大型航天器桁架式主承力结构构型拓扑优化研究

（中国空间技术研究院，北京 100094）

1 引言

以桁架作为主承力结构的大型航天器，如大型桁架式卫星等，其构型设计所受的约束条件颇多，运载火箭、推进方案、热控方案和有效载荷类型等对构型设计均有不同程度的影响。此外，还要考虑传力、平台设备之间的电连接、传热，以及装配和维护等要求。在构型设计初期，首先是满足传力要求。合理的传力路径能用较少的结构材料获得较高的结构刚度和强度。

随着航天技术的发展，满足现代航天器日趋复杂的结构本身对结构性能越来越高的要求，必须应用结构优化设计技术［1］。国外某些航空航天公司已将结构优化作为结构设计中的规范环节［2］；在国内，优化设计方法也开始在航天器结构设计中得到初步应用［3-4］。现阶段，结构参数优化的应用研究较多，而结构拓扑优化的应用研究相对较少。

本文以大型航天器平台桁架式承力结构的研发为背景，在其概念设计阶段，根据平台设计要求和外部约束，应用连续体-离散体两级拓扑优化策略得到了桁架式承力结构的构型形式，所得结果可为详细设计阶段提供依据。与尺寸优化和截面形状优化相比，桁架结构构型拓扑优化能够在更大范围内改善结构特性，进而使所得承力结构质量更小，性能更优。本文提出的优化策略也可用于其他桁架式承力结构的设计工作。

2 连续体-离散体两级拓扑优化策略

桁架式结构强度高，通用性、组合性好，形式简单，传力路线合理，易于实现模块化且可扩展，因此特别适于用作某些大型航天器的主承力结构。桁架结构能够传递集中载荷，沿着载荷的主要传力路径布置杆件，能够显著减小结构质量，提高结构性能。

结构拓扑优化是一种寻找结构传力路径的有效方法。根据优化对象的结构类型的不同，结构拓扑优化可分为连续体结构拓扑优化和离散体结构拓扑优化，在此前的研究工作中，两者一般不同时应用。前者用于从二维或三维设计区域中去除低效能材料，得到的剩余材料的分布情况可指导详细设计［5］；后者多采用基结构法，优化过程从大量初始杆件（即基结构）中删除低效能杆件，得到所需的桁架结构，但其最初基结构的主要节点和杆件连接关系则是人为给定的。

为将连续体结构拓扑优化和离散体结构拓扑优化结合起来进行桁架结构的设计，提出连续体-离散体两级拓扑优化策略（见图1）。首先，进行连续体结构拓扑优化。根据桁架结构总体设计要求，给出连续体结构拓扑优化的可行设计区域，并设定目标函数和约束条件，形成优化问题。利用工具软件（如HyperWorks／OptiStruct）求解计算可得到类似桁架结构的优化结果，在此基础上进行归纳提炼，得到由杆件组成的标准桁架结构形式。然后，进行离散体结构拓扑优化。以连续体结构拓扑优化得到的桁架结构为基础，根据经验人为地添加节点和杆件，增加其他可能的传力路径，得到其拓展基结构，再按照离散体结构拓扑优化数学模型进行优化，即可得到最终的桁架式结构构型。如有多个方案，还可对比选优。

图1 桁架结构优化设计流程Fig.1 Flow chart of optimal design for truss structure

3 大型航天器桁架式承力结构拓扑优化

3.1 问题描述

设定大型航天器采用模块化设计，其主体结构由载荷舱和平台两部分组成，其中平台部分采用桁架式的主承力结构，用于连接平台底部航天器和火箭的对接环和顶部载荷舱，见图2。以对接环底面圆心为坐标原点，各坐标轴方向如图2所示。

图2 航天器主体结构示意图Fig.2 Sketch map for main body of spacecraft

航天器的总质量为7000kg时，其刚度满足一阶横向频率不小于8 Hz、一阶纵向频率不小于30Hz的要求；航天器平台应满足所采用运载火箭整流罩的包络要求；载荷舱要求平台顶端应有不少于5个的传力点；在保持航天器结构构型不变的前提下，结构平台的承载能力可扩展；航天器和火箭的对接环直径不小于2000 mm。在上述要求的约束下，对航天器平台部分桁架式承力结构的构型形式进行设计。

3.2 连续体结构拓扑优化

3.2.1 边界条件和载荷条件

受运载火箭包络尺寸的限制，并考虑平台安装太阳翼、天线等设备和散热的要求，平台基本尺寸确定为2880mm×2880mm。推进剂贮箱直接安装在对接环上，四贮箱并联安装。根据推进剂预算可确定单个贮箱容积，设计为直径大于1000 mm、高度大于1300mm 的球头贮箱。对接环直径按要求暂取为2000mm。

根据运载方规定的航天器设计载荷条件，并考虑1.25的安全系数，确定平台结构X和Y两个横向加速度载荷为3gn，纵向（Z向）加速度载荷为8gn。

需要说明的是，除几何包络要求、边界约束条件、载荷加载形式和初步确定的承力点位置外，连续体结构拓扑优化结果对设计区域结构的材料特性、集中质量点质量的绝对大小以及载荷的绝对数值都是不敏感的。不过，各方向载荷的相对大小变化时，其合矢量方向也会变化，对优化结果会产生一定的影响。

3.2.2 优化方法及优化问题数学模型

连续体结构拓扑优化应用HyperWorks软件，采用变密度法进行优化［6］，应用的是固体各向同性惩罚微结构模型（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）［7］。该材料模型将结构设计域离散为n个有限单元，每个单元的弹性模量与其相对密度的关系可表示为

式中：xi为单元i的相对密度；E0为实体材料的弹性模量；Ei为单元i材料的弹性模量；p表示惩罚因子，在OptiStruct软件中，与p有关的优化参数DISCRETE取值为（p-1）［8］。

图3给出了p取不同值时相对弹性模量（Ei／E0）与相对密度xi的关系曲线。

图3 相对弹性模量与相对密度的关系Fig.3 Relative stiffness vs relative density

假定弹性体在受力作用的过程中始终保持平衡，因而没有动能的改变，且弹性体的非机械能也没有变化，于是，外力势能的减少（也就是外力所做的功）就完全转变为形变势能（又称为应变能）［9］。在这种情况下，外力功和应变能在数值上是一致的，可称该值为静态应变能，作为反映结构静刚度的一个标量响应。那么，优化问题可描述为：受加速度载荷时，设计区域体积分数和航天器基频约束下的结构静态应变能最小，其设计变量为结构有限元模型中设计区域内每个单元的相对密度值。连续体结构拓扑优化问题的数学模型如下。

在该模型中，X＝（x1，x2，…，xn），为拓扑优化设计变量向量，xi为第i个单元的相对密度；C（X）为反映结构静态应变能的量；Ui为单元i的位移向量；Ki为单元i的刚度矩阵；V（X）为设计区域结构总体积；fV为设计区域体积分数，vi为单元i的体积；fmin和分别为结构基频及其下限；δ为一极小正数，用于避免刚度矩阵奇异。

3.2.3 结构有限元建模

根据已确定的边界条件，平台结构占据的几何空间为一立方体，XY平面尺寸已知，高度则由贮箱高度确定。因为推进剂贮箱不能与其他结构发生干涉，所以立方体中还要预留出贮箱空间。氧化剂贮箱与燃料贮箱分别对角放置，使用梁单元模拟贮箱结构，单元自身的结构质量用来模拟未填充推进剂贮箱的结构质量，推进剂质量则通过非结构质量进行模拟。贮箱下端直接连接到对接环上，其上端则通过拉杆与平台结构相连。平台顶端的传力点也是平台结构的主要承载点，因此贮箱拉杆也是连接到这些传力点上。有限元模型中使用集中质量点来模拟载荷舱的质量，考虑到设计要求中规定平台顶端应有不少于5个的传力点，提出五传力点和七传力点两种质量分布方案。

基于以上考虑，本文构建了如图4所示的有限元模型。其中：五传力点模型共有43 193个节点，36 430个单元；七传力点模型共有43 193个节点，36 434个单元。

图4 设计区域的结构有限元模型Fig.4 Finite element model for design domain

3.2.4 优化结果

基于已建立的有限元模型和优化的数学模型，通过不断调整优化数学模型中的体积分数和结构基频约束进行多次试算，并在已有优化结果上进行二次优化，最终得到五传力点方案和七传力点方案的连续体结构拓扑优化结果。两个方案的优化结果传力路径清晰，易于提取出对应的桁架形式，可作为后续离散体结构拓扑优化的输入条件。连续体结构拓扑优化结果及对应桁架形式如图5和图6所示。

图5 五传力点方案连续体结构拓扑优化结果及对应的桁架形式Fig.5 Optimization result of continuum structure for fivejuncture scheme and its corresponding truss configuration

图6 七传力点方案连续体结构拓扑优化结果及其对应的桁架形式Fig.6 Optimization result of continuum structure for sevenjuncture scheme and its corresponding truss configuration

3.3 离散体结构拓扑优化

通过连续体拓扑优化，已经得到了桁架结构主要的节点信息和杆件分布形式，这时可对桁架结构进行进一步优化，增加必要的节点和杆件，再通过离散体结构拓扑优化设计使桁架结构的构型更加合理。

3.3.1 边界条件和载荷条件

离散体结构拓扑优化时的边界条件和载荷条件，与连续体结构拓扑优化时基本相同，只是设计空间由三维实体结构换成了空间桁架。

3.3.2 优化方法及优化问题数学模型

求解离散体结构拓扑优化问题时常用的是基结构法。在设计空间内人为地布置足够多的节点，并将每一个节点与其他所有节点用杆件连接起来形成基结构。在此基础上进行截面尺寸优化，并将截面过小的杆件删除，从而实现结构的拓扑优化。这就是基结构法的基本思想。

离散体结构拓扑优化的设计变量为设计杆元的横截面面积，非设计杆元在优化过程中截面尺寸保持不变。优化目标为过载工况下的结构静态应变能最小；约束条件为优化后杆件总体积不超过给定值（一般设置为初始杆件总体积的1／3），结构一阶频率大于某给定值。离散体结构拓扑优化的数学模型如下。

在该模型中，X′＝（A1，A2，…，Am），为拓扑优化设计中各杆件的横截面面积，Ai为第i根杆的横截面面积，m为杆件数；C（X′）为结构静态应变能；F为节点等效载荷向量；U为节点位移向量；V（X′）为结构体积；li为第i根杆的长度；ˉV为体积约束上限；K为结构总刚度矩阵。

该模型所描述的优化问题中存在平衡方程约束，因此是一个非凸优化问题，难以找到全局最优解。为便于求解，可将优化模型进行转化。应用半定规划理论，通过一定的数学处理将该非凸模型转化为凸性的半定规划模型，即可通过内点法进行求解［10］。需要说明的是，模型中的平衡方程F＝KU必然满足，但仍将其列出；静态应变能在此处选用外力功的等价表达式，这样的处理使得优化模型可以转化为半定规划的标准形式，便于求解。

3.3.3 基结构的拓展及有限元建模

在连续体结构拓扑优化得到的桁架结构基础上进行拓展，增加必要的节点和杆件，添加可能的传力路径，形成桁架的拓展基结构，如图7所示。使用桁架式结构拓扑设计优化系统（TOpology Design Optimization System of Structure with Truss，TODOSST）［11］进行离散体结构拓扑优化。与连续体结构拓扑优化相比，离散体结构拓扑优化有限元模型以杆结构为主，为各杆件赋予材料和尺寸信息；为贮箱设置适当的非结构质量来模拟推进剂质量；对结构相应节点施加固定支撑约束，并设置过载工况。各传力点的集中质量可在TODOSST 的人机交互界面中添加。在界面中按照优化模型完成设置后，即可在MATLAB软件环境中运行TODOSST，进行离散体结构拓扑优化。

图7 五传力点和七传力点方案桁架的拓展基结构Fig.7 Expanded base structures for both five-juncture and seven-juncture schemes

3.3.4 优化结果

以过载工况下的结构静态应变能最小为优化目标，优化后杆件体积约束设置为结构初始总体积的1／3，并分别取不同的一阶频率约束，所得的优化结果分别如图8和图9所示。图中均去除了截面积小于结构中最大杆件截面积1%的杆件；灰色部分为非设计杆元，黑色部分为设计杆元，杆件显示的粗细仅表示其横截面积的相对大小，不代表实际数值。

从图8和图9可见，对五传力点方案，当一阶频率约束从12Hz开始不断提高至22 Hz时，所得的离散体结构拓扑优化结果的拓扑形式是完全一致的，且当外围杆件截面积增大时，结构基频也相应提高。一阶频率约束大于24 Hz时，未能得到合理的优化结果。对于七传力点方案，当一阶频率约束从10Hz开始不断提高至24 Hz时，所得的离散体结构拓扑优化结果的拓扑形式是完全一致的。同样的，当外围杆件截面积增大时，结构基频也相应提高，一阶频率约束大于27Hz时，未能得到合理的优化结果。

在以上优化结果中，删除了某些次元（截面尺寸相对较小的杆件）之后，有可能产生机构，此时要人为合并相应节点以形成结构。图10给出了以上离散体结构拓扑优化结果所得出的最优拓扑形式，其中七传力点方案中暂时保留了外侧小横杆和“X”形交叉杆，可以认为它们模拟了外侧箱板的支撑作用，不属于桁架结构的组成部分。

图8 五传力点方案中不同一阶频率约束时的离散体结构拓扑优化结果Fig.8 Topology optimization results of discrete structure for five-juncture scheme under various first frequency constraints

图9 七传力点方案中不同一阶频率约束时的离散体结构拓扑优化结果Fig.9 Topology optimization results of discrete structure for seven-juncture scheme under various first frequency constraints

图10 五传力点和七传力点方案经优化后的最终拓扑形式Fig.10 Final topology after optimization for both five-juncture and seven-juncture schemes

3.4 优化结构分析比较

两种方案的优化设计结果均满足设计要求中对于运载火箭包络尺寸、对接环直径和与载荷舱接口数量的要求。图8和图9的优化结果显示，经过后期的详细设计，所得的桁架构型形式能满足航天器基频要求，并具有一定的拓展能力。

对比图8和图9可发现，在不改变桁架结构构型的前提下，仅通过修改模型中各杆件的横截面尺寸，七传力点方案在给定的条件下能够达到比五传力点方案更高的结构基频，因此具有更大的设计和优化空间。在最初确定贮箱分布方式时，有意将贮箱沿X方向的间隔拉大，以在中间位置预留更多的设备安装空间。从五传力点方案的优化结果可以看到，预留空间部分已被承力结构占据，该处可用空间被承力杆件分割得较为零碎，不利于设备的安装；若考虑加装隔板来增加结构的刚度和承载能力，由杆件的位置可以看出，隔板分布将会非常密集，且有多块隔板为斜板（不与XOY平面垂直），即使结构刚度和承载能力有所提高，也会增加较多的结构质量，浪费更多的可用空间。另外，七传力点方案中每个贮箱顶端的3个拉杆位置分布较均匀，拉杆长度也较为合理；五传力点方案中拉杆分布相对来说不是很均匀，其中一根拉杆的长度明显比七传力点方案中的长，这样既增加结构质量，又使传力路径变长，因而不是较为合理的设计方案。

根据以上几点分析，七传力点方案的优化结果具有比较明显的优势，建议以七传力点方案的最优拓扑形式为基础开展后续设计工作。

4 结构参数优化的讨论

在结构拓扑优化设计阶段，优化对象仅是桁架式主承力结构的构型形式，即主要节点的位置和节点间的杆件连接情况，后续工作中必须进行结构参数优化设计，其必要性主要体现在：

（1）从能量角度讲，结构拓扑优化设计时的载荷舱结构仅由几个集中质量点来模拟，未考虑实际载荷舱的弹性变形对基础振动能量的吸收、储存作用，也就是说，平台桁架结构要自行吸收全部振动能量，设计偏保守。

（2）在实际发射过程中，一般不会出现3个方向同时受最大载荷的过载工况，进行结构拓扑优化设计时应用这种严酷的载荷条件也会使设计偏保守。

（3）结构拓扑优化结果对结构的材料特性、加速度载荷的绝对数值等都是不敏感的，设计要求中的某些技术指标在该阶段起不到具体的约束作用。只有在航天器结构进行较细致建模时，航天器模型的力学特性才能达到与技术指标进行对比的程度，有必要进一步进行优化。

（4）经过初步的详细设计，主承力结构中各杆件的横截面形状和材料特性均逐步明确，这时进行结构参数优化设计，能够针对明确的设计变量进行优化，所得优化结果可直接用于指导结构设计，从而获得更好的结构特性。

5 结束语

目前，连续体结构拓扑优化和离散体结构拓扑优化在航天器工程中的应用正在逐步普及，但大多只是单独应用其中一类拓扑优化方法。本文提出针对桁架结构的连续体-离散体两级拓扑优化策略，成功应用于大型航天器桁架式承力结构的优化设计，得到了基本满足设计要求的桁架构型形式，可为后续详细设计提供参考，同时也验证了此种优化策略在解决特定的桁架结构优化设计问题时的有效性。结构优化方法虽然能够指导结构设计，但在优化可行设计区域确定、连续体结构拓扑优化结果的提炼归纳、离散体结构桁架基结构的拓展等方面，工程经验仍是必不可少的。拓扑优化设计仅仅是得到了桁架结构的构型形式，在此基础上要进行进一步的结构参数优化，才能确定桁架中杆件的最优截面尺寸，达到减小结构质量、提高结构性能的目的。

（References）

［1］陈烈民.航天器结构与机构［M］.北京：中国科学技术出版社，2005：92-102 Chen Liemin.Spacecraft structure and mechanism［M］.Beijing：China Science and Technology Press，2005：92-102（in Chinese）

［2］澳汰尔工程软件（上海）有限公司.澳汰尔优化设计在航空部件设计中的应用［J］.CAD／CAM 与制造业信息化，2004（9）：61-63 Altair Engineering Inc（Shanghai）.Application of Altair Optimization on aerial components［J］.CAD／CAM Yu Zhizao Xinxihua，2004（9）：61-63（in Chinese）

［3］周志成，曲广吉，黄海.某卫星平台多结构工况下的优化设计［J］.北京航空航天大学学报，2009，35（7）：821-823 Zhou Zhicheng，Qu Guangji，Huang Hai.Design optimization of satellite platform considering multiple structural cases［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2009，35（7）：821-823（in Chinese）

［4］盛聪，曾福明，濮海玲.应用OptiStruct软件的太阳翼基板结构优化［J］.航天器工程，2011，20（6）：63-68 Sheng Cong，Zeng Fuming，Pu Hailing.Optimization of solar panel structures by using OptiStruct［J］.Spacecraft Engineering，2011，20（6）：63-68（in Chinese）

［5］杜江华，陈昌亚，顾亦磊.拓扑优化方法在某卫星下舱隔板结构设计中的应用［C］／／第一届结构及多学科优化工程应用与理论研讨会论文集.北京：中国力学学会，2009：1-5 Du Jianghua，Chen Changya，Gu Yilei.Application of topology optimization method to optimal design of clapboard in a satellite lower-cabin［C］／／Proceedings of the 1st Structure and MDO Engineering Application and Theory Conference.Beijing：Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics，2009：1-5（in Chinese）

［6］张胜兰，郑冬黎，郝琪，等.基于HyperWorks的结构优化设计技术［M］.北京：机械工业出版社，2008 Zhang Shenglan，Zheng Dongli，Hao Qi，et al.Structural optimization technology based on HyperWorks［M］.Beijing：China Machine Press，2008（in Chinese）

［7］Eschenauer H A，Olhoff N.Topology optimization of continuum structures：a review［J］.Appl Mech Rev，2001，54（4）：331-390

［8］Altair Engineering Inc.Altair HyperWorks version 10.0 help［EB／OL］.［2013-04-16］.http：／／www.altair.com.cn

［9］徐芝纶.弹性力学（上册）［M］.第4版.北京：高等教育出版社，2006：257-260 Xu Zhilun.Elastic mechanics（volume 1）［M］.4th ed.Beijing：Higher Education Press，2006：257-260（in Chinese）

［10］李东泽，于登云，马兴瑞.基频约束下的桁架结构半定规划法拓扑优化［J］.工程力学，2011，28（2）：182-185 Li Dongze，Yu Dengyun，Ma Xingrui.Truss topology optimization with fundamental frequency constraints via semidefinite programming［J］.Engineering Mechanics，2011，28（2）：182-185（in Chinese）

［11］周志成，曲广吉.通信卫星总体设计和动力学分析［M］.北京：中国科学技术出版社，2012：232-235 Zhou Zhicheng，Qu Guangji.System design and dynamics analysis of communication satellites［M］.Beijing：China Science and Technology Press，2012：232-235（in Chinese）