解密“自转的硬币”

于子晗

今天老师提出一个问题：

现有甲、乙两枚大小相同的硬币，先将硬币甲固定在桌面上，让硬币乙沿着硬币甲的边缘无滑动滚动一周回到原来的位置，那么滚动的硬币乙自转了多少圈？

课堂顿时活跃起来，同学们各抒己见. 快嘴张说：“这个很简单，两圆的周长相等，硬币乙转一圈.”组里其他同学也跟着附和：“对，就是一圈.”组长说：“依我看，题目不会这么简单，我们做个实验看看吧！”组长从口袋里找出两枚一元的硬币，做起了实验. 组里的人都目瞪口呆：硬币乙不是转了一圈. 好像是两圈. “不可能. 让我来试试. ”快嘴张喊道. 于是在同学们的注视下，快嘴张又亲自做了实验. “果然是两圈，”快嘴张脸红了起来，疑惑地说，“怎么会这样呢？难道我们的经验不对吗？圆周滚动过的路线长除以圆的周长不应该就是圆转过的圈数吗？”组内陷入了沉思.

这个问题也引起了我的思考. 经过几天的研究和探讨，我终于明白了其中的道理. 现在把我的研究和大家一起分享，请大家指导.

我们先来看一个简单的问题：如图1，硬币（直径为2.5 cm）在一直线上滚动一周，起点为A，终点为B，那么AB的长是多少呢？显然AB的长等于硬币的周长. 于是我们得出这样的结论：滚动中圆周滚动过的路线长除以圆周长等于圆所滚动的圈数.

但我们再看第二个问题：如图2，一圆周长与等边三角形边长相等，若该圆沿等边三角形三边做无滑动滚动一周，直到回到原来的出发点，该圆自转了几圈？

由前一个问题知，圆由A到C，或由C到B，或由B到A分别自转了1圈，圆O由AB边上的A点转到AC边上的A点，OA在平面内绕A点旋转了120°（如图3），点O从O1的位置转到O2的位置，转过了三分之一圆周. 在三个顶点处共旋转了360°，即自转了一圈，所以该圆共自转了4圈.

通过上面的分析我们发现，当圆不在直线上滚动时，圆周接触点不发生变化但圆也会发生转动. 因此，探究圆转过的圈数应观察其圆心位置的变动路程，而不是圆滚动过的路线，即圆心经过的路程÷圆周长=圈数. 有了这样的规律，下面再看开始的问题就不会落入陷阱中去了.

问题解决：

设两枚硬币的半径为R，硬币甲的圆心为O1，硬币乙的圆心为O2，则滚动过程中，硬币乙的圆心在以O1为圆心，2R为半径的圆上运动，所以硬币乙自转了（2π·2R）÷（2πR）=2（圈）.

下面我们来看另一个问题：

如图4，一枚5角的硬币（直径为2 cm）绕一枚1元的硬币（直径为2.5 cm）的边缘无滑动滚动一周回到原来的位置，那么5角的硬币自转了多少圈？

设圆C和圆D分别代表5角和1元的硬币，当圆C绕圆D滚动一周时，圆心C在以点D为圆心，2.25 cm（两直径之和除以2） 为半径的圆上运动，所以圆C自转了（2π·2.25）÷（2π·1）=2.25圈. 这与实验结果也是一致的.

现在我们把上述情况推广到一般情况：

如图6，若圆O1的半径为r，圆O2的半径为R，且满足R=kr，圆O1沿圆O2外无滑动地滚动一圈回到原出发点，则圆O1自转了（k+1）圈.

解：如图6当圆O1绕圆O2滚动时，圆心O1在以O2为圆心，（kr+r）为半径的圆上运动，所以圆O1自转了[2π·（kr+r）]÷（2π·r）=（k+1）圈.

善于思考，勤于实践，看似简单的问题也会有不一样的答案. 这也正是数学的神奇之处.

以上是个人粗浅的见解，不足之处，欢迎指正.endprint