基于Vari-Metric的舰载机可修复件库存配置模型*

张 帅，滕克难，肖 飞，孙 媛

（海军航空工程学院，山东 烟台 264001）

基于Vari-Metric的舰载机可修复件库存配置模型*

张 帅，滕克难，肖 飞，孙 媛

（海军航空工程学院，山东 烟台 264001）

针对舰载机可修复备件配置问题，提出了基于Vari-Metric的多等级、多层级库存优化配置模型。首先，对舰载机保障过程进行分析；其次，进行可修复备件配置优化分析，根据舰载机保障特点，给出了备件短缺数、备件需求率和备件供应渠道模型；然后，给出基于边际优化算法的配置优化模型；最后，进行了实例分析，证明了模型的有效性，能够为保障人员备件配置优化提供一定的决策依据。

可修复件，Vari-Metric模型，舰载机，期望短缺数，优化配置，边际分析

0 引言

可修复备件是故障或损坏后，采用经济可行的技术手段修理，能恢复其原有功能的备件［1］，主要指供修理周转的外场可更换件（LRU）和内场可更换件（SRU）［2］。舰载机上可修复备件数量较大且占据了绝大部分的备件保障经费，可修复备件大多直接关系到舰载机的可用度，实践证明，贵重件的修复，不仅可以节约维修资源和费用，而且对提高装备可用性有着重要的作用［3-4］。可修复件通常具有较长的订货间隔期，储备一定数量的可修复件用于补偿修复与再循环时间、运输与购买交付时间等，对于保持舰载机的可用性具有积极意义［5］。

可修复件库存的理论基础是Palm于1938年提出的排队论［6］，该定理假设需求量为常数和修理时间为独立变量。Sherbrooke以Palm定理为基础提出研究多等级备件配置的Metric模型［7］；Simon研究提出用常数取代任意再供给时间，用泊松分布替代符合泊松分布［8］；Kruse提出多等级问题的精确解法［9］；Slay提出改进的Vari-Metric模型［10］；Sherbrooke提出多等级、多层级综合理论［11］。文献［12-18］在以上研究基础上进行了应用研究。

本文基于Vari-Metric理论和以上研究，针对舰载机可修复件进行配置优化研究。

1 舰载机多级维修保障系统描述

1.1 舰载机使用及维修保障过程

可修复件比消耗件复杂的原因是不仅要关心各个飞行场地的备件需求，还有包括负责保障的上一级保障机构的备件库存数及维修能力。海军舰载机实行三级维修保障模式：舰员级、中继级和基地级［12-19］。舰员级维修以换件维修为主；中继级维修主要进行组件级维修；基地级维修提供全面维修保障。

航母编队任务期内舰载机按计划完成一定的飞行任务。若舰载机发生故障，则拆换故障LRU，送母舰中继级维修部门，并向供应部门申请LRU。若有库存，则发出一件完好LRU；否则，就发生一次备件短缺。中继级维修部门维修能力有限，故障LRU送到中继级维修部门后，确定是否可修，如果可修，则进行修理，并在修复完成后发到供应部门。供应部门若有短缺，则利用此修复的LRU直接补充短缺；若无短缺，则储存在供应部门。如果故障LRU超过中继级维修能力，则发往后方航空基地，同时向基地申请对该LRU进行补给。延迟某时间段后，母舰供应部门将收到补给件。

设故障LRU仅因一件SRU所致，对于在母舰中继级维修的故障LRU，如果母舰供应站有库存该SRU，就将其安装到故障LRU上替换掉故障SRU。若母舰中继级不具备修理此SRU能力，则发往后方航空基地，同时提出补给申请。如果航空基地有库存，则补充一件该SRU到航空母舰；若无库存，则发生补给延误。可修复件的修理和补给延误具有不确定性，假设服从某概率分布。

舰载机保障中，舰员级和中继级处于同一地点，两者共享库存。因此，舰载机保障是三维修等级、两供应等级模式。将舰员级和中继级看作基层站点，则舰载机是两级保障模式。故障件送修过程如图1所示。

1.2 模型假设

为简化模型表达和方便求解，对建模过程作如下基本假设。

①任务期间，舰载机任务安排均匀，备件需求率服从Poisson分布；②备件是否在某机构修理与库存量或修理工作量无关，由修理机构修理能力决定；③不允许横向供应，上级机构对下级进行备件补给；④不同部件故障发生、维修相互独立，故障件修复如新；⑤不同故障部件具有相同的重要度，缺件均导致舰载机停飞；⑥故障件维修和补给过程采取先到先供应、先到先维修策略；⑦各站点采取连续检查的（s-1，s）库存策略；⑧后方保障基地具备全部维修保障能力。

1.3 模型参数定义与符号说明

i：备件项目编号，i=0代表LRU，i=1，…，I代表SRU；

j：站点编号，基地级站点为j=0，基层级站点为j=1，…，J；

mi，j：站点j备件i的年平均需求；

Ti，j：站点j备件i的以年为时间单位的平均修理时间；

si，j：站点j备件i的库存水平；

ri，j：备件i能在站点j修理的概率；

Qi，j：基地有库存时，基地向其申请（订货）部件i的站点j交货的平均时间；

Xi，j：站点j备件i的供应渠道件数；

h：部件族（产品树）编号，由LRU及其子部件SRU构成的集合，h=1，…，H，H为部件族种类数；

ch，i：部件族h备件i的单价；

nj：站点j的舰载机架数nj=1，…，Nj；

Zi：单机安装数。

2 可修复备件配置优化分析

2.1 备件短缺数

备件短缺数是持续某一时间内，备件需求未满足的数量［3］。备件短缺数反映库存效能和维修系统效能，是综合保障指标，利用备件短缺数还可以方便求得可用度。备件期望短缺数（Expected Number ofBackorders,EBO）是短缺数的均值函数，由备件库存量si，j和供应渠道件数Xi，j求得：

在舰载机所有备件故障次数相互独立且无串件拼修时，站点j机群可用度可表示为［3］：

其中，Zh，o，j为LRUh的单机安装数，Nj为舰载机在使用现场 j的配置数量，sh，o，j为使用现场 j的LRUh库存水平。对上式取对数，得到幂级展开式：

可用度对数是备件短缺函数的可分离加法函数，且是凸函数。可以通过求取备件短缺数极小值得到可用度极大值。所有舰载机的可用度A就是所有基层可用飞机的百分比［3］：

各个基层站点舰载机架数相等时，求取基层站点LRU短缺数之和极小值才等价于求取舰载机可用度的极大值。对于相同类型的航母而言，驻舰舰载机联队一般具有相同的舰载机编成，因此，可以通过式（4）转换为所有基层站点备件短期数之和最小值进行备件配置。若各基层站点舰载机数量不同，不能通过将式（4）进行对数转换分解为单个基地进行计算。此时，可以运用边际分析方法，对于所有的基层站点，通过计算可用度递增量乘以舰载机架数除以备件单价得出每一步的备件配置方案。这种近似最优方法计算的各个基层站点舰载机可用度可能会不同，如果需要调整各个基地可用度，可以通过赋予并调整各个基地的权重。

2.2 备件需求率

备件需求基于一定的任务需求，基于任务需求分析备件需求时要考虑时间的度量标准，如可能基于日历时间，飞行时间，或起降架次。

舰载机使用现场产生备件需求。设LRU的平均故障间隔时间为MTBF，舰载机数量为Nj，任务期内，每架舰载机平均飞机时间为TFY，则LRU故障率为：

故障LRU在中继级维修有一定的维修概率ro，j，假设LRU故障仅因下层级某SRU故障所致，所占比例为qi，j，则此SRU备件需求率为：

后方基地的LRU需求是各基层送修的超出其维修能力的故障LRU和：

后方基地SRU需求由两部分组成：一是基层级送修的故障SRU；二是后方基地修理LRU产生的SRU需求。后方基地SRU需求率为：

2.3 备件供应渠道［3］

2.3.1 供应渠道备件件数

供应渠道（pipeline）备件件数是指某项备件在某地正在修理的件数，或者由上级保障机构正在补给到本地的备件件数。

①基地供应渠道LRU的均值和方差

因基地修理LRU产生的SRUi需求比例是

基地修理的LRU由两部分组成：一是不存在延误，基地送修的LRU件数；二是因基地无SRU而延误的送修LRU件数。基地供应渠道LRU均值和方差为

②基层级供应渠道SRU的均值和方差

由基地补给到基层j的SRU占基地所需SRU比例为

基层j的SRU供应渠道均值和方差为

③基层级供应渠道LRU的均值和方差

基层j所需基地补充的LRU占基地LRU需求的比例为

基层j供应渠道包括：一是供应渠道无短缺时LRU件数；二是基地LRU短缺造成补给延误的件数；三是基层j因SRU短缺而延误修理的LRU件数。基层j供应渠道件数均值和方差为0

2.3.2 供应渠道备件件数分布［10］

针对Muckstadt于1973年提出的Mod-Metric模型［20］有时和实际情况相差较大，1984年Slay提出改进的Vari-Metric模型，提出既考虑供应渠道均值，也考虑方差，根据供应渠道差均比，采取不同的计算模型，由此得出更精确的结果。

供应渠道差均比为1时，运用泊松分布描述备件供应渠道：

供应渠道差均比大于1时，利用负二项分布近似描述备件供应渠道：

其中a＞0，0＜b＜1。它是指通过a+Xi，j次试验，达到a次成功的概率，其中每次成功的概率均为1-b。参数a和b的值可以根据负二项分布由供应渠道的均值和方差求得。

供应渠道差均比小于1时，用二项分布描述备件供应渠道：

其中ρ是每次试验成功的概率，Xi，j是n次试验中成功的次数。参数ρ和n可以根据二项分布由供应渠道的均值和方差求得。

3 可修件优化配置模型

3.1 边际优化算法

边际优化算法由Gross提出［21］，它是一种渐进优化技术，用于合理利用有限资源获取最大收益［11］。边际优化分析算法是在一定约束下依次迭代，直到满足目标值，通过对边际单位收益和损耗的综合权衡，达到对资源的有效利用。

边际分析的步骤：首先确定系统控制变量；其次在每轮迭代中，依次使控制变量加1，计算并记录相应的边际效益增加量和边际费用的增加量，确定对边际效益影响最大的备件配置策略，并认为该轮中此调整策略最优，将此策略作为下一次迭代的初始策略；最终，在若干次迭代调整后，达到系统目标要求，此时的备件配置策略即为优化结果，迭代结束。

3.2 边际分析优化模型

以期望短缺数最小为优化目标，以费用为约束，以备件配置策略为需要调整的控制变量，边际效益值为

在无串件拼修，各个基层站点舰载机架数相同时，求取可用度最高等价于求取期望短缺数最小。最优模型表述如下。

4 实例分析

设有两个相同的基层站点，两者均配备有舰载机20架，两个基层站点具有相同的任务安排，相同的维修能力。舰载机由备件LRU1和LRU2组成，LRU1由 LRU1，1和 LRU1，2组成，LRU2由 LRU2，1和LRU2，2组成。现有总经费5 000万元，适当安排各项备件配置方案，使得系统总的可用度最高。

由于两个基层级站点完全相同，因此，寻求可用度最大值等价于寻求系统短缺数之和的最小值［3］。根据前面的分析，运用边际分析法建模，经过编程实现，经过67轮边际优化迭代，求得备件最优分配方案如表2所示。

由表2知，后方基地库存为0，这是由于备件送修时间较长，而基层站点具备较强的维修能力，可以修复大部分故障件，修复时间相比后方基地差距不是太大。由于基层站点1和2任务需求、舰载机数量和维修能力基本相同，因此，两者备件配置类似。

边际效益值是增加某项备件1件时所获得的单位费用的系统效能增量。这里是增加1件某项备件引发的期望备件短缺数减少量与备件单价的比值。比值越高，单位费用所获取的期望备件短缺数减少量越大，越值得储备。边际效益随费用变化如图2所示，边际效益值由0.027 4严格单调下降至0.003 8。

图3 是备件期望短缺数减少量与费用关系曲线，图中数据呈现出杂乱状态，备件期望短缺数减少量与费用关系并不是单调递减关系。这是由于选择存储备件项时，并不是按照备件期望短缺数减少量，而是按照考虑了备件单价的边际效益值。从总体看，期望短缺数减少量有递减趋势。

图4 为系统备件期望短缺数与费用关系曲线。随着费用的增加，系统备件期望短缺数平稳的降低，但是降低的趋势逐步趋于平缓，费用增加的效果逐渐降低，即边际效益值越来越小，是严格单调凸函数。在总费用为5 000万元的约束下，系统备件期望短缺数由60.385 0降低到3.693 4。

经过边际优化，基层站点1的系统可用度为0.899 3，基层站点2的系统可用度为0.921 1，整个系统可用度为0.910 2，如表3所示。

5 结束语

可修复备件库存配置优化是舰载机保障的重要内容。本文基于Vari-Metric理论，结合舰载机保障实际，建立了多等级、多层级舰载机可修复备件优化配置模型，对于提高舰载机保障能力具有积极意义。由于Vari-Metric理论基于“无限渠道排队”假设，因此，与舰载机保障实际不完全符合。

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Multi-Echelon and Multi-Indenture Inventory Optimal Model for Carrier-based Aircraft Repairable Spare Parts Based on Vari-Metric Model

ZHANG Shuai，TENG Ke-nan，XIAO Fei，SUN Yuan
（Naval Aviation Engineering College，Yantai 264001，China）

According to inventory allocation problem for carrier-based aircraft repairable spare parts in the multi-echelon,multi-indenture construction，a multi-echelon and multi-indenture inventory model is put forward based on Vari-Metric model.First，the logistics support process of carrier-based aircraft is described.Then，the repairable spare parts optimal allocation problem is analyzed,the EBO model，the demand rates model and the pipeline model are given according to the logistics support characteristics of carrier-based aircraft.Next，the optimal model is given based on the marginal optimal analysis.Finally，an example shows that the model is feasible and can supply decision assistance for logistics support staff to design a reasonable project.

repairable spare parts，Vari-Metric model，carrier-based aircraft，expected number of backorders，optimal allocation，marginal analysis method

V215

A

1002-0640（2015）09-0157-06

2014-08-05

2014-09-26

军内预研一般基金项目

张 帅（1984- ），男，江苏沛县人，博士研究生。研究方向：装备保障理论与应用。