以文化的视角看高中数学课堂基本模式
2015-01-09刘清昆
刘清昆
摘要：数学是一种语言、一种文化，它有自身独特的知识类型，不同的知识类型中知识的获得有着不同的模式。本文试着从文化的视角给出高中数学语言习得的模式。
关键词：数学文化 高中数学 课堂模式
数学是一种语言、一种文化，它像任一个民族的母语一样，都是经过漫长的历史沉积而成，都有自己的符号系统、逻辑体系、成文方法。世界上任何一种语言的习得，都需要一种氛围，语言的气场。语言习得过程大致分为这样几个阶段：首先观察、感悟话语体系，其次通过练习简约初步话语体系，最后通过对话抽象话语体系。与之相对，史宁中先生也提出了数学抽象的三个层次：简约阶段、符号阶段、普适阶段。但是大量现实的数学课堂，却未遵循语言的合理方式，至今很多的课堂依旧是T.V式（讲授）为主。上述状况我们称之为“语言习得”的病态，导致这种状况的根源大致如下。
历史的原因：数学教师更多的是模仿其多年学习过程中对其影响最大的教师的教学方式。此处的教师并不指具体的哪个教师，而是教者多年学习过程中，影响自己教学观的抽象的老师。我们传统的课堂强调传道，既然是传道那就自认老师比学生懂得多，课堂就应我教你听，也就是“讲台”为中心。
教学观的原因。即使学界呼吁多年数学是一种文化，但具体如何使数学课堂更有文化、不同的课型应该如何操作却成了默会知识。学者因为缺乏一线教学经验，只是给出了理论框架，一线教师对数学文化仅为初步了解，现实的课堂，更多的改进仅停留在课堂中适当地增加数学史的内容、构建知识的生活背景等，认为这些就是数学文化。
学界对数学文化的界定很多，研究的视角多元。本文为了阐述问题的便捷，将数学文化做如下的界定。数学是人类对生活的世界进行高度抽象的一种创造活动，是一种模式的科学。正如李铁安所言，数学文化系统包括数学活动中的静态结果和动态结果以及它们所包含的各因素之间的交互作用。静态结果包括数学知识、思想、方法等，动态结果包括数学认知的价值判断、审美追求、思维过程等。它具有抽象性、逻辑性及数学的理性等特征。
在数学文化的视角下构建数学课堂需要对数学知识结构做基本的界定。史宁中[1]将数学的基本思想界定为抽象、推理、模型。抽象将生活上升为数学，推理促进了数学体系的发展，模型是数学作用于生活的抓手。由此我们将数学知识划分为如下的类型：
一、数学文化视角下的数学课的类别
数学是一种语言，形式化、符号化、公理化是其现代特征，这有利于数学自身语言体系的描述，但对数学语言的习得带来了不小的障碍。为了更有利于学生数学言语的习得，针对阐释对象的符号化就需了解其现实背景，针对证明过程的形式化就应还原其数学直观，针对逻辑的公理化就应强调归纳推理。下面我们依上文划分的知识类型分别谈一谈文化视角下的数学课堂。
1.数学概念的学习
数学概念的学习是一个抽象的过程。它源于学生的生活及学习经验，经过不断的简约化、符号化、模式化，形成数学的认识，构成数学语言体系。其模式为：
学生习得数学概念的过程，要构建合理的认知材料以利于概念的初步抽象，这个过程具有如下的特征：（1）构建情景或组织活动激活原有经验，形成初步认知或认知冲突； （2）通过操作、讨论、对话等活动将初步认知概念化、符号化；（3）进行概念认知强化，能用数学的视角辨别具体的对象。
[案例一]函数的概念
问题1 同学们在初中已学过函数，你能举几个函数的例子吗？
问题2 下述生活情景中，有函数的实例吗？为什么？
（1）2014年6月4日上午10∶00～11∶00上海证券交易所的股票指数的情况，这是一个函数吗？
（2）奥运选手比赛中射击序号与中靶环数的对应表，环数是序号的函数吗？
问题3 你判断自己举的例子是不是函数的依据是什么？
问题4 y=1是函数吗？请说明理由。
设计意图：通过学生自己举例及老师选取生活中的函数实例来激活学生原有认知的函数“变量说”。引导学生分别用解析式、表格、图像表示对应的函数。设置变量说无法解释的函数实例，引起认知冲突。
数学史实介绍：函数概念的演变过程。
设计意图：为集合视角下的函数概念引入的必要性做铺垫。
问题5 （1）你能用集合与对应的语言描述函数概念吗？
设计意图：引导学生用集合的观点解释已有概念，获得函数的新认知。
（2）认识之前举例函数的定义域、值域、对应关系。
数学文化视角下的数学言语的习得不同于传授式的课堂，首先时间分配比上，并未将大部分精力放在函数概念的解析上，而是将主要的精力放在函数概念的抽象及集合观点下函数言语的严谨化上。这个过程能使学生明白在数学定义和运算的抽象过程中，许多的物理背景和几何直观丧失是为数学的简洁化服务的。
2.数学体系的学习
数学体系的学习过程是推理的过程，具有形式化、公理化的特征。由简单的数学概念，通过归纳、演绎推理，形成复杂的数学体系。其模式为：
学生习得数学体系的过程，要注重归纳推理，及数学直观，这个过程具有如下的特征： （1）构建合理的知识及程序性材料，进行初步感知；（2）通过推理活动认识新知；（3）通过实践演练，达到对新知的理解、掌握及延展。
[案例2]等差数列前n项和
问题1某施工队要砌如下形状的砖墙需要多少块砖头？
设计意图：通过拟生活化的问题情景，学生抽象问题本质，通过数形结合，探究数列求和的技巧。
问题2 （1）你能否求得等差数列{an}的前n项和公式？
（2）等差数列{an}：a1=14.5，d=0.7，an=32，求其前n项和Sn。
设计意图：将上述问题中的感悟，推广到一般情景，推导出等差数列前n项和的公式。通过具体的实例赏析Sn=中蕴含的基本量思想。
问题3 （1）已知一个等差数列{an}前10项和是310，前20项和是1220，由这些条件能确定等差数列的前n项和公式吗？
（2）用781块砖能否砌成如下的20层砖墙：每层砖数成等差数列，第一层砖数为1，最后一层砖数为77？
数学文化视角下的数学言语源于生活，学习数学言语的目的是为了用更科学合理的方式描述现实生活。本课通过拟生活化的问题情景，锻炼学生初步地用数学的眼光分析问题、解析问题的能力。学生只有抽象出砖墙砖数问题的数学本质，即首相为1公差为2的等差数列前21项和，才能说其具备了用数学的眼光审视生活的能力。在求解砖墙砖的总数目这样一个类生活化问题的过程中学生可习得用数学的眼光解析生活的能力，体验到特殊到一般的归纳推理能力，赏析到数学的简洁美。
3.模型的学习
模型的学习过程是用数学的言语讲述生活的过程。数学模型是数学应用的子范畴，侧重于用数学的概念、原理及思维方式描述现实生活，是构建数学与生活的桥梁。其模式为：
学生习得数学模型的过程，要注意相应数学言语的严谨化，这个过程具有如下的特征：激活相关的数学言语，形成知识准备；用数学的言语分析数学模型；全面认识模型及模型实际应用。
[案例3]指数函数
问题1 （1）庄子-天下篇“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”用数学的语言表示天数与木棍长度的关系。
（2）若让编号为1的同学准备1粒米，2号准备2粒米，3号准备4粒米，……照此规律，最后一位同学该准备多少粒米？能否估计这些米有多重？
设计意图：体会生活、史学上的指数模型积累指数型函数的经验；体验指数函数爆炸性增长的特点及极限思想；用数学的言语描述生活中的关系。
问题2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否构成函数？是我们学过的哪种函数？能否根据函数的特征给它起个名字？
设计意图：抽象函数模型，体会数学基本思维——抽象、模型。
指数函数定义：函数y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指数函数。
问题3 （1）为什么指数函数规定a>0且a≠1？
（2）判断y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否为指数函数？
设计意图：借助问题展开数学对话进行数学言语的训练。
问题4 （1）你能否设计一个方案以便全面地分析指数函数的性质？
（2）请在同一直角坐标系内做出函数y=2x，y=3x，的图像。
设计意图：提供有结构的材料以便同学通过对话，探讨指数函数的性质
二、数学文化视角下的数学课的特质
文化视角下的数学课堂不再单纯地将数学视作知识的传授，而是视其为一种语言的传承。课堂上我们强调数学的背景化、直观化，强调归纳推理，注重学生数学基本经验的获得及数学能力的培养。文化视角的数学课堂有如下的特质。
1.关注数学知识生成的过程及背景。函数的概念一课，我们为学生提供的原始认知材料既有函数运动定义下的一般例子又有运动定义下的异象函数，这样就容易解释为什么我们已经知道了运动观点下函数的概念还要学习对应观点下的函数概念。指数函数一课，我们为学生提供了丰富的指数型函数实例，不仅可以告诉学生指数函数模型有丰富的生活背景还可以使其知晓我们所研究的指数函数是生活中实例的数学抽象。
2.关注数学语言习得的科学性。此处的科学性，是指习得数学言语时符合数学知识的生长及数学体系的生成理论。指数函数的定义的生成，我们设置了一个小的环节，要求学生给函数命名，目的是使学生知晓数学中一些概念的名称无非是一种数学人士的约定俗称，是一种数学生活的契约话语。
3.关注学生的思维锻炼。等差数列的前n项和我们并没有采用常规引学方式：介绍高斯求解1+2+……+50的方法，而是设置了一个拟生活化的例子，求一砖墙的总砖数。这个例子比较直观，可以锻炼学生用数学言语分析生活的能力（亦可称其为数学阅读能力），又可以通过数形结合突破等差数列求和的技术难关。指数函数性质的分析，我们尝试着让学生去设计方案，通过这个过程使学生体会特殊到一般的归纳思维，加强对数学基本思想的锻炼。
文化视角的数学课堂，关注了数学的生活化、趣味性，关注了数学基本活动经验的积累，关注了数学基本思想的锻炼，关注了数学言语形成的细节。
参考文献
[1] 史宁中.数学思想概论（第1-4辑）.长春：东北师范大学出版社，2008.
[2] [荷]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.陈昌平，唐瑞芬，等译.上海：上海教育出版社，1995.
[3] 张维忠.数学教育中的数学文化.上海：上海教育出版社，2011.
[4] [美]齐斯德福林.数学的语言.洪万生，等译.桂林：广西师范大学出版社，2013.
【责任编辑 郭振玲】
问题3 （1）已知一个等差数列{an}前10项和是310，前20项和是1220，由这些条件能确定等差数列的前n项和公式吗？
（2）用781块砖能否砌成如下的20层砖墙：每层砖数成等差数列，第一层砖数为1，最后一层砖数为77？
数学文化视角下的数学言语源于生活，学习数学言语的目的是为了用更科学合理的方式描述现实生活。本课通过拟生活化的问题情景，锻炼学生初步地用数学的眼光分析问题、解析问题的能力。学生只有抽象出砖墙砖数问题的数学本质，即首相为1公差为2的等差数列前21项和，才能说其具备了用数学的眼光审视生活的能力。在求解砖墙砖的总数目这样一个类生活化问题的过程中学生可习得用数学的眼光解析生活的能力，体验到特殊到一般的归纳推理能力，赏析到数学的简洁美。
3.模型的学习
模型的学习过程是用数学的言语讲述生活的过程。数学模型是数学应用的子范畴，侧重于用数学的概念、原理及思维方式描述现实生活，是构建数学与生活的桥梁。其模式为：
学生习得数学模型的过程，要注意相应数学言语的严谨化，这个过程具有如下的特征：激活相关的数学言语，形成知识准备；用数学的言语分析数学模型；全面认识模型及模型实际应用。
[案例3]指数函数
问题1 （1）庄子-天下篇“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”用数学的语言表示天数与木棍长度的关系。
（2）若让编号为1的同学准备1粒米，2号准备2粒米，3号准备4粒米，……照此规律，最后一位同学该准备多少粒米？能否估计这些米有多重？
设计意图：体会生活、史学上的指数模型积累指数型函数的经验；体验指数函数爆炸性增长的特点及极限思想；用数学的言语描述生活中的关系。
问题2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否构成函数？是我们学过的哪种函数？能否根据函数的特征给它起个名字？
设计意图：抽象函数模型，体会数学基本思维——抽象、模型。
指数函数定义：函数y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指数函数。
问题3 （1）为什么指数函数规定a>0且a≠1？
（2）判断y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否为指数函数？
设计意图：借助问题展开数学对话进行数学言语的训练。
问题4 （1）你能否设计一个方案以便全面地分析指数函数的性质？
（2）请在同一直角坐标系内做出函数y=2x，y=3x，的图像。
设计意图：提供有结构的材料以便同学通过对话，探讨指数函数的性质
二、数学文化视角下的数学课的特质
文化视角下的数学课堂不再单纯地将数学视作知识的传授，而是视其为一种语言的传承。课堂上我们强调数学的背景化、直观化，强调归纳推理，注重学生数学基本经验的获得及数学能力的培养。文化视角的数学课堂有如下的特质。
1.关注数学知识生成的过程及背景。函数的概念一课，我们为学生提供的原始认知材料既有函数运动定义下的一般例子又有运动定义下的异象函数，这样就容易解释为什么我们已经知道了运动观点下函数的概念还要学习对应观点下的函数概念。指数函数一课，我们为学生提供了丰富的指数型函数实例，不仅可以告诉学生指数函数模型有丰富的生活背景还可以使其知晓我们所研究的指数函数是生活中实例的数学抽象。
2.关注数学语言习得的科学性。此处的科学性，是指习得数学言语时符合数学知识的生长及数学体系的生成理论。指数函数的定义的生成，我们设置了一个小的环节，要求学生给函数命名，目的是使学生知晓数学中一些概念的名称无非是一种数学人士的约定俗称，是一种数学生活的契约话语。
3.关注学生的思维锻炼。等差数列的前n项和我们并没有采用常规引学方式：介绍高斯求解1+2+……+50的方法，而是设置了一个拟生活化的例子，求一砖墙的总砖数。这个例子比较直观，可以锻炼学生用数学言语分析生活的能力（亦可称其为数学阅读能力），又可以通过数形结合突破等差数列求和的技术难关。指数函数性质的分析，我们尝试着让学生去设计方案，通过这个过程使学生体会特殊到一般的归纳思维，加强对数学基本思想的锻炼。
文化视角的数学课堂，关注了数学的生活化、趣味性，关注了数学基本活动经验的积累，关注了数学基本思想的锻炼，关注了数学言语形成的细节。
参考文献
[1] 史宁中.数学思想概论（第1-4辑）.长春：东北师范大学出版社，2008.
[2] [荷]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.陈昌平，唐瑞芬，等译.上海：上海教育出版社，1995.
[3] 张维忠.数学教育中的数学文化.上海：上海教育出版社，2011.
[4] [美]齐斯德福林.数学的语言.洪万生，等译.桂林：广西师范大学出版社，2013.
【责任编辑 郭振玲】
问题3 （1）已知一个等差数列{an}前10项和是310，前20项和是1220，由这些条件能确定等差数列的前n项和公式吗？
（2）用781块砖能否砌成如下的20层砖墙：每层砖数成等差数列，第一层砖数为1，最后一层砖数为77？
数学文化视角下的数学言语源于生活，学习数学言语的目的是为了用更科学合理的方式描述现实生活。本课通过拟生活化的问题情景，锻炼学生初步地用数学的眼光分析问题、解析问题的能力。学生只有抽象出砖墙砖数问题的数学本质，即首相为1公差为2的等差数列前21项和，才能说其具备了用数学的眼光审视生活的能力。在求解砖墙砖的总数目这样一个类生活化问题的过程中学生可习得用数学的眼光解析生活的能力，体验到特殊到一般的归纳推理能力，赏析到数学的简洁美。
3.模型的学习
模型的学习过程是用数学的言语讲述生活的过程。数学模型是数学应用的子范畴，侧重于用数学的概念、原理及思维方式描述现实生活，是构建数学与生活的桥梁。其模式为：
学生习得数学模型的过程，要注意相应数学言语的严谨化，这个过程具有如下的特征：激活相关的数学言语，形成知识准备；用数学的言语分析数学模型；全面认识模型及模型实际应用。
[案例3]指数函数
问题1 （1）庄子-天下篇“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”用数学的语言表示天数与木棍长度的关系。
（2）若让编号为1的同学准备1粒米，2号准备2粒米，3号准备4粒米，……照此规律，最后一位同学该准备多少粒米？能否估计这些米有多重？
设计意图：体会生活、史学上的指数模型积累指数型函数的经验；体验指数函数爆炸性增长的特点及极限思想；用数学的言语描述生活中的关系。
问题2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否构成函数？是我们学过的哪种函数？能否根据函数的特征给它起个名字？
设计意图：抽象函数模型，体会数学基本思维——抽象、模型。
指数函数定义：函数y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指数函数。
问题3 （1）为什么指数函数规定a>0且a≠1？
（2）判断y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否为指数函数？
设计意图：借助问题展开数学对话进行数学言语的训练。
问题4 （1）你能否设计一个方案以便全面地分析指数函数的性质？
（2）请在同一直角坐标系内做出函数y=2x，y=3x，的图像。
设计意图：提供有结构的材料以便同学通过对话，探讨指数函数的性质
二、数学文化视角下的数学课的特质
文化视角下的数学课堂不再单纯地将数学视作知识的传授，而是视其为一种语言的传承。课堂上我们强调数学的背景化、直观化，强调归纳推理，注重学生数学基本经验的获得及数学能力的培养。文化视角的数学课堂有如下的特质。
1.关注数学知识生成的过程及背景。函数的概念一课，我们为学生提供的原始认知材料既有函数运动定义下的一般例子又有运动定义下的异象函数，这样就容易解释为什么我们已经知道了运动观点下函数的概念还要学习对应观点下的函数概念。指数函数一课，我们为学生提供了丰富的指数型函数实例，不仅可以告诉学生指数函数模型有丰富的生活背景还可以使其知晓我们所研究的指数函数是生活中实例的数学抽象。
2.关注数学语言习得的科学性。此处的科学性，是指习得数学言语时符合数学知识的生长及数学体系的生成理论。指数函数的定义的生成，我们设置了一个小的环节，要求学生给函数命名，目的是使学生知晓数学中一些概念的名称无非是一种数学人士的约定俗称，是一种数学生活的契约话语。
3.关注学生的思维锻炼。等差数列的前n项和我们并没有采用常规引学方式：介绍高斯求解1+2+……+50的方法，而是设置了一个拟生活化的例子，求一砖墙的总砖数。这个例子比较直观，可以锻炼学生用数学言语分析生活的能力（亦可称其为数学阅读能力），又可以通过数形结合突破等差数列求和的技术难关。指数函数性质的分析，我们尝试着让学生去设计方案，通过这个过程使学生体会特殊到一般的归纳思维，加强对数学基本思想的锻炼。
文化视角的数学课堂，关注了数学的生活化、趣味性，关注了数学基本活动经验的积累，关注了数学基本思想的锻炼，关注了数学言语形成的细节。
参考文献
[1] 史宁中.数学思想概论（第1-4辑）.长春：东北师范大学出版社，2008.
[2] [荷]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.陈昌平，唐瑞芬，等译.上海：上海教育出版社，1995.
[3] 张维忠.数学教育中的数学文化.上海：上海教育出版社，2011.
[4] [美]齐斯德福林.数学的语言.洪万生，等译.桂林：广西师范大学出版社，2013.
【责任编辑 郭振玲】
