运用几何画板对一道中考题进行探究与推广

吴舒昊

中考试题是初中知识的“大杂烩”，它涵盖了初中阶段所学的各种知识，是对学生的知识与能力的全面考查.纵观中考数学试题中的后几道大题，很多时候都需要综合运用各种知识，有时甚至还要用到一些特别的技巧，才能把题目解答出来.而2013年广东省广州市中考数学试题第24题就是综合考查圆、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等几何图形的相关知识，还涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等.它既考查了学生对知识的综合运用能力，也考查了学生对问题的分析、转化和推理能力.借助几何画板对这道题进行深入的探究，能进一步挖掘题目的内在本质，从中发现极富趣味的规律，再进一步进行推广，则能达到“举一反三”的效果.

一、原题及其解答思路

二、运用几何画板对原题进行探究

原题中，C点的运动限制在AB的延长线上，而且C点与B点不重合.现在，作者去掉这两个条件，改为：C点在AB所在的直线上运动.下面运用几何画板对题目进行深入的探究.虽然原题中C点在AB的延长线上运动，D点在圆O上运动，但是CD始终与圆的半径OA相等，即CD的长度一直保持不变，那么在几何画板中，可以画出以C点为圆心、CD为半径的圆，而D点则是圆C与圆O的交点；此时，D点的运动随C点的运动的变化而变化，但是保持CD的长度等于OA的长度，所以，这种做法并不偏离题目的本意.因为原题只是规

图4定D点在圆O上运动，并没有规定它一定是在直线AC的上方，那么从图4中可以看出，在直线AC的下方还有一个点D′，满足条件CD′=OA，这个点与D点关于直线AC对称.

1.C点在线段AB由A到B方向的延长线上

从题目的设问中，大家可以发现D点在运动过程中有三个关键位置：D点为圆O的切点、D点是CE的中点以及OD与EA平行.

（1）D点为圆O的切点.由原题中的第一小问可知：当OC=22时，CD是圆O的切线.如图4，由对称的性质得：CD′也是圆O的切线，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因为两个圆的半径相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，则四边形ODCD′为菱形.在菱形ODCD′中，因为∠OD′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一个正方形.

（2）D点是CE的中点.如图5，当D点是CE的中点时，DE=CD=OD=OE=OA，则

△OED

为等边三角形，△OEA、△DOC为等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，则△OEA为等腰直角三角形，△OEC为直角三角形.

根据对称的性质，D点关于直线AC的对称点D′也是CE′的中点，则EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一个等边三角形.

（3）OD与EA平行.如图6，当OD∥EA时，∠2=∠5，∠1=∠6.又因为OA=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC为等腰三角形，则有：∠1=∠2，∠6=∠7.由这四个等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因为∠5=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因为∠1=∠7，所以△EAD为等腰三角形.

2.C点线段OB上

若C点在线段OB上，此时，CD所在的直线与圆O的交点E在直线AC的下方（如图7所示）.特别地，当C点与B点重合时，CD所在的直线与圆O的交点为D点、E点.因为OD=CD，所以△DOC为等腰三角形.特别地，当C点与B点重合时，

△DOC为等边三角形.当C点与O点重合时，圆O和圆C重合.

3.C点在O点的左边

若C点在O点的左边，此时，根据对称的性质，当C点在线段OA上运动时，图形的变化与2中的情形相类似；当C点在线段AB由B到A方向的延长线上运动时，图形的变化与1中的情形相类似.

三、对原题进行推广，得出三个推论

原题中，圆O的半径为2，现在不考虑其半径的大小，题干中的其他条件保持不变，然后根据原题的设问由题目中的情形推广到一般情形.这样，可以推出以下三个结论.

1.D点为圆O、圆C的切点OC=2OA

如图4，当D点为圆O的切点时，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已证四边形ODCD′是一个正方形.正方形ODCD′中，OC为∠DOD′、∠DCD′的平分线，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，则△DOC、△D′OC为等腰直角三角形，OC=2OA.

当时OC=2OA，因为圆O和圆C的半径相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC为等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此时，CD、CD′为圆O的切线，OD、OD′为圆C的切线.所以，D点、D′点为圆O、圆C的切点.

2.D点为CE的中点OC=3OA

由前文可知：当D点为CE的中点时，△OEC为直角三角形.此时，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

.

3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：当OD∥EA时，△OED∽△CEO.根据相似三角形的性质，得：EOEC=EDEO，则EC·ED=EO2.

如图6，EC·ED=EO2可转化为EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此时，∠5=∠7.又因为△DOC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因为∠EOC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根据同位角相等，得OD∥AE.

参考文献

邓继雄.借“画板”'之手破中考压轴[J].中学数学，2013（8）.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

中考试题是初中知识的“大杂烩”，它涵盖了初中阶段所学的各种知识，是对学生的知识与能力的全面考查.纵观中考数学试题中的后几道大题，很多时候都需要综合运用各种知识，有时甚至还要用到一些特别的技巧，才能把题目解答出来.而2013年广东省广州市中考数学试题第24题就是综合考查圆、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等几何图形的相关知识，还涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等.它既考查了学生对知识的综合运用能力，也考查了学生对问题的分析、转化和推理能力.借助几何画板对这道题进行深入的探究，能进一步挖掘题目的内在本质，从中发现极富趣味的规律，再进一步进行推广，则能达到“举一反三”的效果.

一、原题及其解答思路

二、运用几何画板对原题进行探究

原题中，C点的运动限制在AB的延长线上，而且C点与B点不重合.现在，作者去掉这两个条件，改为：C点在AB所在的直线上运动.下面运用几何画板对题目进行深入的探究.虽然原题中C点在AB的延长线上运动，D点在圆O上运动，但是CD始终与圆的半径OA相等，即CD的长度一直保持不变，那么在几何画板中，可以画出以C点为圆心、CD为半径的圆，而D点则是圆C与圆O的交点；此时，D点的运动随C点的运动的变化而变化，但是保持CD的长度等于OA的长度，所以，这种做法并不偏离题目的本意.因为原题只是规

图4定D点在圆O上运动，并没有规定它一定是在直线AC的上方，那么从图4中可以看出，在直线AC的下方还有一个点D′，满足条件CD′=OA，这个点与D点关于直线AC对称.

1.C点在线段AB由A到B方向的延长线上

从题目的设问中，大家可以发现D点在运动过程中有三个关键位置：D点为圆O的切点、D点是CE的中点以及OD与EA平行.

（1）D点为圆O的切点.由原题中的第一小问可知：当OC=22时，CD是圆O的切线.如图4，由对称的性质得：CD′也是圆O的切线，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因为两个圆的半径相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，则四边形ODCD′为菱形.在菱形ODCD′中，因为∠OD′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一个正方形.

（2）D点是CE的中点.如图5，当D点是CE的中点时，DE=CD=OD=OE=OA，则

△OED

为等边三角形，△OEA、△DOC为等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，则△OEA为等腰直角三角形，△OEC为直角三角形.

根据对称的性质，D点关于直线AC的对称点D′也是CE′的中点，则EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一个等边三角形.

（3）OD与EA平行.如图6，当OD∥EA时，∠2=∠5，∠1=∠6.又因为OA=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC为等腰三角形，则有：∠1=∠2，∠6=∠7.由这四个等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因为∠5=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因为∠1=∠7，所以△EAD为等腰三角形.

2.C点线段OB上

若C点在线段OB上，此时，CD所在的直线与圆O的交点E在直线AC的下方（如图7所示）.特别地，当C点与B点重合时，CD所在的直线与圆O的交点为D点、E点.因为OD=CD，所以△DOC为等腰三角形.特别地，当C点与B点重合时，

△DOC为等边三角形.当C点与O点重合时，圆O和圆C重合.

3.C点在O点的左边

若C点在O点的左边，此时，根据对称的性质，当C点在线段OA上运动时，图形的变化与2中的情形相类似；当C点在线段AB由B到A方向的延长线上运动时，图形的变化与1中的情形相类似.

三、对原题进行推广，得出三个推论

原题中，圆O的半径为2，现在不考虑其半径的大小，题干中的其他条件保持不变，然后根据原题的设问由题目中的情形推广到一般情形.这样，可以推出以下三个结论.

1.D点为圆O、圆C的切点OC=2OA

如图4，当D点为圆O的切点时，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已证四边形ODCD′是一个正方形.正方形ODCD′中，OC为∠DOD′、∠DCD′的平分线，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，则△DOC、△D′OC为等腰直角三角形，OC=2OA.

当时OC=2OA，因为圆O和圆C的半径相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC为等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此时，CD、CD′为圆O的切线，OD、OD′为圆C的切线.所以，D点、D′点为圆O、圆C的切点.

2.D点为CE的中点OC=3OA

由前文可知：当D点为CE的中点时，△OEC为直角三角形.此时，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

.

3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：当OD∥EA时，△OED∽△CEO.根据相似三角形的性质，得：EOEC=EDEO，则EC·ED=EO2.

如图6，EC·ED=EO2可转化为EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此时，∠5=∠7.又因为△DOC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因为∠EOC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根据同位角相等，得OD∥AE.

参考文献

邓继雄.借“画板”'之手破中考压轴[J].中学数学，2013（8）.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

中考试题是初中知识的“大杂烩”，它涵盖了初中阶段所学的各种知识，是对学生的知识与能力的全面考查.纵观中考数学试题中的后几道大题，很多时候都需要综合运用各种知识，有时甚至还要用到一些特别的技巧，才能把题目解答出来.而2013年广东省广州市中考数学试题第24题就是综合考查圆、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等几何图形的相关知识，还涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等.它既考查了学生对知识的综合运用能力，也考查了学生对问题的分析、转化和推理能力.借助几何画板对这道题进行深入的探究，能进一步挖掘题目的内在本质，从中发现极富趣味的规律，再进一步进行推广，则能达到“举一反三”的效果.

一、原题及其解答思路

二、运用几何画板对原题进行探究

原题中，C点的运动限制在AB的延长线上，而且C点与B点不重合.现在，作者去掉这两个条件，改为：C点在AB所在的直线上运动.下面运用几何画板对题目进行深入的探究.虽然原题中C点在AB的延长线上运动，D点在圆O上运动，但是CD始终与圆的半径OA相等，即CD的长度一直保持不变，那么在几何画板中，可以画出以C点为圆心、CD为半径的圆，而D点则是圆C与圆O的交点；此时，D点的运动随C点的运动的变化而变化，但是保持CD的长度等于OA的长度，所以，这种做法并不偏离题目的本意.因为原题只是规

图4定D点在圆O上运动，并没有规定它一定是在直线AC的上方，那么从图4中可以看出，在直线AC的下方还有一个点D′，满足条件CD′=OA，这个点与D点关于直线AC对称.

1.C点在线段AB由A到B方向的延长线上

从题目的设问中，大家可以发现D点在运动过程中有三个关键位置：D点为圆O的切点、D点是CE的中点以及OD与EA平行.

（1）D点为圆O的切点.由原题中的第一小问可知：当OC=22时，CD是圆O的切线.如图4，由对称的性质得：CD′也是圆O的切线，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因为两个圆的半径相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，则四边形ODCD′为菱形.在菱形ODCD′中，因为∠OD′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一个正方形.

（2）D点是CE的中点.如图5，当D点是CE的中点时，DE=CD=OD=OE=OA，则

△OED

为等边三角形，△OEA、△DOC为等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，则△OEA为等腰直角三角形，△OEC为直角三角形.

根据对称的性质，D点关于直线AC的对称点D′也是CE′的中点，则EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一个等边三角形.

（3）OD与EA平行.如图6，当OD∥EA时，∠2=∠5，∠1=∠6.又因为OA=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC为等腰三角形，则有：∠1=∠2，∠6=∠7.由这四个等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因为∠5=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因为∠1=∠7，所以△EAD为等腰三角形.

2.C点线段OB上

若C点在线段OB上，此时，CD所在的直线与圆O的交点E在直线AC的下方（如图7所示）.特别地，当C点与B点重合时，CD所在的直线与圆O的交点为D点、E点.因为OD=CD，所以△DOC为等腰三角形.特别地，当C点与B点重合时，

△DOC为等边三角形.当C点与O点重合时，圆O和圆C重合.

3.C点在O点的左边

若C点在O点的左边，此时，根据对称的性质，当C点在线段OA上运动时，图形的变化与2中的情形相类似；当C点在线段AB由B到A方向的延长线上运动时，图形的变化与1中的情形相类似.

三、对原题进行推广，得出三个推论

原题中，圆O的半径为2，现在不考虑其半径的大小，题干中的其他条件保持不变，然后根据原题的设问由题目中的情形推广到一般情形.这样，可以推出以下三个结论.

1.D点为圆O、圆C的切点OC=2OA

如图4，当D点为圆O的切点时，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已证四边形ODCD′是一个正方形.正方形ODCD′中，OC为∠DOD′、∠DCD′的平分线，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，则△DOC、△D′OC为等腰直角三角形，OC=2OA.

当时OC=2OA，因为圆O和圆C的半径相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC为等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此时，CD、CD′为圆O的切线，OD、OD′为圆C的切线.所以，D点、D′点为圆O、圆C的切点.

2.D点为CE的中点OC=3OA

由前文可知：当D点为CE的中点时，△OEC为直角三角形.此时，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

.

3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：当OD∥EA时，△OED∽△CEO.根据相似三角形的性质，得：EOEC=EDEO，则EC·ED=EO2.

如图6，EC·ED=EO2可转化为EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此时，∠5=∠7.又因为△DOC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因为∠EOC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根据同位角相等，得OD∥AE.

参考文献

邓继雄.借“画板”'之手破中考压轴[J].中学数学，2013（8）.

（责任编辑 钟伟芳）endprint