走进勾股定理知识长廊

王璐

一、 追溯勾股定理的历史

勾股定理是几何中的一个重要定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明.据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即杀了百头牛来庆祝，因此又称“百牛定理”.在中国，《周髀算经》也记载了勾股定理，相传是在商代由商高发现，故又称之为商高定理.

二、 勾股定理知识概要

“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”，这就是大名鼎鼎的勾股定理，它描述了直角三角形三边的关系.而勾股定理的逆定理是：“若一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.”它的作用是用来判断一个三角形是否直角三角形.无论是勾股定理还是它的逆定理，都为我们更深刻地研究直角三角形作出了很大的贡献.

此外，掌握常用的勾股数也可以给我们的计算带来方便.我们把满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为勾股数，常见的有：3，4，5；

6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25. 当然我们还可以证明勾股数的整数倍数仍然是勾股数.

三、 学会灵活运用勾股定理

在使用勾股定理时，首先要判断三角形是否直角三角形，然后找出直角边和斜边，最后运用勾股定理.若图形缺少直角条件，则可以通过作垂线的方法构造直角三角形.若不能直接运用勾股定理求出直角三角形的边，则可以引入未知数，建立方程求解.勾股定理主要有以下应用：

1. 已知直角三角形两边，求第三边.

2. 已知直角三角形一边，求另两边的关系.

3. 探索三个图形面积之间的关系.

如图1分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，半圆，等边三角形，我们可以利用勾股定理以及面积公式证明每幅图中三个图形的面积之间存在着同样的关系.

5. 求直角三角形斜边上的高.

例 若三角形三边长分别是6，8，10，则它最长边上的高为多少？

【分析】本题首先要借助勾股定理的逆定理判断出这是一个直角三角形，且长为10的那条边为斜边.所以三角形的面积可以用直角边乘积的一半求解，即面积为24. 又直角三角形还可以用一般的三角形面积公式，即边长与这条边上的高所得积的一半.所以用斜边乘斜边上的高的一半也等于24，解出高的长度即可.

四、 勾股定理及其逆定理的综合运用

在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC.试求整个图形的面积.

【分析】本题根据条件是可以判断三角形ABC为直角三角形的，所以可以根据勾股定理求出AC边的长度.同时也可以求出三角形ABC的面积，但是在没有判断三角形ACD为直角三角形的情况下，不能直接用两直角边乘积的一半求其面积.

思路：根据勾股定理求出AC=5，并且求出三角形ABC面积为6，又因为三角形ACD中三边长为5，12，13，根据勾股定理的逆定理判断出三角形ACD为直角三角形，面积为AC与CD乘积的一半，即30，所以整个图形的面积为36.

要想学好勾股定理，同学们一定要多总结不同题型的解法，在做题中去体会老师说到的一些解题方法.如巧妙地设未知数可以解决一些折叠问题或是其他无法直接求出边长的题目，方程也可以帮我们解决一些图形问题.

最后给同学们出一道难题：

在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为______.

答案：440.

（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）