提高高中数学解题教学有效性的探究

黄文生

解题教学是高中数学教学的中心工作，只有学生的解题效率提高了，学生的解题能力才能得到有效的提升，教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验，就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.

一、拓展学生的思维

1.求过两直线交点的直线方程

（1）归纳梳理

①求过两条直线的交点的直线方程时，一般是先通过解方程组，得到交点坐标，再结合其他条件，求出直线方程.

②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时，可利用直线系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.

4.运用解析法证明平面几何问题

（1）归纳梳理

用解析法解决平面几何问题时，关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个：①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条直线，那么要考虑将其建为坐标轴；如果图形具有中心对称性，那么可以考虑将图形中心建为原点；如果具有轴对称性，那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.

（2）典例精析

【例2】 如图1所示，已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，求证AM=12BC.

证明：以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.

二、注重学生能力迁移

“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移（一种学习对另一种学习的促进作用）和负迁移（一种学习对另一种学习的干扰作用）两种类型，我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中，解决新问题时所体现出的一种素质和能力，包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换，有利于学生认识事件的本质和规律，提高解决问题的灵活性和有效性.

【例3】 求过两直线l1：x=-2与l2：2x+y+3=0的交点P，且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.

分析：先根据题意求出交点坐标，再进行分类讨论；也可以利用直线系方程求解.

解法一：

由方程组x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交点P的坐标为（-2，1）.

根据题意知，当截距不等于0时，设所求直线l的方程为xa+yb=1，

根据题意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

当截距均为0时，设所求直线l的方程为y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直线l的方程为y=-12x，即x+2y=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

设所求直线的方程为x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

当3λ+2=0，即λ=-23时，

所求直线l的方程为

-13x-23y=0，即x+2y=0符合题意.

当3λ+2≠0，即λ≠-23时，

所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直线l的方程为x+y+1=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.

三、加强变式训练

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

【例4】 已知点A（a，-5）与B（0，10）间的距离是17，求a的值.

变式：已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三边长，比较三边长的大小即可.

证明：因为

又因为A，B，C三点不共线，

所以△ABC是等腰三角形.

总之，在高中数学教学中，我们广大数学教师必须认真学习新课标，深入研究新教材，并根据自己学生的特点，注意做好以上几个方面的教学工作，就一定能够实现提高解题教学有效性的目标，从而有效提高学生的数学素养.

（责任编辑 钟伟芳）

解题教学是高中数学教学的中心工作，只有学生的解题效率提高了，学生的解题能力才能得到有效的提升，教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验，就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.

一、拓展学生的思维

1.求过两直线交点的直线方程

（1）归纳梳理

①求过两条直线的交点的直线方程时，一般是先通过解方程组，得到交点坐标，再结合其他条件，求出直线方程.

②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时，可利用直线系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.

4.运用解析法证明平面几何问题

（1）归纳梳理

用解析法解决平面几何问题时，关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个：①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条直线，那么要考虑将其建为坐标轴；如果图形具有中心对称性，那么可以考虑将图形中心建为原点；如果具有轴对称性，那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.

（2）典例精析

【例2】 如图1所示，已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，求证AM=12BC.

证明：以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.

二、注重学生能力迁移

“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移（一种学习对另一种学习的促进作用）和负迁移（一种学习对另一种学习的干扰作用）两种类型，我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中，解决新问题时所体现出的一种素质和能力，包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换，有利于学生认识事件的本质和规律，提高解决问题的灵活性和有效性.

【例3】 求过两直线l1：x=-2与l2：2x+y+3=0的交点P，且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.

分析：先根据题意求出交点坐标，再进行分类讨论；也可以利用直线系方程求解.

解法一：

由方程组x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交点P的坐标为（-2，1）.

根据题意知，当截距不等于0时，设所求直线l的方程为xa+yb=1，

根据题意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

当截距均为0时，设所求直线l的方程为y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直线l的方程为y=-12x，即x+2y=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

设所求直线的方程为x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

当3λ+2=0，即λ=-23时，

所求直线l的方程为

-13x-23y=0，即x+2y=0符合题意.

当3λ+2≠0，即λ≠-23时，

所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直线l的方程为x+y+1=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.

三、加强变式训练

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

【例4】 已知点A（a，-5）与B（0，10）间的距离是17，求a的值.

变式：已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三边长，比较三边长的大小即可.

证明：因为

又因为A，B，C三点不共线，

所以△ABC是等腰三角形.

总之，在高中数学教学中，我们广大数学教师必须认真学习新课标，深入研究新教材，并根据自己学生的特点，注意做好以上几个方面的教学工作，就一定能够实现提高解题教学有效性的目标，从而有效提高学生的数学素养.

（责任编辑 钟伟芳）

解题教学是高中数学教学的中心工作，只有学生的解题效率提高了，学生的解题能力才能得到有效的提升，教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验，就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.

一、拓展学生的思维

1.求过两直线交点的直线方程

（1）归纳梳理

①求过两条直线的交点的直线方程时，一般是先通过解方程组，得到交点坐标，再结合其他条件，求出直线方程.

②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时，可利用直线系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.

4.运用解析法证明平面几何问题

（1）归纳梳理

用解析法解决平面几何问题时，关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个：①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条直线，那么要考虑将其建为坐标轴；如果图形具有中心对称性，那么可以考虑将图形中心建为原点；如果具有轴对称性，那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.

（2）典例精析

【例2】 如图1所示，已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，求证AM=12BC.

证明：以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.

二、注重学生能力迁移

“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移（一种学习对另一种学习的促进作用）和负迁移（一种学习对另一种学习的干扰作用）两种类型，我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中，解决新问题时所体现出的一种素质和能力，包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换，有利于学生认识事件的本质和规律，提高解决问题的灵活性和有效性.

【例3】 求过两直线l1：x=-2与l2：2x+y+3=0的交点P，且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.

分析：先根据题意求出交点坐标，再进行分类讨论；也可以利用直线系方程求解.

解法一：

由方程组x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交点P的坐标为（-2，1）.

根据题意知，当截距不等于0时，设所求直线l的方程为xa+yb=1，

根据题意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

当截距均为0时，设所求直线l的方程为y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直线l的方程为y=-12x，即x+2y=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

设所求直线的方程为x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

当3λ+2=0，即λ=-23时，

所求直线l的方程为

-13x-23y=0，即x+2y=0符合题意.

当3λ+2≠0，即λ≠-23时，

所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直线l的方程为x+y+1=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.

三、加强变式训练

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

【例4】 已知点A（a，-5）与B（0，10）间的距离是17，求a的值.

变式：已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三边长，比较三边长的大小即可.

证明：因为

又因为A，B，C三点不共线，

所以△ABC是等腰三角形.

总之，在高中数学教学中，我们广大数学教师必须认真学习新课标，深入研究新教材，并根据自己学生的特点，注意做好以上几个方面的教学工作，就一定能够实现提高解题教学有效性的目标，从而有效提高学生的数学素养.

（责任编辑 钟伟芳）