数形结合，让数学课堂绽放异彩

胡开文

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。“数”和“形”是数学中最基本的两大概念，它们好比数学中的“左右腿”。数形结合思想是初中数学中的一个重要思想；数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合思想方法就是把抽象严谨的数学语言、数量关系与直观表意的几何图形、位置关系结合起来，通过“以数助形”，对直观问题加以数理推证和精确刻化；反过来，“以形助数”，给抽象的问题赋予形象化的原型，从而给人们以形象思维的启示，从而达到把握数学本质的目的。全面理解数形结合思想，就需要从“以数助形”、“以形助数”和“数形互变”三个方面体会。

一、以数助形

从“以数助形”的角度看“数形结合”思想主要有以下两个结合点。

1.利用数轴。

例：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a与b的大小关系是（？摇？摇？摇？摇）

分析：从有理数a、b在数轴上的位置看，a<0，b>0，所以a

数轴的引入为有理数内容体现数形结合思想提供了桥梁。对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，可以通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系来判断。尽管我们学习的是有理数，但要记住它的形（数轴上的点），在课堂教学中渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的概念及其运算法则。

2.平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义。

（1）x取什么值时，函数值y等于0？

（2）x取什么值时，函数值y始终大于0？

分析：函数值y=0，说明函数图像与x轴相交，而y>0，说明函数图像要在x轴上方。

解：（1）当x=-2时，y=0；（2）当x>-2时，y>0。

由于在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P的一一对应，使函数关系式与其图像的数形结合成为必然。一个函数可以用图像表示，而借助这个图像又可以直观分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数关系式及其图像内容凸显了数形结合的思想方法，课堂教学时老师若注重数形结合，将会收到事半功倍的教学效果。

我们教学时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，就可以寻找出处理“形”的方法，达到以“数”助“形”的目的。

二、以形助数

几何图形在数学中所具有的最大优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在：

利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，如：平方差公式。

利用图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性，渗透了数形结合的思想方法，让学生体会到代数与几何的内在联系，引导学生学会多角度、多方面地思考问题。

三、“数形”互变

“形数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”助“形”或以“形”助“数”，而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密，还要由“数”的严密联系到“形”的直观。

例：某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。

分析：本题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。如何将实际问题转化为数学模型（数形结合）是解决问题的关键。

平面几何中隐含着很多的数量关系，从概念的引出到相关公式的推导及三角形的解法及其实际应用，无不体现数形结合的思想方法。在解三角形的问题时，若先画出图形，使已知的边角关系和未知的边角关系更直观，有助于问题的顺利解决。

总之，初中数学课堂教学中，可以知道其研究的对象不外是一些常见的数量关系与简单的图形，數与形不仅是两个相互对立的概念，而且是数学中较其他对立较特殊的一种对立，然而，数与形和其他对立的双方一样，也可以在一定的条件下实现相互转化。华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”因此，化数为形；化形为数，数形相互为用是数学探索和解决数学问题的重要途径。

数形结合渗透在中学数学的各个部分，在平时的数学教学中，老师要做好这种“数”与“形”关系的揭示与转化，启发学生深刻认识数学问题的实质，数学知识的精髓，才能将知识转化为能力，提高学生灵活运用数形结合思想解决问题的能力。这样，数学课堂一定能绽放异彩。