浅析多进制小波及其应用

董健卫 陈艳美

（1.广东药学院数学系，广东 广州510006；2.广东技术师范学院计算机科学学院，广东 广州510665）

0 引言

小波分析由于其良好的时频局部性能而成为有力的信号处理分析工具，它对信号用一组不同尺度的带通滤波器进行滤波，将信号分解到不同的频带上进行分析处理。图像信息可以看作是一类复杂的非线性非平稳的信号源，所以小波变换在图像处理和模式识别中有着广泛的应用。多进制小波是小波分析理论的一个重要分支,它在兼顾对称性、光滑性、正交性和紧支性方面均优于二进制小波,能够解决一些二进制小波难以解决的问题，因而得到广泛的重视和研究。与二进制小波变换相比，M进制小波变换对信号频带的划分更细致、更简捷，比如对一幅图像，只需分解一次就可得到M×M幅小波子图像，而且各小波子图像大小相同，非常便于各通道纹理特征的提取；而二进制小波经过M次变换才能得到3M+1幅小波子图像，并且由于各小波子图像大小不一致，在提取各频带纹理特征前，要采用插值的方法使图像大小一致，增加了计算量和处理时间。因此，多进制小波在图像处理及模式识别中会有更大的应用前景。

1 多进制小波分析

1.1 多进制小波的多分辨率分析

设M≥2为正整数,当L2（R）中存在闭子空间，满足下列条件时：

（1）单调性：Vj⊂Vj－1

（3）伸缩性：u（x）∈Vj⇔u（Mx）∈Vj－1，∀j∈Z

（4）Riesz基：存在g∈V0，使得{g（x－k）｜k∈Z}，构成V0的Riesz基，即对任何u∈V0，存在唯一序列{ak}∈l2，使反之，任何序列{ak}∈l2确定一函数u∈V0，且存在常数A，B，使得0＜A＜B且则称{Vj}j∈Z为一个M进制的多尺度分析。

事实上，Vj由{Mj/2φ（Mjx－k）｜k∈Z}生成，Wj由{Mj/2ψs（Mjx－k）｜1≤s≤M-1，k∈Z}生成，其中，φ（x）为尺度函数，{ψs（x），1≤s≤M-1}为基本小波函数，当M=2时，基本小波函数仅有一个，它可以由φ（x）明确地表示，但当Mffgt;2时，基本小波函数有M-1个，不能用φ（x）简单表示。从多尺度分析的定义知道尺度函数满足一个尺度方程：

定义尺度方程的共轭滤波器为：

与二进制小波的双尺度方程对应，多进制小波有细分方程。

设M为不小于2的正整数，当一个缓增分布f满足

时，则称f为细分分布，而上式(6)称为细分方程[2]。

1.2 二维图像的多进制小波分解和重构

二维图像为一有限能量函数f（x，y）∈L2（R2），利用一维小波，可以构造二维张量积小波。可以证明，若φ（x）生成一L2（R）上的多分辨率分析，则φ（x，y）＝φ（x）φ（y）生成一L2（R2）上的多分辨率分析，此时有M2－1个小波函数ψs1，s2，即

类似一维情形，若f在Vj＋1中的投影fj＋1有表达式

2 八进制小波分解

八进制小波分解是标准的二进制小波分解的自然延伸，而它比之二进制小波分解的优点在于：八进制小波分解能把图像信息分解到更多频道上，从而可对图像进行更细节的信息分析。鉴于八进制小波的这种特性能够很好的适应纹理信息多频道分布的特点，已在图像处理和模式识别中有着广泛的应用。如果使用八进制小波变换作为滤波器，那么一维的八进制小波变换是由1个低通滤波器和7个高通滤波器组成的滤波器组。因此，当一个一维信号经八进制小波变换后，得到1个模糊信号（低频信号）和7个细节信号（高频信号）。将一维的八进制小波变换推广到二维的八进制小波变换，则变换所需的滤波器就由1个低通滤波器和63个高通滤波器组成的滤波器组。于是对于一幅图像，经滤波后得到1幅原图像的模糊像和63幅细节图像。下面是本文在做八进制小波分解中所用的八进制Haar小波面具（如表1），以及八进制小波分解图像示例（如图1）。

表1 八进制Haar小波面具

图1 图像的八进制小波分解

对图像进行二维八进制小波分解，产生64个子带（子图像），每个子带（子图像）如图2所示，其中，L表示低频，Hi（1≤i≤7）表示不同方向上的高频。

图2 图像八进制小波分解示意图

3 在图像处理中的应用

3.1 在图像变焦技术中的应用

在图像变焦技术中，多进制小波变换可用于放大或者缩小图像，在文献[3]中基于多进制小波变换研究了图像缩小问题。基本思想就是对原图像做多进制小波分解，取其低频部分作为缩小M倍的图像。其优点就是可以直接得到任意整数倍数的缩小图像,且只需在原来的图像上一次完成。

3.2 在医学图像检索中的应用

在医学图像检索中，多进制小波也有很大的应用，在文献[4]中就提出一种基于M进制小波变换的纹理特征图像检索算法，利用M进制小波变换运算效率高、占用内存小、易于硬件实现等特点，直接在M进制小波变换域提取多通道纹理特征,实现了图像的快速检索，得到了很好的应用。

3.3 在纹理图像分割中的应用

多进制小波具有更多的分频段特征，其优点是将一个信号的高频分量缩小到窄的带宽，同时比二进制小波变换更好的能量紧凑性，已有的研究结果[5－6]说明，纹理重要的信息都集中在中、高频子带，所以多进制小波的多频段特征正好适合纹理分析。鉴于此，利用多进制小波变换对纹理图像进行分解和特征提取，然后利用C－均值聚类方法[7]进行纹理分割，已经取得了很好的结果[8]。

多进制小波在图像处理和分析中已有的应用还包括图像压缩、边缘检测、图像融合、图像分类等。

4 结束语

多进制小波是近几年刚刚发展起来的小波分析理论的一个新的组成部分,它提供了更大的小波选择范围,并找到了具有更好性质的小波函数,而这些性质是二进制小波所不具备的。另外，它的多频段特征非常适合纹理分析，因此多进制小波将会在图像处理以及模式识别中有更大的应用。我们将多进制小波已成功应用于人脸识别等模式识别领域，其结果将另文发表。

［1］Stéphane Mallat.信 号 处 理 的 小 波 导 引[M].杨 力 华,等,译.机 械 工 业 出 版 社,2002

［2］黄达人,毕宁,孙颀彧.多进制小波分析[M].浙江大学出版社,2001.

［3］杨晓梅.多进制小波变换及其在影像分析中的应用[J].中国图象图形学报,1999,4(2)：157-160.

［4］王立恒,杨燕,廖亚丽,等.基于移动Agent技术的医学图像检索方法[J].武汉大学学报：理学版,2004,50(5)：624-628.

［5］User M.Texture Classification and Segmentation Using Wavelet Frames[J].IEEE Trans on Image Processing,1995,4(11)：1549-1560.

［6］Randen T,Husφy JH.Filtering for Texture Classification：A Comparative Study[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1999,21(4)：290-310.

［7］Anderberg M R.Cluster Analysis for Applications[M].New York：Academic Press,1973.

［8］李锋,黄达人,毕宁,等.基于多进制小波变换的纹理图像分割[J].模式识别与人工智能,2004,17(3)：286-290.