资金分配的一个优化模型

任 力，张兴芳

（聊城大学a.东昌学院;b.数学科学学院，山东 聊城 252000）

0 引言

有限资金如何分配到有限个单位使其发挥最大效益，是一个重要且复杂的优化问题。某些学者关于这方面已经进行了研究。刘松(1995)[1]引用AHP方法使大学教育经费使用系统建立结构模型寻求可行解及满意解。蒋红妍(2008)[2]应用多目标决策理论，针对养护工作中资金及既有养护能力有限的实际,建立了综合考虑路段特征及不同部门约束条件的资金分配优化模型；彭华(2010)[3]从路网未来高、中、低三种规划目标出发，提出了沥青路面网级管理系统中资金优化模型。由Zadeh[4]提出的模糊集理论已历40余年，其内容已相当丰富，它渗透到数学的许多分支[5～11]，应用领域也相当广阔，但是将模糊集理论运用到资金分配优化问题中的研究还较少。本文运用模糊集理论构建了一个资金分配问题优化模型，结合高校内部资金分配问题为例证明其有效性。

1 准备知识

为了表述的方便，首先引入折线函数的概念。定义1分段函数

称为折线函数，简记作 bl(α1，a1; α2，a2; ...; αn，an)。

性 质 1 设 折 线 函 数 bl1(α1，a1;α2，a2;...;αn，an)，bl2(β1，a1;β2，a2;...;βn，an),则

(1)对任意 aij∈(ai，aj)，有

(2)对任意的实数 c1，c2,有

c1× bl1(α1，a1;α2，a2;...;αn，an)± c2× bl2(β1，a1;β2，a2;...;βn，an)=bl1(c1α1±c2β1，a1;c1α2±c2β，a2;...;c1αn±c2βn，an)。

定理1 设 f(x1，x2)=g(x1)×h(x2)，x1+x2=c，g，h 分别在[0,c]递增。对任意 x1，x2∈[0，c](x1+x2=c)，δ＞0，若

0≤h(x2)-h(x2-δ)≤g(x1+δ)-g(x1)≤h(x2)-g(x1)

则

f(x1+δ，x2-δ)=g(x1+δ)·h(x2-δ)≥g(x1)·h(x2)。

2 一个资金分配的新模型

假设要把有限资金a(a=10h，h是正整数)万元分配到n个单位。为了让a万元在l年内发挥最大效益，一般人们采用下面的方法：先将a万元分为n个等级

a1，a2，...，an(a1≤ a2≤ ...≤ an，a1+a2+...+an=a)

且确定分配的依据，假设从 w1，w2，...，wh方面进行评价。然后由专家根据这h个方面综合打分或投票排出名次，从而确定分配方案。显然，这种方法太粗糙，目标不明确。下面运用模糊集理论处理该问题。

首先将每个单位的 h 个方面 w1，w2，...，wh的绩效分别视为一个论域为[0，a]的模糊集。假设第i(i=1，2，...，n)个单位对应 wj方面的模糊集为

uij(x)(i=1，2，...，n;j=1，2，...，h)。

uij(x0)(i=1，2，...，n;j=1，2，...，h)的意义是第 i个单位在u年末资金x0产生wj的效益程度。然而，过去并不代表将来，还要由专家基于各部门的实际情况预测投资l年末的各指标的发展前景，从而确定其隶属函数。隶属函数的确定有两种方法。一种是先将历史数据模糊化然后模糊推理得到；第二种是由专家评价给出。下面仅讨论第二种方法：专家评价法。

首先根据发展不均衡的原则，由专家确定暂缓发展对象及重点培养对象，分别称它们为第1单位，第2单位，…，第m（m＜n)单位，并确定它们分配的资金数，假设为a1，a2，...，am（a1＜a2＜...＜am＜a）。然后，由专家分别赋予其余部门近 l年末 w1，w2，...，wh的水平达到最大值 α（≤1）所需要的花费，并分别赋予其权重，设为 q1，q2，...，qh。然后再分别扩张它们为一个在 [0，c]，c=max{a1，a2，...，am}＜a上不减的折线函数，分别称它们为 w1，w2，...，wh的资金效益函数（具体扩张方法见下一节的实例）。假设第i个单位 关 于 wj的 资 金 效 益 函 数 为 μij(xi)，xi∈[0，c]i=m+1，...，n ，j=1，2，...，h 。于是建立下面的资金分配模型：

该模型中的条件

min{a1，a2，...，am}≤ xi≤ max{a1，a2，...，am}，i=m+1，...，n

说明资金分配方案随着中间水平的部门的分配方案的确定而确定。

3 以高校内部资金分配问题为例的模型

本文假设某一高校要把资金300万元分配到10个部门，以作为它们近3年内的发展经费。

（1）将高等教育三大职能——科学研究、人才培养、服务社会在资金分配问题中赋予不同权重，分别记为w1，w2，w3。设定w1，w2，w3的权重为0.4，0.4，0.2。

(2)根据培植强势，不均衡发展的原则，专家评定第1单位和第2单位为暂缓发展单位，第3单位，第4单位和第5单位为3个重点扶持单位，并确定分配它们的资金为10万元，15万元，40万元,50万元，60万元。

(3)分别确定第6单位,第7单位,第8单位,第9单位,第10单位关于 w1，w2，w3的效益函数。

假设w1的资金效益函数分别为

μ61(0，0;0.5，15;0.9，60)，μ71(0，0;0.5，20;085，60)，

μ81(0，0;0.5，25;0.8，60)，μ91(0，0;，0.5，25;0.70，60)，

μ(10)1(0，0;0.5，30;0.70，60)。

如图所示：

又假设w2的资金效益函数分别为

μ62(0，0;0.5，35;1，60)，μ72(0，0;0.5，30;085，60)，

μ82(0，0;0.5，20;0.9，60)，μ92(0，0;，0.5，20;0.75，60)，

μ(10)2(0，0;0.5，20;0.75，60)

w3的资金效益函数分别为

μ63(0，0;0.5，35;0.7，60)，μ73(0，0;0.5，40;055，60)，

μ83(0，0;0.5，45;0.6，60)，μ93(0，0;，0.5，45;0.6，60)，

μ(10)3(0，0;0.5，40;0.7，60)。

根据性质1，有

μ61(0，0;0.5，15;0.9，60)

=μ61(0，0;0.5，15;0.68，35;0.9，60)

μ62(0，0;0.5，35;1，60)

=μ62(0，0;0.75，15;0.5，35;1，60)

μ63(0，0;0.5，35;0.7，60)

=μ63(0，0;0.21，15;0.5，35;0.7，60)

μ71(0，0;0.5，20;085，60)

=(0，0;0.5，15;0.59，30;0.68，40;085，60)

μ72(0，0;0.5，30;085，60)

=μ72(0，0;0.33，15;0.5，30;0.62，40;085，60)

μ73(0，0;0.5，40;0.55，60)

=μ73(0，0;0.25，15;0.38，30;0.5，40;0.55，60)

μ81(0，0;0.5，25;0.8，60)

=μ81(0，0;0.4，20;0.5，25;0.63，45;0.8，60)

μ82(0，0;0.5，20;0.9，60)

=μ82(0，0;0.5，20;0.55，25;0.75，45;0.9，60)

μ83(0，0;0.5，45;0.6，60)

=μ83(0，0;0.22，20;0.28，25;0.5，45;0.6，60)

μ91(0，0;，0.5，25;0.70，60)

=μ91(0，0;0.4，20;0.5，25;0.59，40;0.70，60)

μ92(0，0;，0.5，20;0.75，60)

=μ92(0，0;，0.5，20;0.53，25;0.63，40;0.75，60)

μ93(0，0;，0.5，45;0.6，60)

=μ93(0，0;0.22，20;0.27，25;0.5，40;0.6，60)

μ(10)1(0，0;0.5，30;0.70，60)

=μ(10)1(0，0;0.33，20;0.5，30;0.56，40;0.70，60)

μ(10)2(0，0;0.5，20;0.75，60)

=μ(10)2(0，0;0.5，20;0.56，30;0.63，40;0.75，60)

μ(10)3(0，0;0.5，40;0.7，60)

=μ(10)3(0，0;0.25，20;0.38，30;0.5，40;0.7，60)

根 据 公 式 ti(xi)=0.4μi1(xi)+0.4μi2(xi)+0.2μi3(xi)，i=6，7，8，9，10与性质1，有

t6(x6)=μ6(0，0;0.542，15;0.572，35;0.9，60)

=μ6(0，0;0.542，15;0.5495;20;0.5570，25;0.5645，30;

0.572 ，35;0.6376，40;0.7032，45;0.9，60)，

t7(x7)=μ7(0，0;0.382，15;0.512，30;0.620，40;0.88，60)

=μ7(0，0，0.382，15，0.4253，20;0.4687，25;0.512，30;

0.566 ，35;0.620，40;0.685，45;0.88，60)，

t8(x8)=μ8(0，0;15;0.404，20;0.476，25;30;35;40;

0.652 ，45;0.80，60)

=μ8(0，0;0.404，15;0.44，20;0.476，25;0.52，30;0.564，35;0.652，40;0.608，45;0.80，60)，

t9(x9)=μ9(0，0;15;0.404，20;0.466，25;30;35;0.588，40;45;0.70，60)

=μ9(0，0;0.404，15;0.435，20;0.466，25;0.5067，30;0.5473，

35;0.588，40;0.616，45;0.70，60)，

t10(x8)=μ10(0，0;0.382，20;0.50，30;0.576，40;0.72，60)=μ10(0，0;0.382，15;0.4115，20;0.441，25;0.50，30;0.538，

35;0.576，40;0.612，45;0.72，60).

于是，构建高校内部资金分配的一个优化模型如下：

通过模型（*）的一个人机对话算法（算法略）,得到模型（*）的解为 x=(10,15,40,50,60,15,25,26,23,34)。

4 结论

本文基于模糊集理论提出了一个资金分配的优化新模型，并以高校资金分配为例展现了这种模型的有效性。

[1]刘松.高校资金使用结构及其优化设计模型[J].沈阳工业大学学报,1995,(2).

[2]蒋红妍.基于多目标决策的养护资金分配优化模型及应用[J].公路工程,2008,(3).

[3]彭华,孙立军,陈长.沥青路面网级管理系统中资金优化模型[J].同济大学学报(自然科学版),2010,(8).

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets,Information and Control[J].1965，(8).

[5]李洪兴.Fuzzy系统的概率表示[J].中国科学（E）信息科学,2006，36（4）.

[6]孟广武.层次L-拓扑空间论[M].北京:科学出版社,2010.