关于丝绸之路的数学模型

◎ [俄] 阿特米·S·马尔可夫

一、引言

随着人们对将数学方法应用于社会科学的兴趣不断增加，对历史事件进行计算机模拟有着巨大的前景。能像在物理学和生物学中所发现的规律那样逻辑严密、论证充分的，描述社会结构的表现（或曰进程）的规律并不存在；然而，生物和物理科学的历史表明，概念的形式化为人们提供了可检验的推断，那样一来，研究人员便能“弃糟取精”。因此，一些确定的“社会方程”可以帮助历史事件的数学建模者获取逻辑严密、论证充分的结论，对社会体系作出预测，正如物理法则及其体系中的假设能指引研究的方向。

建立社会进程的数学模型这门学科的兴起，主要源于数学方法和计算机应用的进步，同时也是人们对社会的相互作用、风险和威胁的复杂性了解程度不断加深的结果。对复杂物理学过程建模的巨大成功，激发了人们将数学模型应用到社会科学中。虽然社会学模型的初次尝试表明，有时候简单的线性方程足以给出充分的预测，但这些尝试也暴露了一些根本性的问题。其中之一便是“人为因素”。机械体系中并没有自由选择，因此传统的物理-数学结合的方式并不容许描述拥有自由选择的复杂体系。

为了建立一个逻辑严密、论证充分的理论，有必要从宏观体系考察近现代以前那些相对简单的社会。这样做既可以避免长期预测（因为我们已经知晓近现代以前的社会体系的“未来”发展动态）和人为因素（对大型体系影响不大，但对小型体系影响很大）的问题，也能够通过历史上简单的社会体系建立的模型来预测现代的、层级的、复杂的体系。尽管历史进程是独特且不可复制的，我们仍会在不同时期的不同社会中发现一些相同的基本进程。从这个意义上，历史给予了我们丰富的数据集，足以用来建立和检验逻辑严密、论证充分的理论。这表明，社会动态也许存在一些基本规律，我们可以对其进行定义和将其形式化。

如前文概述中提到，用历史建模是非常有前景的。但这方面的相关科研著作并不多（见Guseynova, Ustinov, Pavlovskii 1981; Nefedov 2001; Turchin 2002; Malkov 2002）。本文有两大目标：一是提出一个逻辑严密、论证充分的框架，二是将其应用到历史进程中。如前文指出，尝试对宏观体系作出描述似乎是当前条件下最具创造性的做法。然而这些研究在考察社会内部关系时并没有将地理属性作为主要属性。这个方法对于大型的、隔离的农业社会是可以接受的，而它们也是上述文献关注的焦点。然而，除了自给自足的农业国以外，还有大量必须依赖这些农业国之间转口贸易的社会，它们显然要依赖相邻农业国的地理位置。于是，空间因素成为这些社会动态的重要决定因素。

为了有助于建立空间贸易的模型，我们可以梳理之前关于空间经济的研究，例如，由Beckmann(1952)提出和建立的运输连续模型。该模型考察某些地理区域（如城市范围内）的商品运输过程。但它是为了优化贸易往来而建立的，并没有描述实际流程和贸易路线的演变。因此，Beckmann的模型必须经过改良和泛化才能用于描述空间历史动态。

Beckmann提出，商品的源泉（生产者）和低洼地（消费者）的位置应与所考察的地理区域相匹配。区域的每一点都由商品流J和通过该点的运输成本来表示。Beckmann想在生产者、消费者和运输成本的分布给定的条件下找出最优的流程。其空间市场模型的假设前提是“交易商不可有损失。这意味着从贸易中获得的收益正好等于运输成本……” (Beckmann, Puu 1985: 16)，因此他得到的是一个静态的商品流分布。Beckmann证明了这是最优分布，因为每一条流通路线的运输成本都是最低的。

Beckmann指出最优商品流J(x,y)依赖于每一点的价格分布且J≠0。此处的p(x,y)为价格分布而k为相关系数。

这个模型在空间经济领域很有实际价值，因为它可以有效地控制贸易流，但其中的一些局限性使它无法应用于历史动态问题之上。首先，它是一个静态模型，因此无法描述动态。历史是一个非静态的过程；演变时慢时快，任何变化都可能是瞬间的。描述历史的模型必须是动态的。

其次，选择最优路线的必要条件是不现实的，因为我们不可避免地缺少足够的历史信息去作出这样的决定。尽管Beckmann假设交易商绝对会选择运输成本最小的路线，但显然一个真正的交易商（尤其是古代的交易商）在做生意时只能对运输成本作出粗略估算。Beckmann提出的模型对“中性路线”(Beckmann, Puu 1985:38)也只给出了模糊的解决方案，“中性路线”是指一个区域的两个点之间存在两条成本相同的贸易流路线。然而在Beckmann的模型中，两者中任何一条路线的成本若出现极其微小的变化，都会破坏中性路线，从而使得交易商选择另一条作为最佳路线。换言之，微观层面的变化会引起宏观层面的巨变。这种情况显然是不现实的。一个真正的交易商更可能（在某种意义上）随机地选择路线，但其选择可能主要依赖于对运输成本的粗略估算。再者，风险、习惯、声誉和其他因素也会左右路线的选择——并且由于两条路线的成本趋同，这些因素变得更加重要。

最后，将运输成本作为一个地域特征只有在当代社会的条件下才有用。因为我们很难重构这类历史信息，需要有一种估算运输成本的方法。因此有必要引入另外一种更有意义的衡量尺度来描述某片区域的贸易传导性，它既不那么依赖货币和价格，又能更多地涵盖影响选择的非货币因素（风险、声誉等），并且易于量化。因此，Beckmann的模型需要经过改良和泛化才能适用于空间历史动态问题。

二、贸易流模型

下面我们来考察一个封闭区域的空间单一商品市场。假设T(x,y)为商品的密度，q(x,y)为生产的过剩密度[即生产密度和消费密度之间的差（若生产超过消费，则q为正数）]，t为时间。

这一过程的发散规律为

其中J为商品流向量。

这一著名方程描述了任何物质的连续流动（如：热、液体等）。在特定条件下，它可以表述为：“商品密度的增加T/t是生产q和商品流入与流出之差的总和。”

价格动态的线性表示是

其中p(x,y)为商品价格分布，D(x,y)为该点的需求密度，S(x,y)为供应密度，为比例常数，表示市场价格对供求平衡的敏感性。

上述方程可表述为：“供不应求时价格上升，供大于求时价格下降。”

假设商品销售为无限，

也就是说，“供大于求时会出现库存过量，而供不应求时销售才会积极。”

最后，该模型的主要假设是

其中商品传导系数k(x,y)为空间不均衡的衡量尺度。该方程表明，商品流与商品价格的梯度成比例。其文字表述为：“相邻两点间商品运输的流动与两点间的价格差成比例。”

这一方程是区别于Beckmann的模型的关键。Beckmann假设商品流必须与价格梯度的方向一致（众所周知，梯度向量朝着上升最快的路线——即价格上升最快的路线）。相反，我们假设商品流的方向与梯度的方向一致，其绝对值则与梯度值成比例。

这一改良看似微小，却十分关键。具体而言，它解决了“中性路线”以及在信息匮乏的条件下做决定的问题。换言之，交易商可以利用市场的地方属性确定其本地区内的贸易量。他们并不需要关于其他遥远市场的额外的需求信息。

上述模型的优点之一是它与Beckmann的模型从根本上并不矛盾。另外，由于时间是无限的，这一动态模型也能够实现Beckmann的最优静态解决方案。这意味着该体系作为一个整体最终达到了运输成本最低的静态最优方案。这种做法更贴近现实——假设该系统最初是稳定的，但突然产生了一系列条件变化（如启动新的生产、企业倒闭、贸易路线上的区域武装纷争）。由于缺乏信息，商品流无法在条件变化后即时达到最优配置，但随着时间变化（假设条件并未再发生重大变化），商品流重新稳定并在现有条件下再次达到最优。需要指出，衡量尺度对应信息传递和系统响应的速度。值越高，实现最优稳定状态的速度就越快。

将上述所有方程组合在一起，可以得出：

这个著名的方程称为“热传导方程”，它描述了带有热源和低洼地以及一个不平衡的热传递系数的空间系统的演变。关于热传导方程的理论和实践研究都非常多(Tikhonov, Samarskii 1951)，它具有很强的分析处理能力和各种计算方法。

商品传导系数k在数学上等同于热传导系数，因此我们可以利用这样的类比展开讨论。商品传导系数（CCC）是空间市场中的一个重要因素。该系数越高，给生产者和消费者带来的收益条件就越好；CCC越低，生产者价格低而消费者价格高。价格差与运输开支相对应。这种情况不是最优的，会降低生产和消费。尽管CCC与Beckmann的运输成本系数有关，但CCC更具一般性。它不仅包括经济属性，还有非货币方面，如风险、声誉、习惯等。另外，CCC更适合度量历史进程。例如，假设我们有两座相距城镇之间的商品流数量以及每座城镇的价格估算值，便能确定连结两城价格的路线的CCC值。当然，实操起来可能不如说的容易——毕竟商品流和价格都是随时间变化的——但模型是动态的，因此就有可能甄别出引起变化的原因（例如，外部条件、市场本身的演变）。

三、商品流方程

商品传导系数k依赖于地域的属性。假设价格梯度是固定的。那么，每英里的价格差为ΔP=p。为满足现有需求，需要多少商队途经该地域？这依赖于商队途经的速度，因为他们需要支付

其中w（每小时收入）是在梯度p向量（每英里每吨的收入）下，一个商队以速度v（每小时英里数）运送m（商品的吨数）的每小时收入。

假设商队的数量与从此次商旅中获得的收入成比例（利润越高，商队越多）。如果没有风险（该地域没有税收、强盗或战争），那么商队每小时收益为w。如果有风险，那么获得全部收益的可能性便会降低：(1-r)w＜w，其中r为风险因素(0≤r≤1)。当r=1时，意味着损失了所有收益；当r=0时，意味着没有风险，收益完全得到保证。

那么，运送m吨货物的商队数量N为

其中a为比例系数。

最后，商品流J为N个商队以速度v运送m吨商品的乘积：

可以看出，商品传导性依赖于两个基本的空间度量：r（损失收益的风险）和v（商队能够前进的最快速度）。

即便价格差很大，商人们也不会在该区域形势紧张、存在高风险（战争、强盗、高税收、带有攻击性的部落、野兽出没）时运输商品，或在存在商队无法克服的自然障碍（高山、丛林、河流、沙漠）时快速前进。为了对贸易流进行模拟，我们需要估算k，或者更具体地说，r和v。

由于风险难以测度，我们在模拟时假设庞大帝国疆界之外风险高，而疆界之内风险低，因为帝国能够保护道路和支持贸易。边界内r(x,y) = 0，边界外r(x,y) = 0.9。对于速度v我们需要另外一个能从地域的自然属性中得出速度的逻辑严密、论证充分的模型。

四、运输摩擦的估算

许多环境因素都会影响某一地区的运输速度。例如，在平坦、植被稀疏的地形前进的速度比山路崎岖或丛林茂密的地区要快得多。因此，我们必须确定一个能够通过实证来衡量的运输摩擦系数。系数μ由两方面构成：一是地形崎岖，二是途经某个特殊生物群落（生态区）的难度。由于高海拔地区起伏很大，崎岖的地形会使μ值升高，而热带雨林等难以穿越的生物群落亦是如此。

为了估算丝绸之路时代的这一系数，我们运用13世纪旅行到中国的著名威尼斯商人马可·波罗旅程中的数据。尽管其著作中包含了一些有争议的内容，但它仍然是非常有价值的古代数据来源。特别是马可·波罗记录了他在旅途中从一点步行到另一点所需的时日。类似的信息有60多条，这对于确定此次旅途的系数而言是一个可观的样本量。

假设通过地形的前进速度与环境相关，则

它分别与由历史数据决定的前进速度v，由地理信息数据（图1）得出的海拔变化H和以该方程为基础加上系数μ(x,y)为分段常数的假设的系数μ联系起来——虽然μ(x,y)会随着自然区域的不同而浮动（图2），但它在每个区域内是恒定的。

图1 海拔图（颜色越深表明海拔越高）

图2 生态区（生物群落）图

系数评价的想法源自解决逆向问题。前进速度vi+0.5,j和vi,j+0.5是通过对系数μ根据路线经过的生物群落的地形设定不同值而计算得出的。运用最短路径算法，便可计算出马可·波罗书中提到的两点之间徒步所需的时间τ（图3）。将计算得出的前进时间τ与马可·波罗提到的相应的时间τMP作比较，可以得到一系列点(τ, τMP)，假设马可·波罗始终以最快速度并选择最短路径前进，那么就会以直线通过0点。当然，完美组合是无法达到的，但通过修正对μ的估算以配合当地地形，便可以极大地优化模型预测的前进时间和马可·波罗所记录的前进时间之间的相关性。

图3 关于马可·波罗的旅程中两点之间（在时间上）的最短路径的计算。此处的算法是对生物群落运用了不同的运输摩擦系数以得出从一座城市到另一座城市按天数计算的时间。黄线勾勒出的是在相同的时间内，商队从一座城市出发能走的最远距离和受到运输摩擦的阻碍时所作的反方向运动。

图4 计算得出的前进时间和马可·波罗所花费的时间之间的关系。(a)不包括海拔和区域(μ=常数, H=常数)；(b)包括海拔和区域（生物群落）。

在最简单的情况下，前进时间与两座城市之间的距离成比例，τ与τMP之间的R2为0.44。若考虑海拔变化和不同生态区中系数μ的差异，则R2上升到0.69（图4）。考虑海拔变化和系数μ的差异后得出的模型计算结果更为贴近实际数据。对海拔变化定量需要用到一个理想的网格尺寸。例如，同样是穿越1公里的路程，海拔缓慢提升100米的地形比总体海拔提升100米的高山峡谷地形要容易得多。但如果这两种假设路径的网格距离都是1公里，那么得出的难度值都是一样的。

问题解决如下。使用配合间隔约为0.1°的地球极地的海拔网格H[i,j]。网格HK[i,j]沿y轴递增，与子午线一致。原有网格的最接近值作为新网格节点的值：

图5 沿子午线的海拔变化的总和依赖于网格间隔

图6 R2为不同的μ值下模型预测的和马可·波罗所记录的前进时间之间的相关系数。R2的最大值对应的是不同地区的相关系数：(a)为阔叶林地区；(b)为山区。

表明SK海拔变化的总和依赖于网格尺寸K。结果（图5）显示网格间隔的改变会导致海拔变化总和的改变。

假设μ会随着区域的不同而变化，那么精确测量μ对于模型预测的精准度而言至关重要。事实上，τ和τMP之间的最佳相关系数取决于按不同地形的大小顺序排列的μ值（图6）。

五、模型的检验

下一个步骤便是通过赋予其历史数据来检验模型。如果模型能够准确预测，那么就可以认定它是一个正确的模型。我们需要一个（在空间上和时间上都）足够大、描述精确且具有分析性的空间市场体系的例子。有一个体系完全能够满足上述条件：那就是著名的贸易路线体系——丝绸之路。

丝绸之路体系是一个独特的现象。它是世界上存在时间最长、规模最大的贸易路线体系。它不仅是一条商旅路线，更是亚非欧融合的基本因素之一(Chase-Dunn,Hall 1997)。丝绸之路具有复杂的历史动态，历经三个主要时代：古丝路时期（公元前2世纪～公元3世纪）、伊斯兰征服时期（公元6～9世纪）和蒙古帝国时期（公元11～14世纪）。丝路贸易在每个时期都有所加强，而到了末期都出现衰退。不过每个时期主要贸易路线的模式都不同，这些变化也是未来研究的关注点。

影响路线的密集程度和位置的主要因素是什么？虽然可纳入考虑范围的因素众多，但我们可以将这个体系简化，选择一个或几个起主导作用的因素。

计算结果显示，丝绸之路位置的决定性因素是庞大帝国的空间布局。这一观点与Jerry Bentley(1993)不谋而合，他研究了跨文化联系，如丝绸之路，指出庞大帝国应该是丝绸之路存在和演进背后的主要原因。

“丝绸之路时代——约从公元前200年至公元400年——象征着第一个主要的跨文化交流时期。庞大帝国城邦的统治在亚欧大陆的大部分地区得到巩固，贸易网络得以安全地连结大陆的两端……然而大概从6世纪开始，长距离贸易的复苏为第二轮密集的跨文化交流提供了保证。跨文化贸易的复苏还是要依赖庞大帝国城邦的建立……第二个时期还没有完全结束，便渐渐融入了一个新的时期——约从1000年到1350年……该时期的特点是……游牧民族大规模的军事及政治扩张，主要是突厥人和蒙古人，他们建立起庞大的跨区域帝国，支持各民族间定期交往……” (Bentley 1993:26-27)

毋庸置疑，帝国本身并不是独立的现象，还有许多其他因素导致帝国的兴衰。不过我们检验模型时并不考虑这些因素。我们仅推断帝国的存亡是商品流模式的先决条件。庞大帝国对知名商品贸易网络的需求和供给很大，它们支持道路和其他基础设施建设，为地区的商贸发展创造了安定的环境。庞大帝国带来的其他积极影响还有很多，但幸好大多数都能通过上述空间贸易模型中简化地表述出来：庞大帝国能够提升其领土范围内商品的传导性。

这意味着一个地理区域若属于某一帝国（如被其征服后），则其的商品传导系数增加，若帝国丧失对该区域的控制（如帝国灭亡），则系数减少。传导性的增加可以降低运输成本（前文有讨论），从而降低交易商的开支。帝国内部联系越快速安全，帝国内的道路对交易商便越具有吸引力——即便帝国边界之外还存在另一条更短的路径。

不过许多空间和时间因素都会发生变化。原先的主要商品流位置的利润可能会下降，或者临近新成立的帝国使其变得不稳定。即便主要商品制造商和消费者的位置保持恒定，一般的流通模式也可能随着时代的变迁、帝国的兴亡而变化。

因此对丝绸之路的模拟包含如下假设：

1. 空间贸易模型是丝绸之路动态的数学基础。

2. 每个地理位置的最初传导性是通过各地自身的条件估算得出的。

3. 考察三个历史时期：古丝路时期、伊斯兰时期和蒙古时期。

4. 每个时期分别考察两个地点：主要商品（丝绸）的生产地和消费地。

5. 每个时期对应的主要帝国的布局是既定的，帝国疆界内的商品传导系数增加。

从数学上看，该模型符合抛物线方程，它包含了一个源泉点、一个低洼点、空间可变系数以及流动为0的边界条件。模拟以有限差分法进行。

图7～9给出了每个时期丝绸之路的位置。每幅图都标明了该时期主要帝国已知的地理疆界，然后是模型得出的该时期的数学模拟结果。每组的第三幅图对应的是主要贸易路线位置上的实际历史数据(World History,1956-1958)。

从公元前2世纪至公元3世纪的古丝路时期（图7），主要帝国有罗马、帕提亚、贵霜和中国的汉朝。这是历史上首次亚欧大陆形成一个融合的体系。然而，只有知名商品网络是融合的。相比之下，这些世界体系内的军事网络和散装货物网络的规模要小得多(Chase-Dunn, Hall 2003)。

图7 公元前2世纪至公元3世纪古丝路时期。(a) 该时期的主要庞大帝国：1.罗马；2.帕提亚；3.贵霜；4.汉朝。(b) 商品流的计算：点的颜色越深，途经该点的商品运输越多。(c)该时期丝绸之路位置的历史数据。

从公元6至9世纪是伊斯兰教的开拓时期（图8），我们将整个伊斯兰地区视作一个不分疆界的帝国。同时期的其他帝国有拜占庭帝国和中国的唐朝。丝绸之路在这一时期繁荣，是因为伊斯兰有着兴盛的商人传统。

图8 公元6至9世纪 伊斯兰教的开拓时期。(a) 该时期的主要庞大帝国：1.拜占庭；2.伊斯兰国家；3.唐朝。(b) 商品流的计算：点的颜色越深，途经该点的商品运输越多。(c) 该时期丝绸之路位置的历史数据。

图9 公元11至14世纪 蒙古帝国时期。(a) 该时期的主要庞大帝国为蒙古帝国。(b) 商品流的计算：点的颜色越深，途经该点的商品运输越多。(c) 该时期丝绸之路位置的历史数据。

从公元11至14世纪（图9），蒙古帝国是该时期的主要力量。军事网络在历史上首次达到相当的规模。由于蒙古人在该地区的活动，里海以北首次出现了一条稳定、密集的丝绸之路路线。各主要路线系统在欧洲的终点威尼斯交汇。

图10 15世纪后的商品传导性。随着欧洲航海帝国的发展，印度洋贸易的传导性增加，陆路贸易的传导性下降。

蒙古帝国灭亡后，丝绸之路体系随之衰退，并再也没有恢复往日的辉煌。对于这一事实，模型给出了一个有意思的解释。根据模型，欧洲海洋贸易是这一进程的成因。由于欧洲帝国航海业的扩张增加了印度洋的商品传导性，陆路贸易减少而海洋贸易增加（图10）。

六、结语

本文得出的结论虽然粗略，却非常有意思。我们运用的模型非常简单，只有庞大帝国这个单一因素，无法像物理学一样从模型中获得每个点的精确预测。若要对结果进行修正，就必须将其他因素纳入考虑范围，添加新的方程，扩充模型。然而，新的方程必须在得到证明和检验后才能提出；仓促扩充模型也是不理性的。我们的结果显示该模型在理论上是成立的，因此下一步便是将更精确的历史数据代入，提出更有效的传导性估算方法，从而获得更精确的预测。

[1]Beckmann M.J. 1952. A continuous model of transportation. Econometrica, 20(4): 643-660.

[2]Beckmann M.J., Puu T. 1985. Spatial Economics: Density, Potential and Flow. North Holland Publishing Company, Amsterdam.

[3]Bentley J.H. 1993. Old World Encounters: Cross-Cultural Contacts and Exchanges in Premodern Times.Oxford University Press, Oxford.

[4]Chase-Dunn C., Hall T.D. 1997. Rise and Demise: Comparing World-Systems. Westview Press,Boulder, Colorado.

[5]Guseinova A.S., Ustinov V.A., Pavlovskii Ju.N. 1984. Opit imitationnogo modelirovania istoricheskigo processa (An Experience of Imitational Modeling of Historical Process), Nauka, Moscow. (in Russian)

[6]Nefedov S.A. Laws of history [http://hist1.narod.ru]

[7]Malkov S.Ju. 2002. Matematicheskoe modelirovanie istoricheskih processov (Mathematical modeling of historical processes). Novoe v synergetike (Synergetics News), pp. 291-323. Nauka, Moscow.

[8]Malkov, A. 2005. Mathematical modeling of the dynamics of agrarian societies (in Russian). Ph.D. thesis.Institute of Applied Mathematics, Moscow.

[9]Tikhonov A.N., Samarskii A.A. 1951, Uravnenia matematicheskoi physiki (Equations of Mathematical Physics), GITTL, Moscow.

[10]Turchin P. 2003. Historical Dynamics: Why States Rise and Fall, Princeton University Press, Princeton,NJ.

[11]World History. 1956-1958, Vsemirnaya istoria (World History), 1956-1958, vol. II-IV (maps),Gospolitizdat, Moscow.