机械波相干叠加问题的思考与分析

汪洁+郭利娜

摘 要：机械波是大学物理教学中的重点也是难点，以平面简谐波为例，具体阐明了波动方程所描述的物理意义，讨论了介质中两相干波源传播过程中各点的相位差，分析了其相干叠加过程，对学生在此问题中易犯的错误进行了分析，并利用数值模拟与数值计算软件Matlab做出相干叠加效果图，便于学生清晰明确地理解。

关键词：机械波  相位  相干叠加

中图分类号：G64    文献标识码：A  文章编号：1674-098X（2014）11（a）-0078-02

机械波是振动的系统在弹性介质中的传播，波动中传播的只是振动状态和能量。不同性质的波动虽然机制各不相同，但它们在空间的传播规律却具有共性。波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质元上，我们通常是以平面简谐波（横波）为例来研究机械波的性质和规律，任何复杂波都可以分解为频率或波长不同的许多平面简谐波的叠加。而平面简谐波的描述是由波动方程给出的，波动的基本规律不仅适用于机械波，而且还适用于电磁波、光波以及实物粒子的德布罗依波，因而正确掌握平面简谐波波动方程的物理意义和正确运用它来解决实际问题对今后有关部分的学习无疑会打下良好的基确，获得事半功倍的效果。

1 平面简谐波波动方程所描述的物理意义

平面简谐波在介质中传播，虽然各质点都按余弦（或正弦）规律运动，但同一时刻各质点的运动状态各不相同。平面简谐波的波动方程是描述波射线上各点做简谐振动的情况，它是任一波线上任一点的振动方程的通式[1]。

设有一平面简谐波，在理想介质中沿着x轴传播，x轴即为某一波射线，在此波射线上任取一点为坐标原点，已知原点O的振动方程为：，设波动在介质中传播时的传播速度为u，当振动传到介质中的各个质点时，各质点重复波源的振动。并且，沿波的传播方向上的各质点振动的相位依次落后，则可得到波沿正、负向传播的波动方程为：，大学物理教材在推导波动方程时，都是把波源放在坐标原点。但是在习题中波源往往不在坐标原点，如果直接使用教材上的公式计算就会出错，因此我们将该问题引申一下：（1）若已知点的振动不在原点，已知始点P的振动方程为：，且P点的位置坐标为x0，则我们可推导出机械波沿正负方向传播的波动方程[2-3]：;这里不论坐标原点O与P点是否在同一波线上，此式均适用。（2）若坐标原点O与始点P不在同一波射线，如图1：假设A点为波源，已知始点P的振动方程为：，同理可以得到正、负向传播的波动方程为：

这里需要注意公式的适用范围：正向波中，x≥xA才有物理意义，而在负向波中，x≤xA才有物理意义。

2 机械波在介质中传播，任意两点之间的相位差

机械波在介质中传播振动状态，确定系统任意时刻振动状态的一个重要的物理量是振动的相位[4-5]，研究同一时刻单个机械波在波线上坐标为x1和x2两点处质点振动的相位分别为：

它们的相位差为（1），得出了在同一时刻，波线上任意两点的相位差Δφ与波程差Δx的关系，反映了两个振动不同程度的参差错落。若介质中的两点在不同的波射线上，又该如何来求两点的相差呢？如，一平面简谐波沿x轴传播，波长为λ，频率为f，波源位于So点。

如图2所示，以波源So处为坐标原点O，C、D两点坐标分别为-xC，xD，如果用公式（1）来求C、D 两点的相差就会出错，我们可先求D、O两点的相差ΔφDO和C、O两点的相差ΔφCO：

，

。则C、D两点的相差：。从以上例子中我们可以得出波源、始点的位置及波射线的方向都对波动方程及质点的振动状态有影响，是我们必须要仔细分析的。

3 两相干机械波源相遇区域各点的相位差及相干叠加后的振幅

如果是两个相干波源，在两机械波相遇的区域就会发生相干叠加，在相遇的区域各点的相位差又如何求？比如，有S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距λ/4，S1较S2位相超前π/2，如图3所示。

由于是相干波源，S1S2满足频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差相同或位相差恒定的相干条件。假设以S1为原点，沿S1S2方向建立x坐标轴，并假设S1S2都可以同时沿着x坐标轴的正、负方向传播。S1的振动方程为：（由已知S1较S2位相超前π/2），可得到S1同时沿x轴正、负向传播的波动方程：

≥  （2）

≤  （3）

同理可得，S2同时沿x轴正、负向传播的波动方程为：

≥  （4）

≤  （5）

两波源在相遇区域各点的相位差，可以分三个不同区域进行讨论：

（1）区域Ⅰ：x≤0，S1S2都沿x轴负向传播，适用的波动方程分别为（3）和（5），由于，

所以：，干涉相消。

（2）区域Ⅱ：0≤x≤λ/4，S1沿x轴正向传播，而S2沿x轴负向传播，适用的波动方程分别为（2）和（5），

因此：，叠加后的振幅与位置坐标x有关，

（3）区域Ⅲ：x≥λ/4，S1S2都沿x轴正向传播，适用的波动方程分别为（2）和（4），所以：，干涉相长。

利用Matlab可以作出不同区域的相干叠加效果图如图4：可以清楚的看到相干叠加后的波形图：区域Ⅰ振幅都为0（干涉相消）、区域Ⅱ振幅随着位置坐标x不同、区域Ⅲ为余弦（或正弦）函数（干涉相长）。

学生在处理这类问题时一般会把它简单地分为两个区域：

（1）在区域Ⅰ，距离为的点，传到该点引起的位相差为

，得到合振幅。

（2）在区域Ⅲ，距离为的点，传到该点引起的位相差为，得到合振幅为

。

而对于区域Ⅱ（S1S2之间的区域）就不知怎么分析了。这里还有两个问题需要更正和说明的：（1）题目告诉我们S1和S2两相干波源的振幅为A1，由于机械波中每个质点的距离原点的位移y是时间t和位置坐标x的双重函数，因此这两列波各自单独传播到任一点P时，到达P点时的位移y不一定就是A1，也就是说：在S2外侧，S1S2波源传到该相遇区域在任一点引起的振动位相差为0，两相干波干涉相长，但该点的合振动并不是一个恒定的量2A1，而是如图4中区域Ⅲ部分的曲线所示，仍为原波动方程所描述的余弦（或正弦）函数，由于两波源振幅相同，所以合振幅整体提高了一倍。（2）此外波的强度虽然与振幅的平方成正比，但波的强度I并不一定就等于振幅的平方，所以学生认为在相长干涉中波的强度I=A2=4A12也是不完全正确的，是需要有前提条件的。

4 结语

该文从平面简谐波的波动方程的物理意义出发，对平面简谐波在介质中传播任意两点间的相位差进行了一系列的分析，重在理解平面简谐波在相遇区域相干叠加的相位差和振幅及波的强度，并利用数值模拟和数值计算软件Matlab对所研究对象进行了模拟分析及作图，让学生能更清晰地理解这部分内容，对波的干涉知识融会贯通。

参考文献

[1] 赵近芳.大学物理简明教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2008.

[2] 郭欢，周玉龙.关于机械波中的几个问题[J].黑龙江科技信息，2010（5）.

[3] 杨百愚，冯大毅，张崇辉，等.如何“写”出平面简谐波的波函数[J].物理与工程，2008（10）.

[4] 杨改蓉.如何求解平面简谐波的波动方程[J].实验科学与技术，2006（2）.

[5] 田野，王秀清.关于简谐振动和简谐波的研究（Ⅰ）[J].河北北方学院学报：自然科学版，2005（2）.endprint

摘 要：机械波是大学物理教学中的重点也是难点，以平面简谐波为例，具体阐明了波动方程所描述的物理意义，讨论了介质中两相干波源传播过程中各点的相位差，分析了其相干叠加过程，对学生在此问题中易犯的错误进行了分析，并利用数值模拟与数值计算软件Matlab做出相干叠加效果图，便于学生清晰明确地理解。

关键词：机械波  相位  相干叠加

中图分类号：G64    文献标识码：A  文章编号：1674-098X（2014）11（a）-0078-02

机械波是振动的系统在弹性介质中的传播，波动中传播的只是振动状态和能量。不同性质的波动虽然机制各不相同，但它们在空间的传播规律却具有共性。波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质元上，我们通常是以平面简谐波（横波）为例来研究机械波的性质和规律，任何复杂波都可以分解为频率或波长不同的许多平面简谐波的叠加。而平面简谐波的描述是由波动方程给出的，波动的基本规律不仅适用于机械波，而且还适用于电磁波、光波以及实物粒子的德布罗依波，因而正确掌握平面简谐波波动方程的物理意义和正确运用它来解决实际问题对今后有关部分的学习无疑会打下良好的基确，获得事半功倍的效果。

1 平面简谐波波动方程所描述的物理意义

平面简谐波在介质中传播，虽然各质点都按余弦（或正弦）规律运动，但同一时刻各质点的运动状态各不相同。平面简谐波的波动方程是描述波射线上各点做简谐振动的情况，它是任一波线上任一点的振动方程的通式[1]。

设有一平面简谐波，在理想介质中沿着x轴传播，x轴即为某一波射线，在此波射线上任取一点为坐标原点，已知原点O的振动方程为：，设波动在介质中传播时的传播速度为u，当振动传到介质中的各个质点时，各质点重复波源的振动。并且，沿波的传播方向上的各质点振动的相位依次落后，则可得到波沿正、负向传播的波动方程为：，大学物理教材在推导波动方程时，都是把波源放在坐标原点。但是在习题中波源往往不在坐标原点，如果直接使用教材上的公式计算就会出错，因此我们将该问题引申一下：（1）若已知点的振动不在原点，已知始点P的振动方程为：，且P点的位置坐标为x0，则我们可推导出机械波沿正负方向传播的波动方程[2-3]：;这里不论坐标原点O与P点是否在同一波线上，此式均适用。（2）若坐标原点O与始点P不在同一波射线，如图1：假设A点为波源，已知始点P的振动方程为：，同理可以得到正、负向传播的波动方程为：

这里需要注意公式的适用范围：正向波中，x≥xA才有物理意义，而在负向波中，x≤xA才有物理意义。

2 机械波在介质中传播，任意两点之间的相位差

机械波在介质中传播振动状态，确定系统任意时刻振动状态的一个重要的物理量是振动的相位[4-5]，研究同一时刻单个机械波在波线上坐标为x1和x2两点处质点振动的相位分别为：

它们的相位差为（1），得出了在同一时刻，波线上任意两点的相位差Δφ与波程差Δx的关系，反映了两个振动不同程度的参差错落。若介质中的两点在不同的波射线上，又该如何来求两点的相差呢？如，一平面简谐波沿x轴传播，波长为λ，频率为f，波源位于So点。

如图2所示，以波源So处为坐标原点O，C、D两点坐标分别为-xC，xD，如果用公式（1）来求C、D 两点的相差就会出错，我们可先求D、O两点的相差ΔφDO和C、O两点的相差ΔφCO：

，

。则C、D两点的相差：。从以上例子中我们可以得出波源、始点的位置及波射线的方向都对波动方程及质点的振动状态有影响，是我们必须要仔细分析的。

3 两相干机械波源相遇区域各点的相位差及相干叠加后的振幅

如果是两个相干波源，在两机械波相遇的区域就会发生相干叠加，在相遇的区域各点的相位差又如何求？比如，有S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距λ/4，S1较S2位相超前π/2，如图3所示。

由于是相干波源，S1S2满足频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差相同或位相差恒定的相干条件。假设以S1为原点，沿S1S2方向建立x坐标轴，并假设S1S2都可以同时沿着x坐标轴的正、负方向传播。S1的振动方程为：（由已知S1较S2位相超前π/2），可得到S1同时沿x轴正、负向传播的波动方程：

≥  （2）

≤  （3）

同理可得，S2同时沿x轴正、负向传播的波动方程为：

≥  （4）

≤  （5）

两波源在相遇区域各点的相位差，可以分三个不同区域进行讨论：

（1）区域Ⅰ：x≤0，S1S2都沿x轴负向传播，适用的波动方程分别为（3）和（5），由于，

所以：，干涉相消。

（2）区域Ⅱ：0≤x≤λ/4，S1沿x轴正向传播，而S2沿x轴负向传播，适用的波动方程分别为（2）和（5），

因此：，叠加后的振幅与位置坐标x有关，

（3）区域Ⅲ：x≥λ/4，S1S2都沿x轴正向传播，适用的波动方程分别为（2）和（4），所以：，干涉相长。

利用Matlab可以作出不同区域的相干叠加效果图如图4：可以清楚的看到相干叠加后的波形图：区域Ⅰ振幅都为0（干涉相消）、区域Ⅱ振幅随着位置坐标x不同、区域Ⅲ为余弦（或正弦）函数（干涉相长）。

学生在处理这类问题时一般会把它简单地分为两个区域：

（1）在区域Ⅰ，距离为的点，传到该点引起的位相差为

，得到合振幅。

（2）在区域Ⅲ，距离为的点，传到该点引起的位相差为，得到合振幅为

。

而对于区域Ⅱ（S1S2之间的区域）就不知怎么分析了。这里还有两个问题需要更正和说明的：（1）题目告诉我们S1和S2两相干波源的振幅为A1，由于机械波中每个质点的距离原点的位移y是时间t和位置坐标x的双重函数，因此这两列波各自单独传播到任一点P时，到达P点时的位移y不一定就是A1，也就是说：在S2外侧，S1S2波源传到该相遇区域在任一点引起的振动位相差为0，两相干波干涉相长，但该点的合振动并不是一个恒定的量2A1，而是如图4中区域Ⅲ部分的曲线所示，仍为原波动方程所描述的余弦（或正弦）函数，由于两波源振幅相同，所以合振幅整体提高了一倍。（2）此外波的强度虽然与振幅的平方成正比，但波的强度I并不一定就等于振幅的平方，所以学生认为在相长干涉中波的强度I=A2=4A12也是不完全正确的，是需要有前提条件的。

4 结语

该文从平面简谐波的波动方程的物理意义出发，对平面简谐波在介质中传播任意两点间的相位差进行了一系列的分析，重在理解平面简谐波在相遇区域相干叠加的相位差和振幅及波的强度，并利用数值模拟和数值计算软件Matlab对所研究对象进行了模拟分析及作图，让学生能更清晰地理解这部分内容，对波的干涉知识融会贯通。

参考文献

[1] 赵近芳.大学物理简明教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2008.

[2] 郭欢，周玉龙.关于机械波中的几个问题[J].黑龙江科技信息，2010（5）.

[3] 杨百愚，冯大毅，张崇辉，等.如何“写”出平面简谐波的波函数[J].物理与工程，2008（10）.

[4] 杨改蓉.如何求解平面简谐波的波动方程[J].实验科学与技术，2006（2）.

[5] 田野，王秀清.关于简谐振动和简谐波的研究（Ⅰ）[J].河北北方学院学报：自然科学版，2005（2）.endprint

摘 要：机械波是大学物理教学中的重点也是难点，以平面简谐波为例，具体阐明了波动方程所描述的物理意义，讨论了介质中两相干波源传播过程中各点的相位差，分析了其相干叠加过程，对学生在此问题中易犯的错误进行了分析，并利用数值模拟与数值计算软件Matlab做出相干叠加效果图，便于学生清晰明确地理解。

关键词：机械波  相位  相干叠加

中图分类号：G64    文献标识码：A  文章编号：1674-098X（2014）11（a）-0078-02

机械波是振动的系统在弹性介质中的传播，波动中传播的只是振动状态和能量。不同性质的波动虽然机制各不相同，但它们在空间的传播规律却具有共性。波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质元上，我们通常是以平面简谐波（横波）为例来研究机械波的性质和规律，任何复杂波都可以分解为频率或波长不同的许多平面简谐波的叠加。而平面简谐波的描述是由波动方程给出的，波动的基本规律不仅适用于机械波，而且还适用于电磁波、光波以及实物粒子的德布罗依波，因而正确掌握平面简谐波波动方程的物理意义和正确运用它来解决实际问题对今后有关部分的学习无疑会打下良好的基确，获得事半功倍的效果。

1 平面简谐波波动方程所描述的物理意义

平面简谐波在介质中传播，虽然各质点都按余弦（或正弦）规律运动，但同一时刻各质点的运动状态各不相同。平面简谐波的波动方程是描述波射线上各点做简谐振动的情况，它是任一波线上任一点的振动方程的通式[1]。

设有一平面简谐波，在理想介质中沿着x轴传播，x轴即为某一波射线，在此波射线上任取一点为坐标原点，已知原点O的振动方程为：，设波动在介质中传播时的传播速度为u，当振动传到介质中的各个质点时，各质点重复波源的振动。并且，沿波的传播方向上的各质点振动的相位依次落后，则可得到波沿正、负向传播的波动方程为：，大学物理教材在推导波动方程时，都是把波源放在坐标原点。但是在习题中波源往往不在坐标原点，如果直接使用教材上的公式计算就会出错，因此我们将该问题引申一下：（1）若已知点的振动不在原点，已知始点P的振动方程为：，且P点的位置坐标为x0，则我们可推导出机械波沿正负方向传播的波动方程[2-3]：;这里不论坐标原点O与P点是否在同一波线上，此式均适用。（2）若坐标原点O与始点P不在同一波射线，如图1：假设A点为波源，已知始点P的振动方程为：，同理可以得到正、负向传播的波动方程为：

这里需要注意公式的适用范围：正向波中，x≥xA才有物理意义，而在负向波中，x≤xA才有物理意义。

2 机械波在介质中传播，任意两点之间的相位差

机械波在介质中传播振动状态，确定系统任意时刻振动状态的一个重要的物理量是振动的相位[4-5]，研究同一时刻单个机械波在波线上坐标为x1和x2两点处质点振动的相位分别为：

它们的相位差为（1），得出了在同一时刻，波线上任意两点的相位差Δφ与波程差Δx的关系，反映了两个振动不同程度的参差错落。若介质中的两点在不同的波射线上，又该如何来求两点的相差呢？如，一平面简谐波沿x轴传播，波长为λ，频率为f，波源位于So点。

如图2所示，以波源So处为坐标原点O，C、D两点坐标分别为-xC，xD，如果用公式（1）来求C、D 两点的相差就会出错，我们可先求D、O两点的相差ΔφDO和C、O两点的相差ΔφCO：

，

。则C、D两点的相差：。从以上例子中我们可以得出波源、始点的位置及波射线的方向都对波动方程及质点的振动状态有影响，是我们必须要仔细分析的。

3 两相干机械波源相遇区域各点的相位差及相干叠加后的振幅

如果是两个相干波源，在两机械波相遇的区域就会发生相干叠加，在相遇的区域各点的相位差又如何求？比如，有S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距λ/4，S1较S2位相超前π/2，如图3所示。

由于是相干波源，S1S2满足频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差相同或位相差恒定的相干条件。假设以S1为原点，沿S1S2方向建立x坐标轴，并假设S1S2都可以同时沿着x坐标轴的正、负方向传播。S1的振动方程为：（由已知S1较S2位相超前π/2），可得到S1同时沿x轴正、负向传播的波动方程：

≥  （2）

≤  （3）

同理可得，S2同时沿x轴正、负向传播的波动方程为：

≥  （4）

≤  （5）

两波源在相遇区域各点的相位差，可以分三个不同区域进行讨论：

（1）区域Ⅰ：x≤0，S1S2都沿x轴负向传播，适用的波动方程分别为（3）和（5），由于，

所以：，干涉相消。

（2）区域Ⅱ：0≤x≤λ/4，S1沿x轴正向传播，而S2沿x轴负向传播，适用的波动方程分别为（2）和（5），

因此：，叠加后的振幅与位置坐标x有关，

（3）区域Ⅲ：x≥λ/4，S1S2都沿x轴正向传播，适用的波动方程分别为（2）和（4），所以：，干涉相长。

利用Matlab可以作出不同区域的相干叠加效果图如图4：可以清楚的看到相干叠加后的波形图：区域Ⅰ振幅都为0（干涉相消）、区域Ⅱ振幅随着位置坐标x不同、区域Ⅲ为余弦（或正弦）函数（干涉相长）。

学生在处理这类问题时一般会把它简单地分为两个区域：

（1）在区域Ⅰ，距离为的点，传到该点引起的位相差为

，得到合振幅。

（2）在区域Ⅲ，距离为的点，传到该点引起的位相差为，得到合振幅为

。

而对于区域Ⅱ（S1S2之间的区域）就不知怎么分析了。这里还有两个问题需要更正和说明的：（1）题目告诉我们S1和S2两相干波源的振幅为A1，由于机械波中每个质点的距离原点的位移y是时间t和位置坐标x的双重函数，因此这两列波各自单独传播到任一点P时，到达P点时的位移y不一定就是A1，也就是说：在S2外侧，S1S2波源传到该相遇区域在任一点引起的振动位相差为0，两相干波干涉相长，但该点的合振动并不是一个恒定的量2A1，而是如图4中区域Ⅲ部分的曲线所示，仍为原波动方程所描述的余弦（或正弦）函数，由于两波源振幅相同，所以合振幅整体提高了一倍。（2）此外波的强度虽然与振幅的平方成正比，但波的强度I并不一定就等于振幅的平方，所以学生认为在相长干涉中波的强度I=A2=4A12也是不完全正确的，是需要有前提条件的。

4 结语

该文从平面简谐波的波动方程的物理意义出发，对平面简谐波在介质中传播任意两点间的相位差进行了一系列的分析，重在理解平面简谐波在相遇区域相干叠加的相位差和振幅及波的强度，并利用数值模拟和数值计算软件Matlab对所研究对象进行了模拟分析及作图，让学生能更清晰地理解这部分内容，对波的干涉知识融会贯通。

参考文献

[1] 赵近芳.大学物理简明教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2008.

[2] 郭欢，周玉龙.关于机械波中的几个问题[J].黑龙江科技信息，2010（5）.

[3] 杨百愚，冯大毅，张崇辉，等.如何“写”出平面简谐波的波函数[J].物理与工程，2008（10）.

[4] 杨改蓉.如何求解平面简谐波的波动方程[J].实验科学与技术，2006（2）.

[5] 田野，王秀清.关于简谐振动和简谐波的研究（Ⅰ）[J].河北北方学院学报：自然科学版，2005（2）.endprint