应用平面几何解决带电粒子在磁场中的运动

李强

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0201-02

带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据这一特点该问题的解决方法一般为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。其中圆心的确定最为关键，一般方法为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。

以上方法简单明了，但具体求解时，学生对其轨迹的变化想象不出来，从而导致错解习题。如从以上方法出发，再借助圆规或硬币从“动态圆”角度分析，便可快而准的解决问题。此类试题可分为旋转圆和平移圆两大类型，下面以高考试题为例进行分析。

一、旋转圆

模型特征

带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图1。解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。

典例解析

例：如图2，在0≤x≤a区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0°～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上P（a，a）点离开磁场。求：

（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；

（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；

动态分析

由題知沿y轴正方向发射的粒子从磁场边界上P（a，a）点离开磁场，利用圆规或硬币可作出其轨迹图像如图3，由于粒子速度方向在0°～180°范围内，其它方向的轨迹可以通过旋转第一个圆得到（O点为旋转点），如图4。从图中可明显发现第2问所涉及的粒子轨迹所在位置，利用几何关系便可解答此题。

二、平移圆

模型特征

带电粒子在两个或更多个并列匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，根据左手定则得粒子旋转方向相反，轨迹在交界处必外切，轨迹可认为是圆的平移所得，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度大小变化，根据洛伦兹力提供向心力得粒子运动半径改变，轨迹在交界处必内切，轨迹可认为两个半径不同的圆通过交替平移所得。如图13所示。

典例解析

例：有一个放射源水平放射出α、β和γ三种射线，垂直射入如图14所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感应强度大小B相等，方向相反（粒子运动不考虑相对论效应）。

（1）若要筛选出速率大于v1的β粒子进入区域Ⅱ，求磁场宽度d与B和v1的关系。

（2）若B=0.0034 T，v1=0.1c（c是光速），则可得d；α粒子的速率为0.001c，计算α和γ射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除α和γ射线的方法。

（3）当d满足第（1）小题所给关系时，请给出速率在v1

（4）请设计一种方案，能使离开区域Ⅱ的β粒子束在右侧聚焦且水平出射。

已知：电子质量me=9.1×10-31 kg，α粒子质量mα=6.7×10-27 kg，电子电荷量q=1.6×10-19C，≈1+（x≤1时）。

动态分析

此题是缩放圆和平移圆的结合应用。根据洛伦兹力提供向心力，β粒子顺时针旋转，当速度逐渐增大，轨迹半径在Ⅰ区域不断变大，当与交界处相切时，速度再增大则进入Ⅱ区域，由于两区域仅磁场方向相反，所以轨迹在两区域交界处外切，可通过圆的平移得到粒子运动轨迹，如图15所示。

小结

从以上分析可知，利用圆规、硬币从动态圆角度可快捷的解决复杂的带电粒子在匀强磁场中运动的相关问题，如临界值、多解等常见问题。这种方法简单易学，学生也能容易掌握规律。教学中发现学生对这种借助简单的道具解决问题的方法不仅充满了好奇心，解决问题的过程中充满新鲜感，而且在解决完问题后又一片惊叹：原来问题可以这样来解决！寓教于乐，给人以深刻的思维启迪。