实证研究成果表明分形市场假说在全世界范围的各个资本市场内均成立。但目前为止还未有基于分形市场假说发展的资产定价工具。这也是未来进一步研究的重点。

关键词：有效市场假说;分形市场假说;资产定价

一、导言

在资本市场理论中，有效市场假说一直占据着主流地位。在此基础上，资产组合理论，资本资产定价模型，套利定价理论，BSM期权定价模型应运而生。可以说，有效市场假说是现代金融理论这座大厦的根基。但人们在长期实践中发现，这座大厦并不如想象中的那么稳固，2010年欧债危机、2008年美国次贷危机、2001年的网络股泡沫、1998年美国长期资本管理公司（LTCM）倒闭、1987年“黑色星期一”，这些层出不穷，大约10年一个周期的危机使现代金融这座大厦摇摇欲坠，也是人们对有效市场假说的正确性产生了怀疑。

有效市场假说的假定市场是无摩擦的、完全竞争的，投资者可以无障碍获取有关信息且所有投资者对某一证券价格具有相同的理性预期，并可无摩擦地调整自己持有的证券。在这些假定条件下，有效市场假说认为在一个有效的资本市场中资产的价格变化呈现出一种随机游走（Random Walk）的现象。在有效市场假说的理论框架下，证券的价格被认为是被简单的线性微分方程所驱动，价格处于布朗运动（随机游走）的状态。

有效市场假说假定市场理想的，是对现实复杂环境的理想化、线性化，这就导致有效市场假说的结论和现实情况并不能完全相符，存在一定的认识偏差。在有效市场假说诞生后，许多相关学者对其进行了实证研究，其结果表明有效市场假说并不能准确地描述出市场的特征，资产的价格变化并非是单纯的随机游走。而通过线性微分方程对复杂的市场进行柏拉图化也使有效市场假说对许多现象无法解释。

有效市场假说存在的种种问题使人们开始思考是否存在一种能更好地刻画出市场规律的新理论，在这个背景下，分形市场假说应运而生。

二、分形市场假说

相比有效市场假说，分形市场假说不对市场进行任何假定和理想化，而是着重强调了市场中流动性和不同类型投资者对市场中价格变化的作用。具体而言，分形市场假说的主要观点是：

1.资产价格变化呈现出有偏的随机游走（分形布朗运动）的状态

2.当各种不同类型的投资者共同存在于市场时，此时市场是稳定的

3.市场内的信息在短期内使资产价格变化呈现出技术性变化的现象。

4.若新信息使基本分析的根基——基础信息发生改变，依照基本分析进行投资的长期投资者在可能停止交易，或依照短期信息进行技术性交易

5.价格变化是技术分析和基本分析的相互影响共同作用的产物

6.若该资产与经济周期无关的话，则其价格变化就不会有长期趋势和周期性变化，流动性和短期信息将在资产价格的决定中占主导地位。

三、分析方法

在验证市场的分形特征时，主要采用R/S分析法。

R/S分析法，也称重标极差分析法，是由Hurst提出，用以判断时间序列是遵循随机游走或有偏随机游走的方法。

该方法具体操作如下：

对时间序列Xt（1.2.3…n），其均值为Xn=1n∑ni=1Xi，累计离差为Yn=∑ni=1（Xi-X）

定义时间序列的极差为其累计离差的最大值减去最小值：

Rn=maxi∈[1，n]

Yn-mini∈[1，n]

Yn

序列Xt（t=1.2.3…n）的标准差为

Sn=1n∑ni=1（Xi-X）2

则其重标极差为Qn=RnSn

Hurst对序列的重标极差建立了如下关系：

lnQn=lnc+Hlnn

其中c为常数，n为序列的观测值个数，H既为Hurst

指数。可以发现，利用OLS可对上述方程进行估计并得到Hurst指数。

Hurst指数具有如下的性质：

1.对于均值回复过程，其Hurst指数小于0.5。

2.对于白噪声（零均值，同有限方差，不相关）过程，其Hurst指数等于0.5。

3.对于有偏随机游走过程，其Hurst指数大于0.5。

由此，我们可以根据一个序列Hurst指数大小来判别该序列分别属于何类过程。

四、国外研究成果

最初提出分形理论的Mandelbrot在研究芝加哥期货交易所棉花的价格序列时发现棉花价格波动在一个交易日内十分剧烈。但他将日内交易价格曲线和每日收盘价格曲线进行对比后发现，两种曲线却又十分形似，这就是“分形”概念的提出。在此基础上，他建立了“分形几何学”，并提出资产价格变化可以用分形分布结构来描述，并解释了资本市场中存在的无法用有效市场假说分析的难题。

Mandelbrot（1968、1972、1975、1982）在研究股票价格的变化规律时发现相比有效市场假说中的正态分布假定，真实世界中股票价格序列呈现出典型的尖峰肥尾的特性，他进一步假定价格序列遵循一种有偏随机游走。

Peters（1991，1994，1999）从验证有效市场假说中资产价格变化的正态性假定入手，使用R/S分析法，得到了资产价格变化符合分形布朗运动的结果。其结论表明，美国、英国、德国和日本的金融市场均具有比较明显的分形特征，是一种非线性的动力系统。

在研究市场的分形特征时，常用R/S分析法进行研究，许多学者运用此方法对本国的金融市场进行了研究并得到了相关结论。Ding （1996）对美国标准普尔500指数的收益率序列进行分析，发现其存在长记忆特性。Forge（2000）研究了巴西股票市场，发现巴西股票市场价格的波动存在长期记忆性。Michael（2001）研究了澳大利亚股票市场，他发现澳大利亚股票市场有长记忆性，其周期分别是3年，6年和12年。Golake（2001）发现了印度股票市场中股票价格变化存在的长期相关性。Marco（2001）对全球的外汇市场进行了研究，发现不论是即期外汇市场还是远期外汇市场中汇价的变化均体现出长期相关性，故在理论上可以通过长记忆性预测未来汇价变化以确定出长期获利策略。Kim和Yoon （2003）发现韩元兑美元和日元兑美元的汇价序列也具有长期记忆性。

五、国内研究成果

徐龙炳和陆蓉（1999）对上证综合指数和深证成分指数的收盘指数序列进行了R/S分析。通过分析上证综指1990.12.19至1998.10.5的收盘指数和深证成指1991.4.3至1998.9.24的收盘指数，分别得到了沪深两市的Hurst指数。其中，沪市的Hurst指数为0.661，而深市的Hurst指数为0.643。并得出结论，上证综指的统计循环周期为大约195天，而深圳成指则无统计循环周期。沪深两市均存在着持续性的价格状态，波动呈现出集群性，指数收盘价所构成的时间序列是非线性的。

史永东（2000）利用R/S分析法对上证综合指数的周收盘指数数据进行分析，计算出上证综指周收盘指数序列的Hurst指数为0.697，统计循环周期为20周。

而叶中行和曹奕剑（2001）不仅对上证综指的分形特征进行分析，而且对沪市的5只个股也进行了R/S分析，发现不仅股票指数存在着分形特征，股票价格变动也不遵循随机游走的状态，这说明有效市场假说在股票指数层面和个股层面均不成立。

徐迪、吴世农（2002）将分析样本数据扩展到2001年，对上证综合指数日收盘指数进行了R/S分析，结论是沪市的Husrt指数为0.61，分形维是1.64，统计循环周期大约为350天。

韩国文、韩海波（2003）检验了上证综指每日收盘指数和深证成指每日收盘指数的正态性，计算出Hurst指数和非周期循环的天数，结果显示沪市的非周期循环为300天，而深市的非周期循环特征并不明显。

庄新田、庄新路、田莹（2003）相比以前的对于股票指数或股票价格的收盘价这一“绝对值”进行分析，他们转而对“波动率”这一相对值进行了R/S分析，其利用波动率（年化收益率的标准差）的时间序列对Hurst指数进行改进，并将其应用于对股票指数的研究。其结果表明： 沪深股指的收益率序列不服从随机游走，而利用改进后方法计算出的Hurst指数也大于0.5，说明沪深股市均是存在分形特征的市场。

黄治蓉（2004）通过对沪深股指收盘指数的尺度函数、广义Hurst指数和多重分形谱等分形特征进行分析，验证了分形市场假说在沪深市场均成立，且沪深市场均存在多重分形特征，并对其产生的原因进行了理论解释。

卢方元（2005）以沪深股指的收益率为样本。发现沪深股指的收益率序列不服从正态分布，其分布体现出典型的尖峰厚尾特征，且序列具有长期记忆性。沪市的波动性大于深市的波动性，沪市的杠杆效应大于深市的杠杆效应，多重分形结构在两市均存在。

陈永忠（2005）对上海综合指数和深圳成分指数的非线性特征进行了实证研究，通过对指数进行非线性判定、定量分析和分形分析，发现沪深两市股指的指数序列和收益率序列均存在非线性的特征，从而认为分形市场假说在我国股市成立。

李锬、齐中英和牛洪源（2005） 采用R/S分析方法研究期货市场价格的非线性特征。他们对日、周、月数据的研究发现，其Hurst指数均大于0.5，说明期货价格波动并不遵循随机游走，有效市场假说在期货市场也不成立。在期货市场中，每日收盘价格相比每周和每周收盘价格的波动率更大，而沪铜期货价格也存在着一个长度大约为510天的非周期循环。期货市场中价格波动也是非随机的，价格的变动体现出长期趋势性特征。

黄光晓和陈国进（2006）采用传统的R/S分析，以1993-2004年LME三月铜期货价格的日、周、月度收盘价数据为例，分析了期货市场存在的非线性特征。铜期货价格序列具有显著地分形特征，其Hurst指数为0.563，非周期性循环长度为200周。

康彬飞（2006）选取的上证综合指数和深圳成分指数的日收盘指数为1993年1月4日至2006年8月31日的，对其也进行了正态性检验和R/S分析，得到的结论和上述文章相似：沪深股指的变动并不服从正态分布，其分布特征呈现出尖峰厚尾的特征。但他得到两市的Hurst指数相比许多学者的研究结论较小，其分别为0.545和0.586，说明我国的证券市场具有一定的分形特征，但随着资本市场愈加完善，市场效率瑜伽提升，市场的分形特征有减弱的趋势。总体而言，股指的收益率服从长记忆性的有偏随机游走过程。

胡彦梅、张卫国、陈建忠（2006）分别分析了我国沪、深两市的日收益率序列和每日收盘价差序列，其结论显示在0.05的显著性水平下两市的日收益率序列无长记忆性，但每日价差序列具有较强的长记忆性，这和大部分学者的研究结论冲突。

苑莹，庄新田（2008）采用分形分布参数估计、盒维数以及多重分形分析等方法对我国沪铜期货价格时间序列进行了实证研究。发现沪铜期货价格不服从正态分布，价格之间存在长记忆性。

六、结论和展望

从上述文献中可以发现，针对分形市场理论的相关研究以实证研究为主，多数是采用R/S分析法及其改进方法分析某一资本市场是否符合分形市场的特征。从国内外的相关研究成果可以发现，所有的实证检验都支持分形市场假说成立，资本市场都有长记忆性，资产价格的波动也是有偏的。

相对实证研究的丰富和完善，有关分形市场假说的规范研究则稍显薄弱，特别是其理论成因和实际结果之间的联系并不紧密。从实证检验中也可以看出R/S分析法侧重于对市场中“分形”特征的检验，而对于造成“分形”市场的因素却没有相关的实证研究。

除了理论性稍显薄弱之外，分形市场假说也存在一定的应用缺陷。基于有效市场假说发展起来的资本资产定价模型、套利定价理论和期权定价模型已经形成了一套完整的理论体系和实践方法，对于资产定价方面的贡献相当巨大。而分形市场假说虽在理论性上更胜一筹，但目前仍没有基于此发展出来的资产定价工具，这是阻碍分形市场假说进一步发展的一大瓶颈，相信也将会是未来进一步发展的重点。

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