考虑液体晃动效应的运载火箭等效转动惯量对姿控系统稳定裕度的影响

司 成，余延生，姚春燕

（1.上海宇航系统工程研究所，上海 201109；2.上海航天控制技术研究所，上海 200233）

0 引言

大型运载火箭目前多以液体推进剂作为动力，推进剂质量占全箭总质量约90%，液体晃动对火箭控制系统影响显著，是动力学建模不可忽视的因素。工程上将液体运动等效为一定的力学模型，其中包含随贮箱运动和晃动两部分。前者用固定质量块表示，后者用弹簧－质点表示，通过理论计算分析得到弹簧－质点模型的特性参数，用于稳定系统的设计。

总体在设计运载火箭总体参数时，须给出全箭绕纵轴的转动惯量Jz和质心位置Xz。传统方法是将全部推进剂假设为固化物体以简化设计，因简化引起的误差通过加大参数的偏差范围加以考虑，同时将此偏差传递给稳定系统设计，但较大的参数变化范围增加了稳定系统设计的难度。

现有资料表明，采用这种简化的液态晃动处理方法后，全箭质心位置与实际情形相差不大，但火箭液体贮箱的有效转动惯量与液体固化时的转动惯量之比可达15%～65%，误差较明显［1］。因此，稳定系统参数设计时应考虑推进剂晃动带来的有效转动惯量变化的影响。

针对某两级火箭，本文定量分析了推进剂晃动引起的有效转动惯量对箭体动力学参数的影响，同时根据火箭特点，在选取的特征秒点，仿真分析了对火箭稳定系统裕度的影响。

1 液体晃动引起的等效转动惯量变化

鉴于液体晃动对绕箭体纵轴（X轴）的转动惯量Jx影响很小，本文讨论仅限于对俯仰、偏航运动影响较大的绕横轴（Y、Z轴）的转动惯量Jz的变化。由于俯仰和偏航通道的对称性，分析以俯仰通道为例。

可从运动机理分析液体晃动引起的箭体转动惯量变化：浅箱转动时，贮箱上下底对运动的约束作用较强，较多液体随贮箱转动，液体转动惯量相对固化处理偏差不大；深箱转动时，侧壁对液体运动影响较大，较多液体随贮箱转动，液体转动惯量下降不明显；介于两者之间的中等深度液体，上下底及侧壁对液体运动的约束不强，转动惯量下降较明显［1］。

根据NASA的分析，在大部分液位高度，有效转动惯量与固化液体转动惯量相当；但在少数液位状态，两者差别较大［2－3］。考虑液体晃动的贮箱等效转动惯量与经固化处理得到的转动惯量随液位高度的变化规律如图1所示。图中：h为液位高度／箱体；d为直径。国内某研究所针对液体有效转动惯量的试验数据支持了图1的分析结论［4］。

1.1 液体晃动对一级转动惯量Jz的影响

某火箭一级氧化剂箱、燃烧剂箱液位高度与直径比为0～3。根据图1，当液体晃动高度h与贮箱直径d相当时，其等效转动惯量下降最明显，等效值约为固化计算值的19%。根据火箭相关数据，典型液位高度下氧化剂箱、燃烧剂箱等效转动惯量变化分别见表1、2。

图1 不同液位高度／箱体直径比下等效转动惯量与固化液体转动惯量之比Fig.1 Relation between equivalent inertial moment and ratio of liquid depth／tank diameter

由图1可知：在某些液位高度，液体晃动时贮箱等效转动惯量与固化处理的比值较小，最小0.15左右，因此有必要分析充液贮箱对全箭转动惯量的影响。

计算结果表明：在选取的典型液位高度上，考虑推进剂晃动，带来的转动惯量总计最大减小1.46%，小于参数偏差10%的要求。因此，用固化法计算获得的全箭箭体转动惯量在工程上有足够的精确性。

究其原因，推进剂贮箱对全箭的惯量贡献中包括绕自身纵轴项惯量及移轴项部分，后者由于距离全箭质心距离较大而成为主要项，使液体晃动导致的转动惯量减小的影响并不明显。

1.2 液体晃动对二级转动惯量Jz的影响

某运载火箭二级贮箱液位高度与直径的比值为0～0.93。考虑火箭二级飞行过程中，加满状态下箱顶对液体晃动有较强的抑制作用，此时图1理论分析结果适用性较差。因此二级分析考虑液位高度h／d＝0.77的35s时刻及h／d＝0.53的90s。此时液体晃动效应较显著，稳定系统设计裕度较低。

表1 不同液位高度的氧箱等效转动惯量Tab.1 Equivalent inertial moment under various liquid depth／tank diameter ratio（Y1－tank）

表2 燃箱等效转动惯量Jz的变化Tab.2 Relation between equivalent inertial moment and the ratio of liquid depth／tank diameter（R1－tank）

计算所得的氧箱和燃箱等效转动惯量变化分别见表3、4。

二级计算结果表明，液体晃动带来的转动惯量减小总计达全箭惯量的13.9%，超出了参数偏差10%的指标要求，对稳定系统设计裕度会产生不利影响。

2 液体晃动对稳定系统裕度的影响

由上述分析可知，液体晃动导致的一级箭体等效转动惯量下降不明显，二级箭体等效转动惯量变化较大。

2.1 箭体稳定系统动力学模型

全箭绕横轴的转动惯量变化，直接影响绕横轴的转动运动。箭体绕横轴的转动运动动力学模型为

式（1）～（7）为箭体运动动力学线化模型，稳定系统以此为基础，设计合适的校正网络，使系统具有各项裕度。模型中，式（2）为力矩方程，各项力矩系数bi均为转动惯量Jz的函数，当转动惯量变化时，力矩方程系数随之而变，从而对系统设计的稳定裕度产生影响。

表3 氧箱等效转动惯量Jz的变化Tab.3 Equivalent inertial moment under various liquid depth／tank diameter ratio（Y2－tank）

表4 燃箱等效转动惯量Jz的变化Tab.4 Equivalent inertial moment under various liquid depth／tank diameter ratio（R2－tank）

2.2 对稳定系统设计裕度的影响

根据上述分析结果，选取二级35，90s液体晃动等效效应影响最强的特征点，对系统刚体、晃动、弹性裕度的变化情况进行仿真。其中35s高频段弹性裕度变化见表5。考虑晃动效应后，转动惯量的变化对系统裕度的影响主要集中在中、低频段，而对高频段的弹性裕度影响有限。

二级35s刚晃稳定裕度仿真结果对见表6；二级90s刚晃稳定裕度仿真结果见表7。

表5 考虑晃动效应后二级35s高频裕度Tab.5 Marge of system on high frequency in second stage at 35s

表6 考虑晃动效应后二级35s刚晃稳定裕度比较Tab.6 Marge of system on low－mid frequency in second stage at 35s

表7 考虑晃动效应后二级90s刚晃稳定裕度比较Tab.7 Marge of system on low－mid frequency in second stage at 90s

仿真结果表明：在液体晃动等效效应较明显的时刻，液体晃动对系统稳定裕度有一定的影响，具体而言，对刚体低频幅裕度（圆频率0.6～0.7）影响较小；刚体高频幅裕度（圆频率约20）下降最大约2.2dB；晃动相裕度下降约10.7°（圆频率5～6）。液体晃动的等效效应对系统中、低频段的幅、相裕度均产生一定的不利影响。

上述分析是在系统额定状态下进行的。当考虑其他参数偏差组合进行系统上、下限分析时，由于系统参数组合情况较恶劣，再加上液体晃动等效效应对系统裕度的影响，35s时仿真结果，系统出现了晃动不稳定的现象。

3 结束语

本文根据圆柱贮箱液体晃动试验结果，分析了液体晃动对某型火箭绕横轴的转动惯量的影响，给出了考虑液体晃动和固化处理两种处理方法全箭转动惯量的变化情况，并在此基础上，仿真分析了对姿控系统设计裕度的影响。结果表明：液体晃动的等效效应对一级转动惯量Jz的影响较小，对二级转动惯量Jz的影响较大；进一步分析表明，等效转动惯量对二级高频稳定裕度基本不产生影响，而系统的中、低频稳定裕度均有一定程度的下降。当系统设计的刚体、晃动裕度较低时，应当关注液体晃动等效效应对系统裕度的影响，防止姿控系统失稳现象的发生。

［1］ 马斌捷，刘 桢，林 宏.航天器贮箱液体有效转动惯量［J］.导弹与航天运载技术，2011（2）：22－25.

［2］ ABRAMSON H N.The dynamic behavior of liquids in moving containers［R］.NASA SP－106，1966.

［3］ STOFAN A J，SUMMER I E.Experimental investigation of liquid sloshing in a scale－model centaur liquid－hydrogen tank［R］.Lewis Research Center，1966.

［4］ 方良玉.圆柱形贮箱中的液体有效转动惯量及其实验研究［J］.强度与环境，1989，16（4）：27－32.

［5］ 导弹与航天丛书系列编辑委员会.控制系统（上）［M］.北京：宇航出版社，1989.