基于数值积分的物理学Flash课件

彭 亮

（武汉铁路职业技术学院，湖北 武汉 430205）

0 前言

物理学是一门实验科学，单纯从数学角度来记忆公式是无法深入理解物理规律的。在物理教学过程中，传统的以粉笔和黑板作为媒介的教学方式比较死板，通过借助计算机技术，将物理运动过程制作成多媒体课件，形象、直观的展示出来，能够加深学生对物理规律的感性认识，从而提高教学的效果。

Flash是常用的动画软件之一，具有使用方便、动画效果好的优点，最为重要的是内置一套Action Script编程语言，能够通过程序的方式实现其他软件难以实现的动态效果。在物理学课件的制作过程中，传统静态动画制作方式过程繁琐，而且难以精确的再现物理运动过程。借助Flash提供的Action Script编程语言，制作过程得到了简化，还具有精确、通用性强的优点。

1 Flash中实时展现物理过程的方法

1.1 基于运动方程的方法

Flash采用帧的方式运行，通过改变图形在不同帧的位置、大小等属性来实现动画的效果，属于时间离散的过程，而真实的物理运动过程则是时间连续的。为了在Flash中精确的再现物理运动过程必须对时间连续的过程进行离散化。

物理运动过程可以由运动方程来描述，例如：

运动方程直接给出了位置与时间的关系，通过在每帧中使用方程计算出位置坐标就能再现运动过程。

这种方法精准度高，只有计算过程中的舍入误差，且误差不会累积。但该方法必须事先求出运动方程，而且不同场景的运动方程差异极大，所以通用性不是很好。

1.2 采用数值积分的方法

由于基于运动方程的方法不够灵活，通用性差，有必要直接从影响物体运动的物理规律出发，寻找一种通用的方法。

根据牛顿定律可知：物体的运动过程由初始状态（位置、速度）以及受到的力决定，而日常中出现的力可以看成和时间、物体位置和速度有关的函数，因此可以用以下微分方程来表示物体运动过程。

在物体的初始位置和速度已知的情况下，通过数值积分的方法，计算出下一帧的位置和速度，然后以此类推，也能够再现物体运动过程。这种方法通用性较好，但精度比采用运动方程的方法要差，因为使用数值积分递推计算位置和速度，不仅存在舍入误差，还有数值积分方法带来的截断误差，且误差会累积。不过通过采用高精度的计算方法，误差能做到可以接受的程度。

2 数值积分过程

2.1 欧拉方法

首先将式1改写为以下形式

采用欧拉方法求解上式的过程如下：

2.2 龙格库塔方法

采用龙格库塔方法求解式2的过程如下：

3 实例及性能分析

以斜抛运动为例，其运动过程可由以下微分方程描述：

上述式子第一项描述水平方向的运动过程，第二项描述垂直方向的运动过程。

3.1 采用欧拉方法的程序

程序中sx表示水平方向的位置，vx表示水平方向的速度，sy表示垂直方向的位置，vy表示垂直方向的速度，t表示时间，h表示积分步长。方法caculateAccX和caculateAccY用于求取加速度，与式2中的函数 v′=f（t，x，v）对应。

3.2 采用龙格库塔方法的程序

以上程序为水平方向的计算过程，垂直方向的计算过程与之类似，程序中的变量和函数与欧拉方法程序的变量和函数相同。可以看到龙格库塔法的计算过程要比欧拉方法复杂，接下来将会对两者的性能进行比对分析。

3.3 性能分析

图1

图1中为取h=0.2s时的运行结果，图中实线为运动方程表示的运动过程，+记号的点序列表示欧拉方法计算结果，×记号的点序列表示龙格库塔方法计算结果。可以看出欧拉方法在初段与运动方程的结果相近，但随着步数增加，误差越来越大，而龙格库塔法的误差几乎可以忽略。

4 结束语

本文介绍了基于数值积分的物理学Flash课件制作方法，给出了采用两种不同数值积分的实现过程，并对两者的性能进行比对，得出结论：欧拉方法计算过程简单，但误差较大，适合在步长较短且运行时间也比较短的场合使用，龙格库塔法计算过程复杂，但误差很小，适合在步长较长且运行时间也比较长的场合使用。

［1］陈誌敏.龙格-库塔法及其Mathematica实现[J].武汉工程职业技术学院学报,2006,18(2).

［2］黄晓红,胡振华.浅析龙格-库塔方法[J].黑龙江科技信息,2012(23).

［3］陆映红.基于物理学原理Flash行为动画的实现[J].广西民族学院学报,2005,11(4).