线性代数在实际生活中应用实例

靳宝霞/广西科技大学鹿山学院

线性代数在实际生活中应用实例

靳宝霞/广西科技大学鹿山学院

线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。但是对于刚接触线性代数的大多数学生而言，仍然感到其理论比较枯燥，不知道学习线性代数到底能用到生活中的哪些地方，本文将举出几个其在实际生活中的例子来展示线性代数应用的广泛性，同时也能更好的加深学生对知识点的理解。

线性代数； 矩阵； 方程组

1 交通问题

四个城市的单向航线图如下

2 药方配置问题

问题：某中药厂用九种中草药（A-I）根据不同的比例配制成了7中特效药，各用量成份见表一（单位：克）

?

(1)某医院要购买这七种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品？

(2)现在医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成份，请问能否配制？如何配制？

1号新药2号新药3号新药A 40 162 88 B 62 141 67 C 14 27 8 D 44 102 51 E 53 60 7 F 50 155 80 G 71 118 38 H 41 68 21 I 14 52 30

解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。

若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；

若向量组线性相关，并且能找到不含 u3,u6的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。

经计算该向量组线性相关，一个最大无关组为u1,u2,u4,u5,u7且u3=u1+2u2，u6=3u2+u4+u5.所以可以配置处这两种脱销的药品。

（2）三种新药用v1,v2,v3表示，问题化为v1,v2,v3能否由u1—u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。

经计算可得：v1=u1+3u2+2u4，v2=3u1+4u2+2u4+u7，v3则不能被线性表示，所以无法配药。

3 产品成本的计算

某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。

解 将M和P相乘，得到的矩阵设为Q，Q的第一行第一列元素为Q(1,1)=0.10×4000+0.30×2000+0.15×5800=1870

不难看出，Q表示了夏季消耗的原材料总成本。

4 人口迁徙模型

设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6％的市区居民搬到郊区去住，而有2％的郊区居民搬到市区。假如开始时有30％的居民住在市区，70％的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？

解 这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。

从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为

经Mablab计算可得：

当无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。

5 化学方程的配平

试确定x1,x2,x3,x4，配平上面化学方程式。

解 使方程两边原子数相同称为方程式的配平。则可得到下列方程

写成矩阵方程为

以上是几个简单的能用线性代数的知识解决的案例，其中比较复杂的计算可用数学软件Matlab来解决，随着计算机的发展，线性代数的应用会越来越多，越来越简单。

【1】线性代数∕段复建主编.— 北京：科学出版社，2010.

【2】线性代数的应用 西安理工大学数学系.

【3】黄玉梅，彭涛.线性代数中矩阵的应用典型案例 兰州大学学报（自然科学版）

2014年广西高等教育教学改革重点项目《数学软件在独立学院数学类课程中的应用研究与实践》（项目编号：2014JGZ192）;2015年广西科技大学鹿山学院转型发展专项项目《公共数学课“教、学、评”的研究与实践》（项目编号：2015ZXZD004）。