辅助索接地的简化索网-阻尼器系统的阻尼和频率

周海俊， 杨 夏

（深圳大学广东省滨海土木工程耐久性重点实验室，广东深圳518060）

辅助索接地的简化索网-阻尼器系统的阻尼和频率

周海俊， 杨 夏

（深圳大学广东省滨海土木工程耐久性重点实验室，广东深圳518060）

索网-阻尼器-接地辅助索系统的振动特性研究对于拉索减振问题具有重要的工程应用价值.本文建立了由2根水平拉索和1根锚固于桥面的辅助索组成的简化索网系统，将辅助索简化为线性弹簧单元，基于弦理论，由拉索锚固端的位移边界条件和阻尼器、辅助索安装位置处位移及力的连续条件，推导得索网系统的复特征值方程，并由此求得阻尼和频率的数值解.以3、4阶振动模态为例，讨论了弹簧刚度、安装位置对最大模态阻尼比、阻尼器的最优阻尼系数和相应振动频率的影响.研究结果表明，索网系统的各阶模态存在奇数阶和偶数阶两种模态，两种振动模态具有不同的振动特性.随着辅助索与桥面连接段刚度的增加，最大模态阻尼比可能的取值上限将增加至单索-阻尼器系统的最大模态阻尼比值的2.0～2.4倍，但辅助索可选择的优化安装区间则变得更为狭窄和分散.

索网；辅助索；阻尼器；模态阻尼比；频率

拉索是缆索承重桥梁的重要构件之一，其易在风雨振动［1］等外部激励下产生剧烈振动.目前，拉索减振是建设斜拉桥，尤其是大跨径斜拉桥所必须考虑的重要问题之一.为了抑制拉索的振动，工程中常采用安装机械阻尼器［2-4］、气动措施［5］、辅助索［6］等措施，同时安装辅助索和阻尼器可提高拉索的振动频率和阻尼［7］.Yamaguchi和Nagahawatta进行了简化索网模型的试验研究，并运用能量法分析了辅助索提供的模态阻尼比［8］.Sun对三根拉索构成的索网结构进行了实验研究［9］，结果表明安装辅助索后拉索模态阻尼增加有限.Caracoglia和Jones运用半解析法研究了索网的面内振动频率和振动特性［10］，并运用该方法对实桥进行了分析［11-12］.但由于索网系统的振动模态分布密集，涉及参数众多，索端阻尼器和辅助索两种减振措施之间如何相互影响仍不清晰，索网-阻尼器系统的减振优化设计方法尚未有效建立.

基于已有的研究成果和本课题组最近的研究［13-14］，本文提出了简化索网-阻尼器系统，根据复模态分析方法得到了该系统的复特征值方程.通过数值方法求解复特征值方程，进一步研究了辅助索的刚度、安装位置对索网体系最大模态阻尼比、对应的最优阻尼系数和振动频率的影响.

1 系统的复特征值方程

简化索网-阻尼器系统模型如图1所示，Lj（j＝1，2）为第j根拉索的长度，且L1＝L2＋2Δl，mj为第j根拉索单位长度的质量，Tj为第j根拉索的张力，cj为第j根拉索上附加的阻尼器的阻尼系数，kj为上端与第j根拉索连接的弹簧刚度，被阻尼器和弹簧分开的拉索的长度为ljp（p＝1，2，3），xjp为相应的轴向坐标.

图1 简化索网-阻尼器系统Fig.1 Simplified cable-network-damper system

各段拉索的线性运动方程［15］：

式中：yjp（xjp，t）为拉索的竖向位移.

假定无量纲的时间τ＝ωo1t，ωo1＝π／L1（T1／m1）1／2为上索的圆频率，则各段拉索自由振动的位移可表示为

式中：Yjp（xjp）为复模态振型；λ为系统的复特征值，λ＝α＋iβ，i为虚数单位，β为系统的无量纲振动频率.

将式（2）代入式（1），得

式中：fj＝ωo1／ωoj为第1根拉索与第j根拉索的频率比，ωoj＝π／Lj（Tj／mj）1／2为第j根拉索的圆频率.

系统模态阻尼比为

根据拉索在阻尼器和弹簧安装位置处位移的连续条件，Yjp（xjp）可表示为

式中：Ajp和Bjp为与拉索振幅相关的待定参数.

由拉索锚固端的位移边界条件可得

由阻尼器和弹簧安装位置处位移的连续条件可得

由阻尼器和弹簧安装位置处力的平衡条件可得

将式（2）和式（5）代入式（6）～（8），并将式（7）～（8）改写为矩阵形式：

式中：S为复系数矩阵，

Φ为复待定参数向量，

Φ＝［A11A12B12A13A21A22B22A23］T.

要使得Φ≠0，需满足det［S］＝0，展开可得简化索网-阻尼器的复特征值方程：

式中：Гjp＝πfjλljp／Lj；Гj＝πfjλ；无量纲阻尼系数ηj＝cj／（Tjmj）1／2；无量纲弹簧刚度γj＝kjLj／πTj；质量张力比νj＝（T1m1／Tjmj）0.5.

对于指定的γj、ηj、ν2、ljp／Lj，可通过数值方法求式（10）得到对应的λ值，将λ值代入式（9）求得对应的待定参数向量后，由式（9）可得对应的模态振型.

2 参数分析

式（10）中包含参数较多，而实际工程中，相邻两根拉索的设计参数接近，因此本文假设m1＝m2，T1＝T2，L2／L1＝0.8，c1＝c2，l11／L1＝l21／L2＝2%，则f2＝0.8，ν2＝1，而工程中为节约成本，一般相近拉索取相同的阻尼器系数，故取η1＝η2.下文将分析4个弹簧刚度工况（γ1＝1，γ2＝1；γ1＝10，γ2＝1；γ1＝1，γ2＝10；γ1＝10，γ2＝10）时弹簧安装位置（l22／L2）变化时，索网结构的单索n阶（n为正整数）最大模态阻尼比ξn，max、对应的最优阻尼系数ηn，opt和对应的振动频率β的变化规律，并与文献［2］中单索＋阻尼器系统对应参数的迭代解进行对比（在下文的图中用虚线表示）.

2.1 复特征值方程的解

复特征值方程存在两个解［10］：βⅠn（2n－1阶模态）和βⅡn（2n阶模态），当上下两索等长时，该两个解分别对应上下两索同相和反相振动，且βnⅠ值较低，对应的振动模态接近于单索的n阶振动模态，βnⅡ值较高，对应的振动模态当γ1较大时以某段索的振动模态为主.当上、下索长不等时，βnⅠ和βnⅡ对应的振型不再一定为同相或反相，但由于实际工程中两根相邻拉索的参数相差不大，此时其他相关规律仍然成立.本文以3、4阶模态为例分析系统的参数变化规律进行说明，研究表明该变化规律可进一步推广至其他阶模态.图2所示为γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.2时对应的单索2阶同相（3阶）和反相（4阶）振动模态实部，从图2中可见上述规律.

图2 3、4阶模态的振型实部（γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.4）Fig.2 Real parts of the 3rd and 4th mode shapes corresponding to βⅠ2and βⅡ2（γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.4）

2.2 最大模态阻尼比

图3（a）和图3（b）分别为弹簧取不同刚度的4个工况下弹簧安装位置变化时的3阶模态和4阶模态的最大模态阻尼比.

图3 3、4阶模态的最大模态阻尼比与弹簧刚度、安装位置的关系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.3 Maximal damping ratio of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffness and location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

从图3可见：

（1）当γ2＝1时，可将模态阻尼比随着弹簧安装位置变化分为n个变化区间，这些区间的端点值接近于（l21＋l22）／L2＝i／n（i为小于等于n的非负整数，例如n＝2时，i＝0，1，2）时，在这些区间内，最大模态阻尼比表现出减小-增大-减小的反复变化趋势.当γ1＝10时，3阶模态的最大模态阻尼比的最大值较单索＋阻尼器系统的最大模态阻尼比增加约32%，4阶模态的最大模态阻尼的最大值增加约93%.

（2）当γ2＝10时，与γ2＝1时最大模态阻尼比相比，对于3阶模态，当弹簧安装在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n（iⅠ为小于n的正整数，例如n＝2时，iⅠ＝1）附近时，最大模态阻尼比出现“突变”，表现出增加-减小的变化，这些位置处最大模态阻尼比较γ2＝1时的工况对应的最大模态阻尼比大；对于4阶模态，当弹簧安装在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）（iⅡ为小于n＋1的正整数，例如n＝2时，iⅡ＝1，2）附近时，最大模态阻尼比“突变”，表现出减小-增加的变化，这些位置处最大模态阻尼比较γ2＝1时的工况对应的最大模态阻尼比小.当γ1由1增加到10时，3阶模态的最大模态阻尼比变化幅度较大，4阶模态的最大模态阻尼比变化幅度不大.

2.3 对应的最优阻尼系数

图4（a）和图4（b）分别为4个不同刚度弹簧的工况下弹簧安装位置变化时3阶模态和4阶模态对应的无量纲最优阻尼系数，可见：

（1）当γ2＝1时，同样可将无量纲最优阻尼系数的变化区间分为2.2中所划分的变化区间，在这些区间里最优阻尼系数表现出减小-增大的反复变化趋势.当γ1由1增加到10时，3阶模态的最优阻尼系数较单索＋阻尼器系统的最优阻尼系数最大相差仅22%，除跨中和左端点附近外，4阶模态的最优阻尼系数较单索＋阻尼器系统的最优阻尼系数小.

（2）当γ2＝10时，与γ2＝1时最优阻尼系数的变化相比，对于3阶模态，当弹簧安装在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n附近时，最优阻尼系数发生“突变”，表现为减小-增加的变化；对于4阶模态，当弹簧安装在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）时，最优阻尼系数发生“突变”，表现为增加-减小的变化.当γ1由1增加到10时，3阶模态的最优阻尼系数的变化减小；4阶模态的最优阻尼系数相差最大值不超过37%.

图4 对应的3、4阶模态最优阻尼系数比与弹簧刚度、安装位置的关系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.4 Optimal damping coefficient of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffnessand location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

2.4 对应的振动频率

图5（a）和图5（b）分别为弹簧取不同刚度的4个工况下弹簧安装位置变化时的3阶模态和4阶模态分别取得最大模态阻尼比时对应的无量纲振动频率，可见：

（1）当γ2＝1时，同样可将对应的振动频率的变化区间分为2.2中所划分的变化区间，在这些区间里振动频率表现出增大-减小的变化趋势.当γ1＝10时，3阶模态的振动频率较单索＋阻尼器系统的振动频率增加约5%～13%，4阶模态的振动频率较单索＋阻尼器系统的振动频率增加约24%～49%.

（2）当γ2＝10时，与γ2＝1时最优阻尼系数的变化相比，对于3阶模态，当弹簧安装在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n附近时，振动频率发生“突变”，表现为增加-减小的变化；对于4阶模态，当弹簧安装在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）时，振动频率发生“突变”，表现为减小-增加的变化.当γ1由1增加到10时，3阶模态对应的振动频率增加约2%～18%，4阶模态对应的振动频率变化很小，相差最大值不超过2%.

图5 对应的3、4阶模态无量纲频率与弹簧刚度、安装位置的关系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.5 Corresponding frequency of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffnessand location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

3 结 论

根据复模态分析方法推导了简化索网-阻尼器系统的复特征值方程，进一步研究了弹簧刚度、安装位置对索网体系最大模态阻尼比、对应的最优阻尼系数、对应的振动频率的影响，研究表明：

（1）辅助索与桥面连接段的无量纲刚度为10时，系统的参数变化趋势较复杂.

（2）辅助索与桥面连接段的无量纲刚度为1时，相比于奇数阶模态，增加连接拉索之间辅助索的刚度更能提高偶数阶模态最大模态阻尼比可能的取值上限.辅助索与桥面连接段的无量纲刚度为10时，相比于偶数阶模态，增加连接拉索之间辅助索的刚度可提高奇数阶模态最大模态阻尼比可能的取值上限.

（3）从增加最大模态阻尼比的角度出发，随着辅助索与桥面连接段的刚度的增加，最大模态阻尼比可能的取值上限增加，但辅助索可选择的优化安装区间则变得更为狭窄和分散.

（4）最大模态阻尼比取值较大时对应的最优阻尼系数较单索＋阻尼器系统的优化阻尼系数小，尤其是偶数阶模态则小得更多.此时虽不能取得振动频率可能取得的最大值，但都较单索＋阻尼器系统对应的振动频率要大.

致谢：本文的研究工作得到深圳市基础研究计划项目（JCYJ20120614085454232）的资助.

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（中文编辑：唐 晴 英文编辑：周 尧）

Damping and Frequency of Simplified Cable-Network-Damper System with Cross-Tie Fixed to Ground

ZHOU Haijun， YANG Xia
（Guangdong Provincial Key Laboratory of Durability for Marine Civil Engineering，Shenzhen Uinversity，Shenzhen 518060，China）

The dynamics of cable network with both cross-ties and dampers are important for cable vibration mitigation.A simplified cable-network-damper system was proposed.It is comprised of two parallel cables and a cross-tie fixed on ground.The cross-tie was simplified as linear spring elements.Based on the string theory，the complex frequency equation of the system was deduced according to the boundary conditons at the fixed end of the cables and displacement continuity and force equilibrium equations at the mounting position of the cross-tie.Then the damping and frequency values were derived by numerical iteration.In the cases of the third and fourth vibration modes，effects of spring stiffness and location on the maximum damping ratio，the optimal damping coefficient and the corresponding frequency were analyzed.It is found that there are odd and even modes in the system vibration；and these two modes have different vibration characteristics.With the increasing in the stiffness of the cross-tie fixed on ground，the upper limit of maximum damping value is increased 2.0－2.4 times of the maximum modal damping ratio of a single cable-damper system；however，the optimal cross-tie locations become less and separated.

cable network；cross-tie；damper；damping ratio；frequency

TU311.3

：A

0258-2724（2014）06-0948-06

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.003

2012-09-09

国家自然科学基金资助项目（51108269）

周海俊（1977－），男，副教授，博士，研究方向为桥梁结构振动控制与监测、结构耐久性等，E-mail：haijun＠szu.edu.cn

周海俊，杨夏.辅助索接地的简化索网-阻尼器系统的阻尼和频率［J］.西南交通大学学报，2014，49（6）：948-953.