运用坐标法求解追及相遇问题
2015-01-12高国龙
高国龙
追及相遇问题在运动学中占有一定的比例。由于这类问题对分析综合能力和推理判断能力有相当高的要求，又能较好地体现高考以“能力立意”的命题思想，所以在历年、各地高考第一道计算题中不时出现。
一直以来，由于这类问题涉及两个研究对象，有能不能相遇、相遇几次、何时何地相遇等情况，使得问题看起来繁琐复杂，不少学生理不出头绪，无从下手，难以学好。笔者觉得运用坐标法求解追及相遇问题，教学效果很好，特写出来，供大家参考。
一、方法介绍
在物理学中，为了定量地描述质点的位置及位置的变化，需要建立适当的坐标系。
在匀变速直线运动中，我们常用以下三个基本公式解题：
x=v0t+12at2，v=v0+at，v2-v20=2ax。
若以t=0时质点所处位置为坐标原点，质点运动方向为横轴的正方向，则公式中的x指的就是质点在t时间内的位移。但当t=0时质点处在x0的位置时，则质点在t时刻的位置x应满足以下两个公式：
x=v0+v0t+12at2，v2-v20=2a（x-x0）。
这样，把x0，x作为坐标点看待，应用上面两个坐标公式研究和解决运动学问题的方法叫做坐标法。在研究匀变速直线运动，特别是同时研究多个质点的运动（如追及相遇问题），用坐标法显得很简单。
二、例题赏析
【例1】 甲、乙两车均沿同一平直公路同向行驶。初始时刻，甲车在乙车前方x0=75m处。甲车始终以v1=10m/s的速度匀速运动。乙车做初速度为零，加速度a=2m/s2的匀加速直线运动。求：
（1）乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离Δxm。
（2）经过多少时间t，乙车追上甲车？
解析：选取如图1所示的一维坐标系，初始时刻乙车的坐标为0，甲车的坐标为x0，经过时间t，甲、乙两车的坐标各为x甲和x乙，且满足关系式：
（2）乙车追上甲车的条件是：x甲=x乙 ④
联立①②④解得t=15s时，乙车追上甲车。
【例2】 如图2所示，A、B两物体同时抛出，A在离地高h处以速度v1水平抛出，B
在距离A L处
以速度v2竖直向上抛出，h、L为已知，不计空气阻力，求A、B在空中相遇的位置。
解析：选取如图2所示的平面直角坐标系，初始时刻A、B的坐标为（0，h）和（L，0）。经过时间t，A、B的坐标分别为A′（xA，xB）和B′（yA，yB），有
xA=v1t ①
yA=h-12gt2 ②
xB=L ③
yB=v2t-12gt2 ④
相遇的条件是：xA=xB ⑤
yA=yB ⑥
联立以上各式解得相遇位置的坐标x、y为：
x=L y=h-gL22v21
三、结束语
例1是追及问题，例2是相遇问题。运用坐标法求解，不仅将复杂的物理问题转化为学生容易接受的数学问题，而且把两物体的运动情况、位移关系直观、形象地表示出来，清楚明了，简单易懂，从而让学生快速解答。同时达到物理和数学的完美融合，彰显了数学的魅力。
（特约编辑 安 平）endprint
追及相遇问题在运动学中占有一定的比例。由于这类问题对分析综合能力和推理判断能力有相当高的要求，又能较好地体现高考以“能力立意”的命题思想，所以在历年、各地高考第一道计算题中不时出现。
一直以来，由于这类问题涉及两个研究对象，有能不能相遇、相遇几次、何时何地相遇等情况，使得问题看起来繁琐复杂，不少学生理不出头绪，无从下手，难以学好。笔者觉得运用坐标法求解追及相遇问题，教学效果很好，特写出来，供大家参考。
一、方法介绍
在物理学中，为了定量地描述质点的位置及位置的变化，需要建立适当的坐标系。
在匀变速直线运动中，我们常用以下三个基本公式解题：
x=v0t+12at2，v=v0+at，v2-v20=2ax。
若以t=0时质点所处位置为坐标原点，质点运动方向为横轴的正方向，则公式中的x指的就是质点在t时间内的位移。但当t=0时质点处在x0的位置时，则质点在t时刻的位置x应满足以下两个公式：
x=v0+v0t+12at2，v2-v20=2a（x-x0）。
这样，把x0，x作为坐标点看待，应用上面两个坐标公式研究和解决运动学问题的方法叫做坐标法。在研究匀变速直线运动，特别是同时研究多个质点的运动（如追及相遇问题），用坐标法显得很简单。
二、例题赏析
【例1】 甲、乙两车均沿同一平直公路同向行驶。初始时刻，甲车在乙车前方x0=75m处。甲车始终以v1=10m/s的速度匀速运动。乙车做初速度为零，加速度a=2m/s2的匀加速直线运动。求：
（1）乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离Δxm。
（2）经过多少时间t，乙车追上甲车？
解析：选取如图1所示的一维坐标系，初始时刻乙车的坐标为0，甲车的坐标为x0，经过时间t，甲、乙两车的坐标各为x甲和x乙，且满足关系式：
（2）乙车追上甲车的条件是：x甲=x乙 ④
联立①②④解得t=15s时，乙车追上甲车。
【例2】 如图2所示，A、B两物体同时抛出，A在离地高h处以速度v1水平抛出，B
在距离A L处
以速度v2竖直向上抛出，h、L为已知，不计空气阻力，求A、B在空中相遇的位置。
解析：选取如图2所示的平面直角坐标系，初始时刻A、B的坐标为（0，h）和（L，0）。经过时间t，A、B的坐标分别为A′（xA，xB）和B′（yA，yB），有
xA=v1t ①
yA=h-12gt2 ②
xB=L ③
yB=v2t-12gt2 ④
相遇的条件是：xA=xB ⑤
yA=yB ⑥
联立以上各式解得相遇位置的坐标x、y为：
x=L y=h-gL22v21
三、结束语
例1是追及问题，例2是相遇问题。运用坐标法求解，不仅将复杂的物理问题转化为学生容易接受的数学问题，而且把两物体的运动情况、位移关系直观、形象地表示出来，清楚明了，简单易懂，从而让学生快速解答。同时达到物理和数学的完美融合，彰显了数学的魅力。
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追及相遇问题在运动学中占有一定的比例。由于这类问题对分析综合能力和推理判断能力有相当高的要求，又能较好地体现高考以“能力立意”的命题思想，所以在历年、各地高考第一道计算题中不时出现。
一直以来，由于这类问题涉及两个研究对象，有能不能相遇、相遇几次、何时何地相遇等情况，使得问题看起来繁琐复杂，不少学生理不出头绪，无从下手，难以学好。笔者觉得运用坐标法求解追及相遇问题，教学效果很好，特写出来，供大家参考。
一、方法介绍
在物理学中，为了定量地描述质点的位置及位置的变化，需要建立适当的坐标系。
在匀变速直线运动中，我们常用以下三个基本公式解题：
x=v0t+12at2，v=v0+at，v2-v20=2ax。
若以t=0时质点所处位置为坐标原点，质点运动方向为横轴的正方向，则公式中的x指的就是质点在t时间内的位移。但当t=0时质点处在x0的位置时，则质点在t时刻的位置x应满足以下两个公式：
x=v0+v0t+12at2，v2-v20=2a（x-x0）。
这样，把x0，x作为坐标点看待，应用上面两个坐标公式研究和解决运动学问题的方法叫做坐标法。在研究匀变速直线运动，特别是同时研究多个质点的运动（如追及相遇问题），用坐标法显得很简单。
二、例题赏析
【例1】 甲、乙两车均沿同一平直公路同向行驶。初始时刻，甲车在乙车前方x0=75m处。甲车始终以v1=10m/s的速度匀速运动。乙车做初速度为零，加速度a=2m/s2的匀加速直线运动。求：
（1）乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离Δxm。
（2）经过多少时间t，乙车追上甲车？
解析：选取如图1所示的一维坐标系，初始时刻乙车的坐标为0，甲车的坐标为x0，经过时间t，甲、乙两车的坐标各为x甲和x乙，且满足关系式：
（2）乙车追上甲车的条件是：x甲=x乙 ④
联立①②④解得t=15s时，乙车追上甲车。
【例2】 如图2所示，A、B两物体同时抛出，A在离地高h处以速度v1水平抛出，B
在距离A L处
以速度v2竖直向上抛出，h、L为已知，不计空气阻力，求A、B在空中相遇的位置。
解析：选取如图2所示的平面直角坐标系，初始时刻A、B的坐标为（0，h）和（L，0）。经过时间t，A、B的坐标分别为A′（xA，xB）和B′（yA，yB），有
xA=v1t ①
yA=h-12gt2 ②
xB=L ③
yB=v2t-12gt2 ④
相遇的条件是：xA=xB ⑤
yA=yB ⑥
联立以上各式解得相遇位置的坐标x、y为：
x=L y=h-gL22v21
三、结束语
例1是追及问题，例2是相遇问题。运用坐标法求解，不仅将复杂的物理问题转化为学生容易接受的数学问题，而且把两物体的运动情况、位移关系直观、形象地表示出来，清楚明了，简单易懂，从而让学生快速解答。同时达到物理和数学的完美融合，彰显了数学的魅力。
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