爱因斯坦与方程的小故事

宋子君

有一次，著名物理学家爱因斯坦病了，他的一位朋友给他出了一道题消遣：

“时钟上的针指向12点钟，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的. 但是在有的时候，比如6点钟，时针和分针就不能对调.否则会出现时针指12，而分针指6，这种情况是不可能的.

问针在什么位置时，时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上可能的时刻？”

爱因斯坦说：“这对于病人确实提了一个很有意思的问题，有趣味而不太容易. 只是消磨不了多少时间，我已经快解出来了.”说着他在纸上就解起来了.

爱因斯坦画了个草图. 钟盘上共有60个刻度.分针运转的速度是时针的12倍.

设所求的时针的位置是x点y分，此时分针在离12点有y个刻度的位置，时针在离12点有z个刻度的地方.

时针走一点时，分针要转一圈，也就是要转60个刻度. 如果时针指向x点钟，分针要转x圈，要转过60x个刻度. 现在时针指向x点y分，分针从12点起已转过了60x+y个刻度. 由于时针运转的速度是分针的十二分之一，所以时针转过的刻度是z=个.

把时针、分针对调以后，设所指时刻为x1点z分，这时时针离12点有y个刻度，y=个.

这样就得到了一个不定方程组：

z

=；

y

=.

其中x1和x是不大于11的正整数或0.

让x1和x取0到11的各种数值时，可以搭配出144组解. 但是当x=0，x1=0时是时针、分针同时指向12点；而x=11，x1=11时算出y=60，z=60是11点60分，即12点. 这样x=0，x1=0与x=11，x1=11是同一组解. 因此，这组不定方程只有143组解.

比如，当x=1，x1=1时，解出y=5，z=5，说明1点5分时，两针重合，可以对调；

当x=2，x1=3时，解出y=15，z=11，就是2点15分与3点11分两针可以对调.

爱因斯坦的朋友十分钦佩他的解题能力.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）