神奇的勾股数

谢青芯

勾三股四弦五，短短六个字，极为精炼地概括了我国一项伟大的数学发现：勾股定理. 大家也许从小学起就略有耳闻，但当时也许并不知道这些小小的数组有多奇妙吧. 今天，就让我们一起走进这神奇的“勾股世界”.

若a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n为正整数），那么a，b，c是勾股数吗？这是老师交给我们的问题. 教室里很快炸开了锅，同学们你一句我一句地争论起来. “会不会跟完全平方有关系啊？”“要不代几个数进去试试看吧！”

我们小组采用了常规的数学探究方法：从特殊到一般. 先从特殊情况开始探究，令m=2，n=1，代入，得a=（m+n）×（m-n）=（2+1）×（2-1）=3×1=3，b=2×2×1=4，c=22+12=5. 按这样的方法得出的数据刚好是3，4，5，即我们最常见的一组勾股数. 这一结果，让我们所有组员欣喜不已. 大家似乎都被激起了斗志，继续寻找着规律. 再次代入两组数据之后，我们都验证得出了与一开始相同的实验结果. 接下来我们决定从一般角度验证这一结果的正确性. 若a，b，c分别为直角三角形的三边（a，b为直角边，c为斜边），则有a2+b2=c2. 将a，b，c所代表的数值代入，得到了（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2.

那么这个等式是否成立呢？我们可以通过计算来证明. 将完全平方式全部展开，得到左边=（m2）2+2m2n2+（n2）2，即（m2+n2）2，与右边式子相等，等式成立，a，b，c为勾股数.

后来，同组的同学提出了一点异议：我们代入的数据都是a、b为直角边，c为斜边，那如果a、c为直角边，b为斜边或b、c为直角边，a为斜边的话，等式还成立吗？这一提问，让所有人再一次陷入了沉思. 于是我们又进行了更深层的探究. 我们又得到了两个式子：（m2-n2）2+（m2+n2）2=（2mn）2和（m2+n2）2+（2mn）2=（m2-n2）2. 经过计算，我们发现这两个结果并不成立. 就是说，a，b，c的结果确实为勾股数，但是在应用时，我们也要注意斜边与直角边的关系.

经过大家的努力探究，我们得到的规律便是：若a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n为正整数），那么a，b，c为勾股数. 在探究中，我们也注意到了必须让a，b为直角边，c为斜边，这一组勾股数才可以成立.

通过一步一步地猜想证明，最终得出结论，这也许便是数学的魅力之所在吧. 我们要善于发现、学会总结，更多的奥秘等着我们去发现！

（指导教师：李 娜）