存在无风险资产和投资比例限制的加权可能性模型及应用研究
2014-12-31付云鹏马树才
付云鹏+马树才
摘要：本文以模糊变量的截集为切入点，给出随机变量取值为模糊数时加权可能性均值、方差和协方差的定义，将其分别作为证券投资收益为模糊数时未来收益、风险和不同证券收益之间相关程度的度量，构建了基于加权可能性均值-方差的组合投资决策模型；通过在加权可能性均值-方差模型中加入无风险资产和投资比例限制而使模型结构更加完整，应用过程中更加贴近实际情况，并结合中国证券市场的实际运行状况将三个模型的实证结果进行了对比分析。
关键词： 模糊数； 加权可能性均值； 加权可能性方差； 无风险资产； 投资比例
中图分类号： F830 文献标识码： A
证券市场是现代金融体系的一个重要的组成部分，证券市场的基本功能之一就是为资金盈余者提供投资对象，为资金短缺者提供资金来源。由于受到国际形势、国家宏观经济状况、企业自身经营情况和自然灾害等不确定性因素的影响，投资的收益和风险无法精确地描述和刻画，如何在投资过程中寻求到投资的收益高而风险低的最优策略是投资者关心的首要问题。组合投资使投资者投资于各种证券的资金适当分散化，将不同的资金份额投资于不同的证券，通过多种证券风险的彼此抵消，达到在保证其收益的同时降低风险的目的。
鉴于组合投资理论研究对象的复杂性，面对这样极为复杂的系统，除了证券收益和风险的自身不确定性外，对该系统的描述也往往不确定。证券组合投资问题的主要研究内容就是在不确定性的系统中分析不确定性的收益及风险，研究建立满足不同类型的投资需求和不同投资环境约束的模型，以及如何获得模型的有效边界。这种不确定性表现为两种不同的形式：一种是事件发生与否以及发生的概率有多大的不确定性，即所谓的随机性；另一种是事件所处的系统状态自身的复杂性，及投资者思维判断的主观性所导致的边界不明确的不确定性，即所谓的模糊性。从信息观点看，随机性只涉及到信息的量，而模糊性则关系到信息的含义，可以说模糊性是一种比随机性更为深刻的不确定性。模糊性的存在在现实中也比随机性的存在更为广泛，尤其是在主观认识领域，模糊性的作用远比随机性的作用更为重要。因此，对证券市场中的不确定性进行研究，在模糊环境下研究组合投资问题，将模糊信息考虑到组合投资决策模型的构建之中，建立基于模糊信息处理的组合投资模型，从理论上讲具有非常重要的意义。
一、加权可能性均值、方差的定义及性质
（一）加权可能性均值及性质
定义1：设∈F（R）为模糊变量，的α（α∈（0，1））截集为Aα=[A-α，A+α]，则模糊变量的基于截集的加权可能性均值为：
Ew（）=∫01[λE（A+α）+（1-λ）E（A-α）]dα（1）
其中E（A-α）表示模糊变量的截集左端点的均值，E（A+α）分别表示模糊变量的截集右端点的均值，权重参数λ∈[0，1]为决策者的乐观程度系数。λ值越大，加权可能性均值越偏向于模糊变量的α截集的右端点。此时加权可能性均值越大，说明决策者越乐观；λ值越小，投资者的风险态度越悲观。
当模糊变量为三角型模糊变量=
Ew（）=∫01[λE（A+α）+（1-λ）E（A-α）]dα
=+[SX（]1[]2[SX）]λ-[SX（]1[]2[SX）]（1-λ）（2）
其中=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]ai，=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]pi，=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]qi为实数平均值。
定理1：设两个模糊变量，的α截集分别为Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，k为非负实数，则：
（1）Ew（k）=kEw（）；
（2）Ew（+）=Ew（）+Ew（）。
（二）加权可能性方差与协方差的定义及性质
定义2：设∈F（R）为模糊变量，的α截集为Aα=[A-α，A+α]，则模糊变量的基于截集的加权可能性方差为：
Varw（）=∫01[λVar（A+α）+（1-λ）Var（A-α）]dα（3）
其中Var（A-α）为模糊变量的截集左端点的方差，Var（A+α）为模糊变量的截集右端点的方差，加权可能性方差定义为模糊变量的每个截集的左端点方差Var（A-α）和右端点方差Var（A+α）的加权平均值。权重λ∈[0，1]的值越大，加权可能性方差越接近于截集右端点的方差；λ值越小，加权可能性方差越接近于截集左端点的方差。
定义3：设，∈F（R）为模糊变量，，的α截集分别为Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，则模糊变量，的基于截集的加权可能性协方差为：
Covw（，）=∫01[λCov（A+α，B+α）+（1-λ）Cov（A-α，B-α）]dα（4）
其中Cov（A-α，B-α）为模糊变量，截集的左端点的协方差，Cov（A+α，B+α）Var（A+α）为模糊变量，截集的右端点的协方差。权重λ∈[0，1]值越大，加权可能性协方差越接近于截集右端点的协方差；λ值越小，加权可能性方差越接近于截集左端点的协方差。
定理2：设两个模糊变量，的α截集分别为Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，k为非负实数，则：
（1）Varw（k）=k2Varw（）；
（2）Varw（+）=Varw（）+Varw（）+2Covw（，）。
推论1：设，为模糊变量，m，n为非负实数，则：
Varw（m+n）=m2Varw（）+n2Varw（）+2mnCovw（，）
三角型模糊变量的加权可能性方差为：
Varw（）=∫01[λVar（A+α）+（1-λ）Var（A-α）]dα=Var（a）+λCov（a，q）-（1-λ）Cov（a，p）+[SX（]1[]3[SX）]λVar（q）+[SX（]1[]3[SX）]（1-λ）Var（p）（5）
当i，j为三角型模糊变量i=
Covw（i，j）=Cov（ai，aj）+[SX（]1[]2[SX）]λ[Cov（ai，qj）+Cov（aj，qi）]-[SX（]1[]2[SX）]（1-λ）[Cov（ai，pj）+Cov（aj，pi）]（6）
二、加权可能性均值-方差的组合投资模型
（一）模型构建
假设市场上有n种风险资产可以进行组合投资，设风险资产i资产的预期收益率为i（i=1，2，…，n），xi（0xi1）为投资者投资于证券i的比例，于是该证券组合投资的预期收益率=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii也是一个模糊数，若模糊收益率i的α∈[0，1]）截集为（ri）α={x∈X|i（x）α}=[r-iα，r+iα]，根据加权可能性均值的定义，可知组合投资的预期收益率的可能性均值为：
Ew（）=Ew∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xiEw（i）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi∫01[λE（r+iα+（1-λ）E（r-iα）]dα]
其中权重参数λ的取值反映了投资者对组合资产的未来收益的乐观程度，组合资产的模糊收益率的加权可能性方差为：
Varw（）=Varw（∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2Varw（i）+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixjCovw（i，j）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2∫01[λVar（r+iα+（1-λ）Var（r-iα）]dα+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixj∫01[λCov（r+iα，r+jα+（1-λ）Cov（r-iα，r-jα）]dα
其中，权重参数λ的取值反映了投资者对组合投资的未来风险的乐观程度。若用证券组合投资的预期收益率的加权可能性均值和加权可能性方差，分别作为证券投资未来收益和风险的度量，则在预先给定收益率的下限为μ（μ>0）的条件下，选择投资组合使其总风险最小的组合投资模型可表示为：
min Varw（）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2Varw（i）+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixjCovw（i，j）
s.t.Ew（）μ
∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi=1
xi0（7）
（二）实证分析
选取上海证券交易所中上市的8种股票进行组合投资，具体名称和代码见表1，样本数据选取上述8种股票从2007年1月到2010年3月，共39个月的月收益率数据的均值作为每种股票的预期收益率。由于股票的价格在同一天中也是波动变化的，本文采用三角型模糊数来表示股票的月收益率，设第i种股票第t个月的最高价格为Git，最低价格为Dit，第一个交易日的开盘价格为Kit，最后一个交易日的收盘价格为Sit，则第i种股票第t个月的月收益率可用三角型模糊数it=
i=
其中T为样本数据的时期数，根据样本数据求得上述8种股票的模糊收益率的中心值及左、右宽度的均值数据见表1。
假设某投资者对投资的收益和风险均持中立的态度，取风险乐观系数为λ=05，此时8种证券的加权可能性均值和加权可能性方差数据分别见表2和表3。将表2和表3中的数据代入到模型（7），可得不同预期收益率下限的不同投资比例与风险见表4。从表4中可以看出随着预期收益率下限的增大，模型的风险值随之增大。投资者根据不同的收益率的下限选择不同的投资比例，同时承担相应的风险。
三、存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型
（一）模型构建
假设投资者将其持有资金按x0（x00）的比例存入银行，视利息收益为无风险收益，其收益率为r0，风险值为0；将其余的资金投资于n种风险资产，第i种风险资产的模糊收益率为i=
（二）实证分析
若投资者除了将全部的持有的资金投资于8种股票外，还将其部分资金存入银行，即投资于无风险资产，当前一年期定期存款利率为225%，将其折合为月收益平均利率后为01856%，将表2、表3中的数据和月存款收益率代入模型（9）中，可得不同预期收益率下限的不同投资比例与风险见表5。
从表5中可以看出当投资者的预期收益率小于银行存款月利率01856%时，投资者会将其全部资产存入银行，此时不需要承担任何风险；当预期收益率下限在025%到2%之间时，投资者为了获得更多的收益，将其持有资金投资于股票3、股票5和股票7，随着预期收益率的提高，三种股票的投资比例相应增加，银行存款的比例相应下降；当预期收益率下限为2%时，银行存款的比例下降到5437%，股票3的投资比例增加到1474%，股票5的投资比例增加到2259%，股票7的投资比例增加到829%，在此过程中投资者所需承担的风险值也由00722增加到572324；当预期收益率下限在25%到4%之间时，股票3、股票5和股票7的投资比例继续增加，银行存款的投资比例继续下降，由4809%下降到408%，股票5的投资比例由2571%上升到475%，风险值也由740908上升到2529464；当预期收益率下限为42686%时，此时银行存款的投资比例为0，全部资金投资于股票4，此时模型的风险达到最大值3572106。
四、存在投资比例限制的加权可能性均值-方差组合投资模型
（一）模型构建
在证券交易市场中，证券的交易数量往往会受到一定的限制，投资者在实际投资决策中也可能基于各方面因素的综合考虑，常常对于资金的分配有一定的最高投资比例和最低投资比例的主观限制。为满足上述要求，本文建立存在投资限制条件下的加权可能性均值-方差投资模型如下：
（二）实证分析
若投资者为避免风险将其资金存入银行的比例限制在10%-30%之间，为保证投资的分散性将每种股票的投资比例也做适当的限制，设投资比例的上、下界限制向量分别为：
将表2和表3中数据代入模型（10），可得到不同预期收益率下限的投资比例和风险见表6。从表6中可以看出当预期收益率下限小于1669%时，投资者将其全部资金的30%投资于无风险资产，1%投资于风险资产1，将167%投资于风险资产2，1%投资于风险资产3，213%投资于风险资产4，452%投资于风险资产5，131%投资于风险资产6，1%投资于风险资产7，2641%投资于风险资产8，在8种风险资产中投资比例最大的是资产8，风险资产1、3、7只达到预先给的投资比例下限，此时投资者所有承担的风险为873144。在本例中投资者所能达到的最高的收益率为36561%，此时承担的风险值为2256776。虽然在投资者对风险的乐观程度为中性的时候，即λ=05时，8种风险资产收益率的加权可能性均值中有两种资产：资产3的收益率的加权可能性均值为42686%，资产5的收益率的加权可能性均值为4117%，大于模型中所能达到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投资比例的限制，无法达到更高的收益水平；同时，投资者所有承担的最高风险值2256776，也要小于没有投资比例限制的最高风险值3572016。
五、模型的比较分析
本文构建的模型（9）在模型（7）的基础上增加了无风险资产，由于无风险资产的收益率相对较低，在预期收益率下限较小的时候，投资者可以获得无风险的收益。随着投资者预期收益率的提高，投资于无风险资产的比例在逐渐地下降，但是当投资者的预期收益率的下限很大的时候，无风险资产的投资比例为0。模型（10）在模型（9）的基础上增加了投资比例的限制。在为了保证投资的分散性，事先对每种资产的投资比例做了最高和最低的投资比例限制，虽然投资者在这种情况下所能达到的预期收益率水平降低了，但是其承担的风险的最大值也变小了。
三种模型的风险收益关系图见图1，从图1中可以看出三种模型中投资者所承担的风险值都是随着预期收益率的增加而增加；在不存在无风险资产的模型中，尽管预期收益率下限很低，小于225%，这时投资者仍要承担较大的风险，其值为1764268；同样对于存在无风险资产的模型，对应于同一个预期收益率下限水平225%，投资者所需承担的风险值仅为740908。因为此时投资者将其全部资产的4809%存入银行，这部分投资无需承担任何风险，只有其投资于股票3的1474%、投资于股票5的2259%和投资于股票7的829%是需要承担风险的。但是，当预期收益率下限大于425%时，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中无风险资产的投资比例下降为0，也就是说决策者将全部资产投资于风险资产。此时两种模型的预期值相同时，风险值也相同，两个模型的风险-收益关系图像重合。
存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的风险收益关系图像，位于存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型和加权可能性均值-方差模型的风险收益关系图之间，这说明对应于同一个预期收益率下限的值，存在投资比例限制的模型加权可能性均值-方差模型的风险值，介于加权可能性均值-方差模型和存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值中间。例如当投资者的预期收益率为275%时，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的风险值为1204906，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值为1143266，加权可能性均值-方差模型的风险值为1824404。这是因为在存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型中有30%的资金投资于无风险资产，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中3551%的资金投资于无风险资产，而加权可能性均值-方差模型将全部资金投资于风险资产，故其风险值最大。但是，由于受到投资比例的限制，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型最大收益无法达到另外两个模型同样的42686%，其所能到达的最大值为36561%。因此，在图1中存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的收益-风险曲线要比另外两条曲线短。
六、结论
本文通过在基于加权均值-方差的组合投资模型中加入无风险资产和投资比例限制的条件，使得模型更加完善、应用过程中更加贴近实际情况。在预期收益率较低的情况下，研究表明存在无风险资产的模型比没有无风险资产的模型具有更小的风险。但是，当预期收益率下限大于425%时，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中无风险资产的投资比例下降为0，此时两种模型的预期值相同时，风险值也相同。在同一个预期收益率下限的情况下，存在投资比例限制的模型加权可能性均值-方差模型的风险值，介于加权可能性均值-方差模型和存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值中间。但是，由于受到投资比例的限制，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型最大预期收益的最大值比另外两个模型的最小。
参考文献：
[1] Tanaka H.，Guo P.& Túrksen I.B.Portfolio selection based on fuzzy probabilities and possibility distributions[J].Fuzzy Sets and Systems， 2000，111：387-397.
[2] Carlsson C.， Fuller R.， Mailender P.Possibilistic Approach to Selecting Portfolios with Highest Utility Score[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，131：13-21.
[3] 张卫国.现代投资组合理论——模型、方法与应用[M].北京：科学出版社，2007.
[4] 陈炜，张润彤，杨玲.存在融资条件下证券组合选择的一种模糊决策方法[J].北京交通大学学报， 2007（3）：67-70.
[5] 洪雁，邵全，吴祈宗.模糊机会约束规划下的投资组合模型研究[J].数量经济技术经济研究，2005（9）：112-118.
[6] 许若宁，翟晓燕.风险投资决策的模糊分析模型[J].模糊系统与数学，2008（1）：120-126.
[7] 姚邵文.模糊环境下的投资组合模型[J].统计与决策，2009（8）：149-150.
[8] 付云鹏，马树才.一种新的基于可能性均值的证券组合投资决策模型[J].统计与决策，2011（3）：164-166.
[9] 付云鹏，马树才，宋琪.基于模糊空间距离的组合投资模型及应用研究[J].数量经济技术经济研究，2012（8）：124-136.endprint
四、存在投资比例限制的加权可能性均值-方差组合投资模型
（一）模型构建
在证券交易市场中，证券的交易数量往往会受到一定的限制，投资者在实际投资决策中也可能基于各方面因素的综合考虑，常常对于资金的分配有一定的最高投资比例和最低投资比例的主观限制。为满足上述要求，本文建立存在投资限制条件下的加权可能性均值-方差投资模型如下：
（二）实证分析
若投资者为避免风险将其资金存入银行的比例限制在10%-30%之间，为保证投资的分散性将每种股票的投资比例也做适当的限制，设投资比例的上、下界限制向量分别为：
将表2和表3中数据代入模型（10），可得到不同预期收益率下限的投资比例和风险见表6。从表6中可以看出当预期收益率下限小于1669%时，投资者将其全部资金的30%投资于无风险资产，1%投资于风险资产1，将167%投资于风险资产2，1%投资于风险资产3，213%投资于风险资产4，452%投资于风险资产5，131%投资于风险资产6，1%投资于风险资产7，2641%投资于风险资产8，在8种风险资产中投资比例最大的是资产8，风险资产1、3、7只达到预先给的投资比例下限，此时投资者所有承担的风险为873144。在本例中投资者所能达到的最高的收益率为36561%，此时承担的风险值为2256776。虽然在投资者对风险的乐观程度为中性的时候，即λ=05时，8种风险资产收益率的加权可能性均值中有两种资产：资产3的收益率的加权可能性均值为42686%，资产5的收益率的加权可能性均值为4117%，大于模型中所能达到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投资比例的限制，无法达到更高的收益水平；同时，投资者所有承担的最高风险值2256776，也要小于没有投资比例限制的最高风险值3572016。
五、模型的比较分析
本文构建的模型（9）在模型（7）的基础上增加了无风险资产，由于无风险资产的收益率相对较低，在预期收益率下限较小的时候，投资者可以获得无风险的收益。随着投资者预期收益率的提高，投资于无风险资产的比例在逐渐地下降，但是当投资者的预期收益率的下限很大的时候，无风险资产的投资比例为0。模型（10）在模型（9）的基础上增加了投资比例的限制。在为了保证投资的分散性，事先对每种资产的投资比例做了最高和最低的投资比例限制，虽然投资者在这种情况下所能达到的预期收益率水平降低了，但是其承担的风险的最大值也变小了。
三种模型的风险收益关系图见图1，从图1中可以看出三种模型中投资者所承担的风险值都是随着预期收益率的增加而增加；在不存在无风险资产的模型中，尽管预期收益率下限很低，小于225%，这时投资者仍要承担较大的风险，其值为1764268；同样对于存在无风险资产的模型，对应于同一个预期收益率下限水平225%，投资者所需承担的风险值仅为740908。因为此时投资者将其全部资产的4809%存入银行，这部分投资无需承担任何风险，只有其投资于股票3的1474%、投资于股票5的2259%和投资于股票7的829%是需要承担风险的。但是，当预期收益率下限大于425%时，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中无风险资产的投资比例下降为0，也就是说决策者将全部资产投资于风险资产。此时两种模型的预期值相同时，风险值也相同，两个模型的风险-收益关系图像重合。
存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的风险收益关系图像，位于存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型和加权可能性均值-方差模型的风险收益关系图之间，这说明对应于同一个预期收益率下限的值，存在投资比例限制的模型加权可能性均值-方差模型的风险值，介于加权可能性均值-方差模型和存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值中间。例如当投资者的预期收益率为275%时，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的风险值为1204906，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值为1143266，加权可能性均值-方差模型的风险值为1824404。这是因为在存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型中有30%的资金投资于无风险资产，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中3551%的资金投资于无风险资产，而加权可能性均值-方差模型将全部资金投资于风险资产，故其风险值最大。但是，由于受到投资比例的限制，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型最大收益无法达到另外两个模型同样的42686%，其所能到达的最大值为36561%。因此，在图1中存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的收益-风险曲线要比另外两条曲线短。
六、结论
本文通过在基于加权均值-方差的组合投资模型中加入无风险资产和投资比例限制的条件，使得模型更加完善、应用过程中更加贴近实际情况。在预期收益率较低的情况下，研究表明存在无风险资产的模型比没有无风险资产的模型具有更小的风险。但是，当预期收益率下限大于425%时，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中无风险资产的投资比例下降为0，此时两种模型的预期值相同时，风险值也相同。在同一个预期收益率下限的情况下，存在投资比例限制的模型加权可能性均值-方差模型的风险值，介于加权可能性均值-方差模型和存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值中间。但是，由于受到投资比例的限制，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型最大预期收益的最大值比另外两个模型的最小。
参考文献：
[1] Tanaka H.，Guo P.& Túrksen I.B.Portfolio selection based on fuzzy probabilities and possibility distributions[J].Fuzzy Sets and Systems， 2000，111：387-397.
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[6] 许若宁，翟晓燕.风险投资决策的模糊分析模型[J].模糊系统与数学，2008（1）：120-126.
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[8] 付云鹏，马树才.一种新的基于可能性均值的证券组合投资决策模型[J].统计与决策，2011（3）：164-166.
[9] 付云鹏，马树才，宋琪.基于模糊空间距离的组合投资模型及应用研究[J].数量经济技术经济研究，2012（8）：124-136.endprint
四、存在投资比例限制的加权可能性均值-方差组合投资模型
（一）模型构建
在证券交易市场中，证券的交易数量往往会受到一定的限制，投资者在实际投资决策中也可能基于各方面因素的综合考虑，常常对于资金的分配有一定的最高投资比例和最低投资比例的主观限制。为满足上述要求，本文建立存在投资限制条件下的加权可能性均值-方差投资模型如下：
（二）实证分析
若投资者为避免风险将其资金存入银行的比例限制在10%-30%之间，为保证投资的分散性将每种股票的投资比例也做适当的限制，设投资比例的上、下界限制向量分别为：
将表2和表3中数据代入模型（10），可得到不同预期收益率下限的投资比例和风险见表6。从表6中可以看出当预期收益率下限小于1669%时，投资者将其全部资金的30%投资于无风险资产，1%投资于风险资产1，将167%投资于风险资产2，1%投资于风险资产3，213%投资于风险资产4，452%投资于风险资产5，131%投资于风险资产6，1%投资于风险资产7，2641%投资于风险资产8，在8种风险资产中投资比例最大的是资产8，风险资产1、3、7只达到预先给的投资比例下限，此时投资者所有承担的风险为873144。在本例中投资者所能达到的最高的收益率为36561%，此时承担的风险值为2256776。虽然在投资者对风险的乐观程度为中性的时候，即λ=05时，8种风险资产收益率的加权可能性均值中有两种资产：资产3的收益率的加权可能性均值为42686%，资产5的收益率的加权可能性均值为4117%，大于模型中所能达到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投资比例的限制，无法达到更高的收益水平；同时，投资者所有承担的最高风险值2256776，也要小于没有投资比例限制的最高风险值3572016。
五、模型的比较分析
本文构建的模型（9）在模型（7）的基础上增加了无风险资产，由于无风险资产的收益率相对较低，在预期收益率下限较小的时候，投资者可以获得无风险的收益。随着投资者预期收益率的提高，投资于无风险资产的比例在逐渐地下降，但是当投资者的预期收益率的下限很大的时候，无风险资产的投资比例为0。模型（10）在模型（9）的基础上增加了投资比例的限制。在为了保证投资的分散性，事先对每种资产的投资比例做了最高和最低的投资比例限制，虽然投资者在这种情况下所能达到的预期收益率水平降低了，但是其承担的风险的最大值也变小了。
三种模型的风险收益关系图见图1，从图1中可以看出三种模型中投资者所承担的风险值都是随着预期收益率的增加而增加；在不存在无风险资产的模型中，尽管预期收益率下限很低，小于225%，这时投资者仍要承担较大的风险，其值为1764268；同样对于存在无风险资产的模型，对应于同一个预期收益率下限水平225%，投资者所需承担的风险值仅为740908。因为此时投资者将其全部资产的4809%存入银行，这部分投资无需承担任何风险，只有其投资于股票3的1474%、投资于股票5的2259%和投资于股票7的829%是需要承担风险的。但是，当预期收益率下限大于425%时，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中无风险资产的投资比例下降为0，也就是说决策者将全部资产投资于风险资产。此时两种模型的预期值相同时，风险值也相同，两个模型的风险-收益关系图像重合。
存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的风险收益关系图像，位于存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型和加权可能性均值-方差模型的风险收益关系图之间，这说明对应于同一个预期收益率下限的值，存在投资比例限制的模型加权可能性均值-方差模型的风险值，介于加权可能性均值-方差模型和存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值中间。例如当投资者的预期收益率为275%时，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的风险值为1204906，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值为1143266，加权可能性均值-方差模型的风险值为1824404。这是因为在存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型中有30%的资金投资于无风险资产，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中3551%的资金投资于无风险资产，而加权可能性均值-方差模型将全部资金投资于风险资产，故其风险值最大。但是，由于受到投资比例的限制，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型最大收益无法达到另外两个模型同样的42686%，其所能到达的最大值为36561%。因此，在图1中存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型的收益-风险曲线要比另外两条曲线短。
六、结论
本文通过在基于加权均值-方差的组合投资模型中加入无风险资产和投资比例限制的条件，使得模型更加完善、应用过程中更加贴近实际情况。在预期收益率较低的情况下，研究表明存在无风险资产的模型比没有无风险资产的模型具有更小的风险。但是，当预期收益率下限大于425%时，存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型中无风险资产的投资比例下降为0，此时两种模型的预期值相同时，风险值也相同。在同一个预期收益率下限的情况下，存在投资比例限制的模型加权可能性均值-方差模型的风险值，介于加权可能性均值-方差模型和存在无风险资产的加权可能性均值-方差模型的风险值中间。但是，由于受到投资比例的限制，存在投资比例限制的加权可能性均值-方差模型最大预期收益的最大值比另外两个模型的最小。
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